4.8解三角形中的多个三角形问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.8  解三角形中的多个三角形问题【题型解读】【知识储备】一、多三角形问题多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的掌握情况和转化与划归能力。在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。二、求解多个三角形问题解题思路：1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．【题型精讲】【题型一　多三角形中基本量的计算】例1  （2022·全国·高三课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，c＝，B＝45°．(1)求sinC的值；(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．【解析】(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以b＝．在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝．(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角．而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角．故cos C＝＝，则tanC＝＝．因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，所以tan∠ADC＝＝－．从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝．例2  （2022·全国·高三专题练习）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【答案】见解析【解析】选择①：所以；由余弦定理可得，所以选择②：设，则，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【题型精练】1．（2022·全国高三单元测试）在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC．【解析】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，所以sin∠ADB＝．由题意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝＝．(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．2．（2022·合肥百花中学高三期末）如图，四边形中，，，，且为锐角．（1）求；（2）求的面积．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知，∵是锐角，∴．由余弦定理可得，则．∵，∴BD是四边形外接圆的直径，∴BD是外接圆的直径，利用正弦定理知（2）由，，，，则,,又，则，因此，故的面积为．3．（2022·全国高三课时练习）如图，在四边形中，，，.（1）若，求的面积；（2）若，，求的长【答案】（1）      （2）【解析】（1）因为，，，所以，即，所以.所以.（2）设，，则，在中，由正弦定理得：，所以；在中，，所以.即，化简得：，所以，所以，，所以在中，，即，解得或（舍）.4．（2022·山东潍坊高三期末）如图，在△ABC中，AB＝2，cos B＝，点D在线段BC上．(1)若∠ADC＝，求AD的长．(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．【解析】(1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝．∵∠ADC＝，∴∠ADB＝．在△ABD中，由正弦定理可得＝，∴AD＝．(2)∵BD＝2DC，△ACD的面积为，∴S△ABC＝3S△ACD，则4＝×2×BC×，∴BC＝6，DC＝2．∴由余弦定理得AC＝＝4．由正弦定理可得＝，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．又∵＝，∴sin∠CAD＝sin∠ADC．∵sin∠ADB＝sin∠ADC，∴＝4．【题型二　多三角形中最值、范围问题】例3　（2022·广西河池·高三期末）如图，在中，，，延长至，使得.(1)若，求的面积；(2)求面积的取值范围.【解析】(1)在中，，，.由正弦定理知，所以.因为为锐角，所以，所以.在中，，，则，故.(2)在中，设，则，.在中，由正弦定理，得，所以由，得，又为锐角，所以，，所以，故面积的取值范围是.例4　（2022·山东济南·高三期末）．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．（1）求角A；（2）如图，若，点D是外一点，，设，求平面四边形面积的最大值及相应的值．【答案】（1）（2）最大值为，此时【解析】（1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等边三角形．设，则．余弦定理可得：，则．故四边形面积．∵，∴，∴当时，S取得最大值为，故平面四边形面积的最大值为，此时．【题型精练】1．（2022·河南·高三期中）已知在中，内角A，，的对边分别为，，，满足.（1）求；（2）如图，若，在外取点.且，.求四边形面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理得，，即，，，，．（2）因为，，∴△ABC是等边三角形，在中，由余弦定理知，，而，，四边形的面积，，，，当即时，取得最大值，为，故四边形面积的最大值为．2．（2022·甘肃兰州·高三期中）如图，在直角三角形中，，分别在线段上，且为的中点，，设．（1）求 (用表示)；（2）求三角形面积的最小值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解：在直角三角形中，，所以， ；因为，所以，即；在中，因为（2）在直角三角形中，因为，所以；在中，因为，所以由正弦定理得，，即；在直角三角形中，，其中，且；又因为在线段上，所以，且；故当时， ．