4.8解三角形中的多个三角形问题（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.8  解三角形中的多个三角形问题【题型解读】【题型一　多三角形中基本量的计算】1.（2022·全国·高三课时练习）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝2，BD＝，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．【解析】(1)由已知S△ABD＝AB·BD·sin∠ABD＝×2××sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝，又∠BCD＝2∠ABD，所以∠ABD∈，所以cos∠ABD＝．在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2·AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝．(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝．又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－－2∠ABD＝－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD．在△CBD中，由正弦定理＝，得CD＝＝＝，所以S△CBD＝CB·CD·sin∠BCD＝×××＝．2.（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，，分别为线段上的点，且，．（1）求线段的长；（2）求的面积．【答案】（1）2      （2）【解析】（1）因为，，所以．由余弦定理，得 ，所以，即，所以．在中，，所以．（2）因为是的平分线，所以，又，所以，所以，所以．又因为，所以，所以3．（2022·全国高三单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【解析】(1)由已知得，∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2＝AB2＋PB2－2AB·PBcos∠PBA＝3＋－2××cos 30°＝．故PA＝．(2)设∠PBA＝α，由已知得＝cos，即PB＝sin α．在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α．所以tan α＝，即tan∠PBA＝．4．（2022·合肥百花中学高三期末）如图，在四边形中，（1）求的正弦值；（2）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长. 【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，设，由余弦定理得，整理得，解得.所以 由正弦定理得，解得（2）由已知得，所以，化简得 所以   于是 因为，且为锐角，所以.代入计算因此5．（2022·全国高三课时练习）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，DC＝2．(1)如图1，若AD⊥BC，求∠BAC的大小；(2)如图2，若∠ABC＝，求△ADC的面积．【解析】(1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β．因为AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，所以tan α＝，tan β＝，所以tan∠BAC＝tan(α＋β)＝＝＝1．又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝．(2)设∠BAD＝α．在△ABD中，∠ABC＝，AD＝6，BD＝3．由正弦定理得＝，解得sin α＝．因为AD>BD，所以α为锐角，从而cos α＝＝．因此sin∠ADC＝sin＝sin αcos ＋cosαsin ＝＝．所以△ADC的面积S＝×AD×DC·sin∠ADC＝×6×2×＝(1＋)．6．（2022·山东潍坊高三期末）如图，在四边形中，，，，，，（1）求边的长；（2）求的面积.【答案】（1）     （2）【解析】（1）在中，由余下定理得：，即，解得或（舍去），所以.（2）由已知，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，所以【题型二　多三角形中最值、范围问题】1.2022·广西河池·高三期末）如图，在中，，，延长至，使得.(1)若，求的面积；(2)求面积的取值范围.【解析】(1)在中，，，.由正弦定理知，所以.因为为锐角，所以，所以.在中，，，则，故.(2)在中，设，则，.在中，由正弦定理，得，所以由，得，又为锐角，所以，，所以，故面积的取值范围是.2.（2022·山东济南·高三期末）如图，已知，点是以为圆心，5为半径的半圆上一动点.（1）当时，求线段的值；（2）若为正三角形，求四边形面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，由余弦定理得：.所以.（2）设，所以，则.所以当时，四边形的面积取得最大值.3．（2022·河南·高三期中）在中，角，，的对边分别是，，，已知.（1）求角；（2）若是等腰三角形，且，为的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且，设，求面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，所以，因为，，所以.又因为，所以，即.（2）因为是等腰三角形，且，为的中点，所以，，在中，，所以.在中，，所以.因为，所以当时，取得最小值，.