3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题

【题型解读】

【题型一　端点效应处理不等式求参】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）设函数f(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex．

(1)当b＝0时，函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围；

(2)若y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，且函数h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求a的取值范围．

2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f(x)＝lnx(ax＋1－a)(a＞0)．

(1)当a＝时，设g(x)＝f(x)－x＋1，讨论g(x)的导函数g′(x)的单调性；

(2)当x＞1时，f(x)＞x－1，求a的取值范围．

3. （2022·山东济南高三期末）已知函数f(x)＝axln(x＋1)＋x＋1(x>－1，a∈R)．

(1)若a＝，求函数f(x)的单调区间；

(2)当x≥0时，f(x)≤ex恒成立，求实数a的取值范围．

【题型二　分离参数法处理不等式求参】

1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数f(x)＝ex(ax2＋x＋a)(a≥0)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求实数a的取值范围．

2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2(e是自然对数的底数)．

(1)讨论函数f(x)的极值点的个数，并说明理由；

(2)若对任意的x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数a的取值范围．

3. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数f(x)＝(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≤ex－1＋－1恒成立，求实数a的取值范围．

【题型三　最值法处理不等式求参】

1.（2022·河南高三期末）已知函数f(x)＝xlnx－a(x－1)2－x＋1(a∈R)．

(1)当a＝0时，求f(x)的极值；

(2)若f(x)<0对x∈(1，＋∞)恒成立，求a的取值范围．

2．（2022·广东·高三期末）已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna．

(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

3. 函数f(x)＝x2－2ax＋ln x(a∈R).

(1)若函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求a的值；

(2)若不等式2xln x≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围．

【题型四　同构法处理不等式求参】

1.（2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数f(x)＝x－alnx．

(1)若曲线y＝f(x)＋b(a，b∈R)在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0，求a，b的值；

(2)求函数g(x)＝f(x)＋(a∈R)的极值点；

(3)设h(x)＝f(x)＋aex－＋ln a(a>0)，若当x>a时，不等式h(x)≥0恒成立，求a的最小值．

2.（2022·全国高三课时练习）已知函数f(x)＝1＋aexlnx．

(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；

(2)若不等式f(x)≥ex(xa－x)(a<0)，对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围．

【题型五　双变量不等式求参】

1.（2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f (x)＝lnx－mx，g(x)＝x－(a>0)．

(1)求函数f (x)的单调区间；

(2)若m＝，对∀x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f (x2)成立，求实数a的取值范围．

2. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R且a<e)，g(x)＝x2＋ex－xex．

(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值；

(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．