4.4ω的最值范围问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.4  ω的最值范围问题【题型解读】【题型精讲】【题型一　单调性有关的ω最值范围问题】例1   （2022·重庆市育才中学高三阶段练习）已知函数相邻两个对称轴之间的距离为2π，若f（x）在（-m，m）上是增函数，则m的取值范围是（       ）A．（0，] B．（0，] C．（0，] D．（0，]【答案】B【解析】因为相邻两个对称轴之间的距离2π，则，即，则，则，由，得，所以在上是增函数，由得.故选：B.例2   （2022·河南洛阳·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则的值不可能是（       ）A． B．4 C． D．【答案】D【分析】根据余弦型函数过对称点，代入可得，，再根据区间上是单调函数可得周期范围，从而得出即可.【详解】解：由已知，，则，，即，，又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当时，，当时，，当时，，满足题意，即或4或.故选：D.【跟踪精练】1．（2022·江苏连云港市高三一模）函数在上是减函数，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数在上是减函数，所以，，，解得，所以，解得，又，所以，所以的取值范围是.故选：A2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，由，，得，，所以的单调递增区间为，，依题意得，，所以，，所以，，由得，由得，所以且，所以或，当时，，又，所以，当时，.综上所述：.故选：C.【题型二　对称性有关的ω最值范围问题】例3   （2022·陕西省洛南中学模拟预测）已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，，函数在内有且仅有三条对称轴，则有，解得，故选：B.【跟踪精练】1． （2022·全国高三课时练习）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【答案】4或10【解析】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.当时，，y＝sinx图像如图：要使在区间上有最小值无最大值，则：或，此时ω＝4或10满足条件；区间的长度为：，当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件.综上，ω＝4或10.故答案为：4或10.2.（2022·重庆巴蜀中学高三月考）已知函数，若，，则（       ）A．点不可能是的一个对称中心B．在上单调递减C．的最大值为D．的最小值为【答案】D【解析】解：，的周期.依题意可得，，则，即，又，所以，所以，所以点是的一个对称中心，A错误；当时，B错误；当时，取最小值，C错误，D正确；故选：D.【题型三　最值、值域有关的ω最值范围问题】例4   （2022·天津高三月考）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，即时，函数有最小值，令时，有，，，，因为函数在内恰有两个最小值点，，所以有：，故选：B例5   （2022·吉林高三期末）已知函数，，且在区间内有最小值无最大值，则（       ）A． B．2 C． D．8【答案】C【解析】，易知当时，函数在区间上取得最小值，所以，，所以，，又，所以，所以．故选：C．【跟踪精练】1．（2022·江苏泰州·高三阶段练习））已知函数在区间内有唯一的最值，则的取值范围是___________.【答案】【解析】函数，由于，所以，根据正弦函数的图象，以及在区间内有且只有一个最值，所以且，所以．故的取值范围是.故答案为：.2. （2022·全国·专题练习）已知函数在（0，2]上有最大值和最小值，且取得最大值和最小值的自变量的值都是唯一的，则的取值范围是___________.【答案】【解析】易知时不满足题意，由Z，得Z，当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故；当时，第2个正最值点，解得，第3个正最值点，解得，故.综上，的取值范围是.故答案为：【题型四  零点有关的ω最值范围问题】例6   （2022·重庆·模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（        ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，当时，，因为函数在上有且仅有个零点，则，解得.故选：B.例7    （2022·河南商丘市高三模拟））若函数在区间上有且仅有个零点，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，当时，，由，可得，因为函数在区间上有且仅有个零点，则，解得，则，所以，，所以，.故选：A.【跟踪精练】1．（2022·上海高三模拟）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：则，解得，即．故选：C．2. （2022·北京市朝阳区人大附中朝阳分校模拟预测）已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，即. 设，即在有且仅有6个实数根，因为，故只需，解得，故选：D．【题型五  综合性质有关的ω最值范围问题】例8   （2022·湖南周南中学高三月考）（多选题）已知函数，则下列结论中正确的是（       ）A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称B．若 ，且 的最小值为，则ω=2C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 【答案】ABD【解析】函数选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；选项D：设，当时，若在仅有3个零点，即在仅有3个零点则，所以，D正确，故选：ABD．例9    （2022·天津·静海一中高三阶段练习）（多选题）设函数，且函数在上是单调的，则下列说法正确是（       ）A．若是奇函数，则的最大值为3B．若，则的最大值为C．若恒成立，则的最大值为2D．若的图象关于点中心对称，则的最大值为【答案】BCD【解析】对于A，若是奇函数，则，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，又，则的最大值为1，故A错误．对于B，∵，∴，或，．∵，∴，此时，当时，．要使函数在上是单调的，则，∴，又，∴，则的最大值为，故B正确．对于C，∵恒成立，∴．∵，∴，此时．∵，∴，要使函数在上是单调的，则，∴．又，∴，则的最大值为2，故C正确．对于D，的图象关于点中心对称，则，，则，．∵，∴，此时．当时，．要使函数在上是单调的，则，∴．又，∴，则的最大值为，故D正确．故选：BCD．【跟踪精练】1.（2022·湖南益阳高三月考）（多选题）已知函数，下面结论正确的是（       ）A．若，是函数的两个不同的极值点，且的最小值为，则B．存在，使得往右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C．若在上恰有6个零点，则的取值范围是D．若，则在上单调递增【答案】BCD【解析】，对于A，，∴，，错误；对于B，平移后关于原点对称，则，在时，，正确；对于C，，，，正确；对于D，，，，∵，∴，正确.故选：BCD.2. （2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数 (ω>0)，若在上恰有两个零点，且在上单调递增，则ω的取值范围是________.【答案】【解析】由题意，令，，得x＝，，∴f(x)的第2个、第3个正零点分别为，，∴，解得，令，，∴，，令k＝0，f(x)在上单调递增，∴，∴，解得，综上，ω的取值范围是.