2.4幂函数和二次函数（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

2.4  幂函数和二次函数

【题型解读】

【知识储备】

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．

(2)常见的五种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；

④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．

(2)二次函数的图象和性质

【题型精讲】

【题型一　幂函数的图像与性质】

例1　（2022·江西高三月考）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例2　（2022·全国·高三测试）图中C1、C2、C3为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（　　）

A．、、 B．、、 C．、、 D．、、

例3　（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则a的取值范围是______．

例4　（2022·北京人大附中高三月考）设则“的图象经过”是“为奇函数”的（    ）

A．充分不必要件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【题型精练】

1. （2022·河北·邢台市第二中学高三开学考试）幂函数在上单调递增，则______．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（p，q∈Z且p，q互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（       ）

A．p，q均为奇数，且

B．q为偶数，p为奇数，且

C．q为奇数，p为偶数，且

D．q为奇数，p为偶数，且

3. （2022·辽宁辽阳·高一期末）已知幂函数的图象过点，则______，的解集为______.

4. （2022·全国·高三专题练习）已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.

（1）求的解析式；

（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.

【题型二　二次函数的图像与性质】

例5　（2022·河南安阳·高三月考）已知二次函数，满足，.

(1)求函数的解析式；

(2)求在区间上的值域.

例6　（2022·浙江高三专题练习）若函数在内不单调，则实数a的取值范围是__________．

例7　（2022·全国高三专题练习）已知函数，函数，对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

2. （2022·浙江台州市·高三期末）已知函数是偶函数，则的值域是__________.

3. （2022·全国高三模拟）已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（    ）

A．3 B． C．1 D．2

【题型三　含参二次函数最值讨论】

例8　（2022·全国高三专题练习）设求函数的最小值的解析式.

例9　（2022·山东·广饶一中高三开学考试）已知函数.

(1)若，求不等式的解集；

(2)已知在上单调递增，求的取值范围；

(3)求在上的最小值.

【题型精练】

1．（2022·贵州毕节·高三月考）已知函数．

(1)当时，解关于x的不等式；

(2)函数在上的最大值为0，最小值是，求实数a和t的值．