3.1导数的概念及切线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.1  导数的概念及切线问题

【题型解读】

【知识储备】

1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝。

(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

2.函数y＝f(x)的导函数

如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f′(x)＝ 称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.

3.导数公式表

4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有：

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3)′＝(g(x)≠0).

5.复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.

【题型精讲】

【题型一　导数的运算】

必备技巧  导数运算技巧

1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.

2.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.

3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.

例1　（2022·山东济南高三期末）分别求下列函数的导数：

(1)y＝exln x；

(2)y＝；

(3)f(x)＝ln .

例2　（2022·全国高三专题练习）已知，则______.

【题型精练】

1．（2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：

（1）；（2）；（3）．

2. （2022·全国高三课时练习）求下列函数的导数：

（1）；（2）；（3）．（4）；（5）．

3.（2022·江苏高三专题练习）已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________.

【题型二　导数求切线方程（两类）】

必备技巧  两类切线方程的区别

注意区分“在点P处的切线”与“过点P处的切线”：在“点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，不一定在曲线上．

例3　（2022·郸城县实验高中高三期末）已知曲线

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求曲线过点的切线方程

【题型精练】

1．（2022·吉林·白城一中高三模拟）已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．

(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．

2.（2022·定远县育才学校期末）已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为_______________________．

【题型三　切线中求参问题】

必备技巧  切线中的求参问题

处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：

①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

例4　 (1)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－∞，2]    B.(－∞，2) 

C.(2，＋∞)    D.(0，＋∞)

(2)(2022·河南六市联考)已知曲线f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋5，则a－b＝________.

(3)（2022·全国高二课时练习）已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【题型精练】

1.．（2022·新余市第一中学模拟）直线是曲线的切线，则它的倾斜角的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·重庆八中高三月考）已知定义在上的函数满足，若曲线在点处的切线斜率为2，则（    ）

A．1 B． C．0 D．2

3.（2022·全国高三专题练习）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则 的取值范围是（    ）

A．   B． C． D．

【题型四　公切线问题】

必备技巧  公切线问题

求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．

例5　 （全国卷高考）若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．

例6　（2022·全国高三专题练习）已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝        .

例7（2022·全国高三专题练习）已知曲线f(x)＝ln x＋1与g(x)＝x2－x＋a有公共切线，求实数a的取值范围．

【题型精练】

1. (2022·江南十校联考)已知f(x)＝ex(e为自然对数的底数)，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则直线l的方程为                    ．

2．（2022·安徽省舒城中学高三三模）若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数（    ）

A． B． C． D．

【题型五　与切线有关的距离问题】

例8　 （2022·山东济南期末）已知，则的最小值为                 ．

【题型精练】

1.（2022·云南昆明市·昆明一中高三期末）函数图象上一点到直线的最短距离为___________.

2.（2022·安徽省泗县第一中学高三模拟（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（    ）

A． B． C． D．