4.2三角函数恒等变换（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

4.2  三角函数恒等变换

【题型解读】

【知识必备】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))

tan(α＋β)＝　(T(α＋β))

tan(α－β)＝　(T(α－β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α (S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)

tan 2α＝ (T2α)

3．公式的变形和逆用

在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形如下：

降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α

1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.

正切和差公式变形：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

tan αtan β＝1－＝－1.

配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，

1－sin α＝(sin－cos)2.

4．辅助角公式

asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.

 【题型精讲】

【题型一　两角和与差公式】

必备技巧 两角和差公式常见题型及解法

(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．

(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．

(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．

例1　（1）（2022·四川省岳池中学）（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】故选：A

（2）（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，由两角和的正弦公式，可知

故答案为：C

（3）（2022·四川凉山·高三期中）_________．

【答案】

【解析】由题意得：

由两角和的正切公式，可令

，可得

故答案为：

（4）（2022·山西应县一中高三期中）的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，得

，故选A.

例2　（2022·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，

.

故选：B

例3　（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】且，，.

又，，.

当时，

，

，，不合题意，舍去；

当，同理可求得，符合题意.

综上所述：.

故选：.

【跟踪精练】

1．（2022·安徽蚌埠·高三期末）求值：（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：，故选：C.

2. （2022·甘肃）_______.

【答案】

【解析】由题，，

，

故原式可化为，故答案为：

3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知，，均为锐角，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

均为锐角，即，，

，又，

，

又，.

故选：C.

【题型二　二倍角公式】

必备技巧  二倍角公式的应用

(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．

(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．

例4　（2022·全国高三课时练习）（多选）下列三角式中，值为1的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】A选项,，故正确.

B选项，，故正确.

C选项，，故正确.

D选项，，故错误

故选：ABC

例5　（2022·全国高三二模）已知，则        

【答案】

【解析】.

【跟踪精练】

1．（2022·山东·模拟预测）若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，

所以.故选：D

2. （2022·合肥市第八中学高三）已知，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，，

故，故选：A.

【题型三　辅助角公式的应用】

例6（2022·全国·高三课时练习）将下列各式化成的形式

(1)；             (2)；

(3)；               (4).

【解析】

(1)；

(2)；

(3) ；

(4)

【跟踪精练】

1. （2022·江西九江·三模）已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，即，

故选：B

【题型四  给值求值】

方法技巧   给值求值的解题策略

(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．

(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：

①α＝(α－β)＋β；

②α＝＋；

③2α＝(α＋β)＋(α－β)；

④2β＝(α＋β)－(α－β)．

例7　（1）（2022·商丘市第一高级中学高三期末）已知，，则（    ）

A． B．3 C．13 D．

（2）（2022·湖南娄星·娄底一中高三期末）已知为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

（3）（2022·河南林州一中高三月考）若，，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】（1）D（2）B（3）D

【解析】（1），，，，

.故选：D

（2）∵cos（α）（α为锐角），∴α为锐角，∴sin（α），

∴sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin

，故选B．

（3），，则，，

，，

因此，.故选：D.

【题型精练】

1．（2022·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，，

.

故选：B

2．（2022·阜新市第二高级中学高三期末）已知，则__________．

【答案】

【解析】∵，∴,∴．

又，∴．

∴

．答案：

3.（2022·四川眉山市·仁寿一中高三开学考试）已知，.

（1）求；

（2）已知，.求.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，

（2）

，

【题型五  给值求角】

方法技巧   已知三角函数值求角的解题步骤

(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．

(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．

(3)结合三角函数值及角的范围求角．

提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．

例8　（2022·辽宁沈阳·高三期中）已知为锐角，为钝角且，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由为锐角且，得，则，

则，又，则，得.故选：A.

例9　（2022·湖北东西湖·华中师大一附中高三月考）若，，，，则角的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，均为锐角，，

由，，得，，若， 则，

与矛盾，故，则，

又，.故选：B.

【题型精练】

1．（2022·全国高三课时练习）已知，其中，求角的值.

【答案】

【解析】因为，所以.

因为，所以.

由已知可得，，

则

.

因为，所以.

2．（2022·江苏南师大二附中高三月考）已知，均为锐角，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由，则．

所以，．

（2）因为，为锐角，则，所以

．

所以，．

又，所以．

【题型六  恒等变换】

方法技巧   三角函数式化简的常用方法：

（1）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数；

（2）异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一；

（3）异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次

例10　（1）（2022·安徽相山·淮北一中月考）（    ）

A．1 B． C． D．

（2）（2022·山西应县一中高三期中）的值为（    ）

A．1 B．2 C．1 D．2

【答案】（1）C（2）D

【解析】（1）

.

故选：C

（2）．故选D．

【题型精练】

1．（2022·福建高三期末）__________.

【答案】

【解析】

.

故答案为：.

2．（2022·全国专题练习）_______.

【答案】

【解析】原式

.故答案为：.