4.5解三角形6大常考题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.5  解三角形6大常考题型【题型解读】【知识必备】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝c2＋a2－2cacos B；c2＝a2＋b2－2abcos C变形(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin Acos A＝；cos B＝；cos C＝ 2.三角形面积公式：S△ABC＝ ah(h表示边a上的高) ；S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；3.解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解4.实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．(3)南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．5.相关应用（1）正弦定理的应用①边化角，角化边②大边对大角 大角对大边③合分比：（2）内角和定理：①同理有：，.②；③斜三角形中，④；⑤在中，内角成等差数列.【题型精讲】【题型一　已知边角元素解三角形】必备技巧 已知边角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．例1  　（多选）（2022·山东济南一模）在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由在中，角，，所对的边分别为，，，知：在选项中，由余弦定理得：，故正确；在选项中，由正弦定理得：，，故正确；在选项中，，由余弦定理得：，整理，得，故正确；在选项中，由余弦定理得：，故错误.故选：.例2（多选）（2022·重庆市育才中学高三二模）已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，，，则下列说法正确的是A．或 B．C． D．该三角形的面积为【答案】BC【解析】由余弦定理得，所以.由正弦定理得，所以，由于，所以.所以.三角形的面积为.故BC选项正确，AD选项错误.故选：BC例3（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若，角C为钝角，.(1)求的值；(2)求边c的长.【答案】(1)    (2)【解析】(1)因为C为钝角，由，则，则， C为钝角可得为锐角，所以，，可得.(2)由（1）可知：，则，，则，正弦定理：，，可得：.【跟踪精练】1．（2022·四川·树德中学模拟）在中，角所对的边分别为，若，则（       ）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由得，，由余弦定理得，因为，所以.故选：C2．（2022·河南·高三阶段练习）在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（       ）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由正弦定理可得，则，故或.因为，所以，所以.故选：A3.（2022·全国·高三专题练习）△ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，若a=4，b=3，c=2，则中线AD的长为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，由余弦定理得AB2=DA2+DB2－2DA·DBcos∠ADB，AC2=DA2+DC2－2DA·DCcos∠ADC，又cos∠ADB=－cos∠ADC两式相加得AB2+AC2=2DA2+DB2+DC2，即22+32=2DA2+22+22，∴2DA2=5，∴DA=.故选：D【题型二　已知边角关系解三角形】必备技巧  已知边角关系解三角形正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．例4　（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）在中，内角的对边分别为，，，已知．(1)若，求的值；(2)若，的面积为，求边，的值．【答案】(1)   (2)，或，【解析】(1)因为，由正弦定理得，即，因为，所以，由为三角形内角得；由，则，所以，，；(2)因为的面积，所以，由余弦定理 得,则，由解得，或，.例5   （2022·全国·高三专题练习）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.(1)证明：；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析；  (2).【解析】(1)由题设，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.(2)由（1）及题设，，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以.【跟踪精练】1．（新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．设．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的内角，，的对边分别为，，．设．则，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．2. （2022·山东潍坊·模拟预测）在中，内角的对边分别为，．(1)求角；(2)是边上的点，若，，求的值．【答案】(1)  (2)【解析】(1)由得：，由正弦定理得：，，又，，；有意义，，，即，又，.(2)，，设，则，在中，由正弦定理得：，即；在中，由余弦定理得：；，解得：，即，又，.【题型三　判断三角形形状】必备技巧   判断三角形形状的方法（1）化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．例6　（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（       ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【答案】C【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C例7　（2022·四川省峨眉第二中学校月考）在中，已知，且，则的形状为（       ）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由题意,,则,又，则,由可得，即，所以，由，知，综上可知即的形状是等边三角形.故选：B【题型精练】1. （2022·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:   ①若 ，则为等腰三角形，②若，则是直角三角形③若，则是钝角三角形④若，则是等边三角形.其中正确的命题序号是_________【答案】③④【解析】对于①可推出或，故不正确；②若，显然满足条件，但不是直角三角形；③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.故答案为：③④2. （2022·全国·高三专题练习）在中，已知，则的形状一定是（       ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B【题型四  三角形解的个数问题】例8　（2022·全国·高三专题练习）已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（       ）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；对于C选项，由正弦定理可得，故无解；对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.故选：B.例9　（2022·浙江·高三专题练习）中，角，，的对边分别是，，，，，若这个三角形有两解，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为这个三角形有两解，故满足，即，解得.故选：B【题型精练】1. （2022·全国·高三专题练习）在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，，，，又，由正弦定理得：，，三角形三边确定，此时三角形只有一解，不合题意；对于B选项，，，，由余弦定理得：，三角形三边唯一确定，此时三角形有一解，不合题意；对于C选项，，三边均为定值，三角形唯一确定，故选项C不合题意；对于D选项，，，，由正弦定理得：，，，，有两解，符合题意，故选：D.2. （2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，满足条件，的三角形有两个，则的取值范围是 （       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，由正弦定理可得，所以，又满足题意的三角形有两个，所以只需，即，解得.故选：C.【题型五  解三角形中的最值范围问题】方法技巧   解三角形中最值范围问题基本处理方法1.用余弦定理结合基本不等式求解，2.要求的量转化为某角的三角函数，求函数的最值或值域。（注意角的范围）例10　（2022·宁夏石嘴山·一模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，若．(1)求角B；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：由，利用正弦定理可得：，，               ∵，∴，∴；(2)由D为的中点，∴，∴，，又∵，∴   ，             ∴，∴，            当且仅当时，取最小值．例11（2022·广东江门·模拟预测）在锐角中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求角B的大小；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)因为，所以由正弦定理可得，化简得，所以由余弦定理得，因为，所以(2)因为，所以,由正弦定理得，，所以，因为为锐角三角形，所以，得，所以，所以，所以，，所以，即的取值范围为【题型精练】1. （2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsinA－a＝0．(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．【解析】(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝sinA，又在△ABC中，sin A>0，故sin B＝，由题意得B＝．(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC是锐角三角形，得A∈ ．由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．2. （2022·陕西高三期中）在中，在线段上，且，，.（1）若，求的面积；    （2）求的周长的最大值。【答案】（1）8     （2）【解析】（1）设，则，在中，由余弦定理知，，解得，∴，，由余弦定理知，，∴，故的面积为.（2）由（1）知，，，，∵，∴cos，在中，由余弦定理知， .∴，设的周长为，则，当且仅当，即时，等号成立，故的周长的最大值为.【题型六  解三角形实际应用问题】方法技巧   解三角形实际应用从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养．例12　（2022·山东省六地市部分学校高三3月线考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为，沿点A向北偏东前进100 m到达点B，在点B处测得“泉标”顶端的仰角为，则“泉标”的高度为（    ）A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m【答案】A【解析】如图,为“泉标”高度,设高为米，由题意,平面,米,，．
在中,,在中,,
在中,，,，,
由余弦定理可得，
解得或 (舍去),故选：B.【题型精练】1. （2022·山东泰安·高三期末）在某海域处的巡逻船发现南偏东方向，相距海里的处有一可疑船只，此可疑船只正沿射线（以点为坐标原点，正东，正北方向分别为轴，轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行.巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发小时后，可疑船只所在位置的横坐标为.若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇.(1)求的值；(2)若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否搃截成功？若能，求出搃截时间，若不能，请说明理由.【答案】(1)(2)能够拦截成功拦截，时间为2小时【解析】(1)解：由题意，直线的倾斜角为，若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，设1小时后两船相遇于点C，如图所示，则轴，，且关于y轴对称，所以，所以.(2)解：若巡逻船以海里/小时进行追击，设t小时后两船相遇于点D，如图所示，则，，，，因为可得整理得，解得或（舍去），所以能够拦截成功拦截时间为2小时.