4.9三角形中的最值、范围问题（精练）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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4.9  三角形中的最值、范围问题【题型解读】【题型一　与角有关的最值、范围问题】　1.（2022·全国·高三课时练习）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2csin C＝(a＋b)(sin B－sin A)，则当角C取得最大值时，B＝（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理得2c2＝(a＋b)(b－a)，即b2－a2＝2c2．又cos C＝＝≥＝.当且仅当3a2＝b2，即b＝a时，cos C取到最小值，从而角C取到最大值.当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则a＝c．所以A＝C＝，从而B＝π－A－C＝π．故选：.2.（2022·全国·高三专题练习）在中，内角、、的对应边分别为、、.已知.（1）若，求.        （2）求的取值范围.【答案】（1）      （2）【解析】（1）由正弦定理得：，∵，∴，即，∴，∵，∴，∵，∴（2）由（1）得，∴又，∴，∵，∴，∴，∴，∴，则的取值范围是3．（2022·全国高三单元测试）已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．【答案】【解析】因为，所以.因为,所以.所以因为，所以，所以，所以，所以.即的最大值为.故答案为：.4．（2022·合肥百花中学高三期末）在中，，若，则的最大值是____________．【答案】【解析】解：因为，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得当且仅当 , 即时取等号 , 此时取得最小值， 根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为   所以的最大值是故答案为 : 5．（2022·全国高三课时练习）在中，内角，，的对边分别为，，，的面积记为，满足．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）      （2）【解析】（1）∵，∴，所以，由为三角形内角得；（2）由正弦定理得，∴，∴，由得，∴，．故的取值范围．6．（2022·山东潍坊高三期末）已知锐角中，角，，所对的边分别是，，，（1）求角的大小；       （2）求的取值范围【答案】（1）      （2）【解析】（1）∵，结合余弦定理，可得：，∴，∴又∵，∴（2）因为，，所以，∴，所以 .∵时候锐角三角形，∴，解得∴，∴，∴，∴，综上，的取值范围是【题型二　与边有关的最值、范围问题】1.（2022·广西河池·高三期末）在中，，是线段上的点，，若的面积为，则的最大值是（       ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】依题意，所以，设，则，化简得，当且仅当时等号成立.故选：A2.（2022·山东青岛·高三期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，则的取值范围是(       )A． B． C． D．【答案】A【解析】∵角A，B，C成等差数列，∴，∵，∴，∴.根据正弦定理得：＝，∵，∴，∴，∴.故选：A.3．（2022·河南·高三期中）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，．（1）若，求c的值；（2）求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由角A、B、C的度数成等差数列，得2B＝A＋C．又，∴．由正弦定理，得，即．由余弦定理，得，即，解得．（2）由正弦定理，得，∴，．∴．由，得．所以当时，即时，．4．（2022·甘肃兰州·高三期中）在中，若，，则的最大值为（       ）A．7 B． C． D．【答案】B【解析】设，由正弦定理知，因此，故，其中，所以当时，，取得最大值，且最大值为，故选：B.5. （2022·四川资阳市高三月考）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，.已知.（1）求角的大小.     （2）若，求的取值范围.【答案】（1）      （2）【解析】（1）由题意得，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，（2）由（1），∵，∴由余弦定理可得：，由，∴，即，当且仅当等号成立又由，得，∴【题型三　与周长有关的最值、范围问题】1.（2022·河南·高三阶段练习）已知中，、分别是线段、的中点，与交于点，且，若，则周长的最大值为__________【答案】【解析】在中，、分别是线段、的中点，与交于点，则为的重心，因为，故，则.，，所以，即，所以，，，当且仅当时，等号成立.因此，周长的最大值为.2.（2022·山东济南市高三月考）在中，分别为内角的对边，若.(1)求；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】(1)解：由及正弦定理得：，又，所以，所以，又，所以，(2)解：由正弦定理可得，所以，，所以的周长，因为，所以，所以所以，即，所以周长的取值范围为．3．（2022·陕西高三期中）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求B；（2）若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，由正弦定理得．因为，所以sinA＞0，所以，所以，因为，所以，即．（2）依题意，即ac＝4．所以当且仅当时取等号．又由余弦定理得∴，当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为．4．（2022·绵阳南山中学实验学校月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为________.【答案】9【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cos A＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C＝3＋2sin B＋2sin＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，∵B∈，所以，∴当B＝时，△ABC的周长取得最大值9.故答案为：9.5. （2022·济南省实验月考）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A＝sin2B＋cos2C＋sinAsinB．（1）求角C的大小；（2）若c＝，求△ABC周长的取值范围．【答案】（1）C＝      （2）【解析】（1）由题意知1－sin2A＝sin2B＋1－sin2C＋sin Asin B，即sin2A＋sin2B－sin2C＝－sin Asin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，又∵0<C<π，∴C＝．（2）由正弦定理得＝＝＝2，∴a＝2sinA，b＝2sinB，则△ABC的周长为L＝a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋＝2＋＝2sin＋．∵0<A<，∴＜A＋＜，∴<sin≤1，∴2<2sin＋≤2＋，∴△ABC周长的取值范围是(2，2＋]．【题型四  与面积有关的最值、范围问题】1.（2022·贵州金沙·高三阶段练习）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设．(1)求角A；(2)若，且AD＝2，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)   (2)【解析】(1)因为，由正弦定理得：．又，所以，即：，得出，又，所以；(2)在中，由余弦定理得：       ①又因为，所以，且，即，由余弦定理，得             ②将①②联立得：，即，（当且仅当时等号成立）．2.（2022·湖南益阳·高三期末）设锐角的内角的对边分别为，已知，，则面积的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，；，，，解得：，；由正弦定理得：；为锐角三角形，，解得：，，，，.故选：D.3．（2022·山东省济宁市高三月考）在中，内角A，B，C所对的边长分别为.（1）求角C；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）      （2）【解析】（1）由，可得，，因为，所以，. （2）由，得，由基本不等式得：，即，所以，当时，面积的最大值为.4.（2022·湖南益阳月考）在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积，若，则的取值范围是________．【答案】【解析】，因为，所以，由正弦定理得，，所以.因为是锐角三角形，所以.所以解得，所以.由正弦定理，得，所以.所以的面积.故答案为：.5.（2022·昆明市官渡区第一中学高三月考）在中，角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值．【答案】（1）        （2）【解析】（1）由正弦定理得，由于，，所以，即，则，又，所以．（2）由余弦定理，得（当且仅当时，取“” ，从而，所以的面积取得最大值．