5.3等和线和极化恒等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】最新高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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5.3 等和线和极化恒等式【题型解读】【知识必备】1.三点共线结论：已知，若，则三点共线；反之亦然证明若点A,B,C互不重合，P是A,B,C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件.证明:(1)由A，B，C三点共线.由得.即，共线，故A，B，C三点共线.(2)由A，B，C三点共线.由A，B，C三点共线得，共线，即存在实数使得.故.令，则有.2. 等和线相关性质平面内一组基底及任一向量，，若点p在直线AB上或在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。（1）.当等和线恰为直线AB时，k等于1.(2).定值k的变化与等和线到O点的距离成正比.3.极化恒等式：a·b＝eq \f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]（1）公式推导：（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的eq \f(1,4)．4.三角形模式：如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推导过程：由.（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．【题型精讲】【题型一 根据等和线求基底系数和的值】必备技巧 根据等和线求基底系数和的值(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)计算满足条件的等和线的值．例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________.【答案】【解析】连接EF，交AC于G∵E，F，G共线，则，且记，则，例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点．若eq \o(AC,\s\up7(→))＝λeq \o(AE,\s\up7(→))＋μeq \o(AF,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝__________．【答案】eq \f(4,3)　【解析】如图，EF为值是1的等和线，过C作EF的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|AC|,|AM|)．由图易知，eq \f(|AC|,|AM|)＝eq \f(4,3)，故选B．【跟踪精练】1. （2022·山东·山师附中模拟预测）直角梯形,是边长为2的正三角形，是平面上的动点，，，则的值可以为（ ）A. 0 B.1 C.2 D.3 【答案】BC【解析】如图 2. （2022·云南玉溪·高三月考）如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点．若eq \o(BE,\s\up6(→))＝λeq \o(BA,\s\up6(→))＋μeq \o(BD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　)A．1　　　　　　　　B．eq \f(3,4)　　　　　　　　C．eq \f(2,3)　　　　　　　　D．eq \f(1,2)【答案】B　【解析】如图，AD为值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq \f(|BE|,|BF|)．由图易知，eq \f(|BE|,|BF|)＝eq \f(3,4)，故选B．【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】必备技巧 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)(1)确定值为1的等和线；(2)平移(旋转或伸缩)该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算最大值和最小值．例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为1的平面向量eq \o(OA,\s\up7(→))和eq \o(OB,\s\up7(→))，它们的夹角为eq \f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若eq \o(OC,\s\up7(→))＝xeq \o(OA,\s\up7(→))＋yeq \o(OB,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．【答案】2　【解析】　　　　　令x＋y＝k，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心最远，即此时k取得最大值，结合角度，不难得到k＝eq \f(|DO|,|OE|)＝2．例4（2022·福建泉州·模拟预测）在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，点P是△ABC所在平面内一点， ，且满足，若，则3x＋y的最小值是( )．A． B． C．1 D．【答案】D【解析】若A为原点，则P（1，2），M在以P为圆心，半径为2的圆上取D（1，0），则有，AM交CD于N，记，则有； 【跟踪精练】1. （2022·全国·高三课时练习）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq \o(AP,\s\up7(→))＝λeq \o(AB,\s\up7(→))＋μeq \o(AD,\s\up7(→))，则λ＋μ的最大值为(　　)A．3　　　　　　　　B．2eq \r(2)　　　　　　　　C．eq \r(5)　　　　　　　　D．2【答案】A　【解析】　过动点P作等和线，设x＋y＝k，则k＝eq \f(|AM|,|AB|)．由图易知，当等和线与EF重合时，k取最大值，由EF∥BD，可求得eq \f(|AE|,|AB|)＝3，∴λ＋μ取得最大值3．故选A．2. （2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若eq \o(OC,\s\up6(→))＝meq \o(OA,\s\up6(→))＋neq \o(OB,\s\up6(→))，则m＋n的取值范围是________．【答案】　(－1，0)　【解析】　如图，作eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))的相反向量eq \o(OA1,\s\up6(→))，eq \o(OB1,\s\up6(→))，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1分别为以eq \o(OA,\s\up6(→))，eq \o(OB,\s\up6(→))为基底的值为0，－1的等和线，由题意线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在直线l与直线A1B1之间，所以m＋n∈(－1，0)．【题型三 极化恒等式处理数量积的定值问题】方法技巧 利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．例5（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(CA,\s\up6(→))＝4，eq \o(BF,\s\up6(→))·eq \o(CF,\s\up6(→))＝－1则eq \o(BE,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))的值是____．【解析】eq \f(7,8)【解析】极化恒等式法设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n．根据向量的极化恒等式，有eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AC,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))2－eq \o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq \o(FB,\s\up6(→))·eq \o(FC,\s\up6(→))＝eq \o(FD,\s\up6(→))2－eq \o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．联立解得n2＝eq \f(5,8)，m2＝eq \f(13,8)．因此eq \o(EB,\s\up6(→))·eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \o(ED,\s\up6(→))2－eq \o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq \f(7,8)．即eq \o(BE,\s\up6(→))·eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \f(7,8)．例6（2022·山东日照市·高三二模）】如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，eq \o(CP,\s\up6(→))＝3eq \o(PD,\s\up6(→))，eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))的值是( )A．44 B．22 C．24 D．72【答案】B【解析】如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，eq \o(AP,\s\up6(→))·eq \o(BP,\s\up6(→))＝EP2－AE2＝EP2－16＝2，∴EP＝3eq \r(2)，又∵eq \o(CP,\s\up6(→))＝3eq \o(PD,\s\up6(→))，eq \o(AE,\s\up6(→))＝eq \o(EB,\s\up6(→))，eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(DC,\s\up6(→))，∴AE＝2DP，即△FAE中，DP为中位线，AF＝2AD＝10，AE＝eq \f(1,2)AB＝4，FE＝2PE＝6eq \r(2)，AP2＝40，eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AF,\s\up6(→))·eq \o(AE,\s\up6(→))＝AP2－EP2＝40－(3eq \r(2))2＝22．【题型精练】1．（2022·河北武强中学高三月考）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝－7，则eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(DC,\s\up6(→))的值是________．【答案】9　【解析】因为eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(AO,\s\up6(→))2－eq \o(OD,\s\up6(→))2＝9－eq \o(OD,\s\up6(→))2＝－7⇒eq \o(OD,\s\up6(→))2＝16，所以eq \o(BC,\s\up6(→))·eq \o(DC,\s\up6(→))＝eq \o(CO,\s\up6(→))2－eq \o(OD,\s\up6(→))2＝25－16＝9．2. (2022·全国福建省漳州市高三期末) 在△ABC中，|eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))|＝|eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则eq \o(AE,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))等于(　　)A．eq \f(8,9)　　　　　　　　B．eq \f(10,9)　　　　　　　　C．eq \f(25,9)　　　　　　　　D．eq \f(26,9)【答案】B　【解析】取EF中点M，连接AM，则eq \o(AE,\s\up6(→))·eq \o(AF,\s\up6(→))＝|AM|2－|EM|2＝eq \f(5,4)－eq \f(5,36)＝eq \f(10,9)．【题型四 极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】方法技巧 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．例7 (全国Ⅱ高考)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则eq \o(PA,\s\up6(→))·(eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→)))的最小值是(　　)A．－2　　　　　　　　B．－eq \f(3,2)　　　　　　　　C．－eq \f(4,3)　　　　　　　　D．－1【答案】B　【解析】解析法:　建立坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，eq \r(3))，B(－1，0)，C(1，0)．设P点的坐标为(x，y)，图①则eq \o(PA,\s\up6(→))＝(－x，eq \r(3)－y)，eq \o(PB,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，－y)，∴eq \o(PA,\s\up6(→))·(eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→)))＝(－x，eq \r(3)－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－eq \r(3)y)＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2－\f(3,4)))≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq \f(3,2)．当且仅当x＝0，y＝eq \f(\r(3),2)时，eq \o(PA,\s\up6(→))·(eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→)))取得最小值，最小值为－eq \f(3,2)．故选B．极化恒等式法:　设BC的中点为D，AD的中点为M，连接DP，PM，∴eq \o(PA,\s\up6(→))·(eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→)))＝2eq \o(PD,\s\up6(→))·eq \o(PA,\s\up6(→))＝2|eq \o(PM,\s\up6(→))|2－eq \f(1,2)|eq \o(AD,\s\up6(→))|2＝2|eq \o(PM,\s\up6(→))|2－eq \f(3,2)≥－eq \f(3,2)．当且仅当M与P重合时取等号．例8 （2022·海南海口·二模）在 正三角形ABC 中，点E，F是线段AB,AC的中点，点P在直线EF上，若三角形ABC的面积为2，则的最小值是 【答案】 【解析】取BC中点D，由三角形ABC的面积为2，所以边长BC的平方为 ，PD的最小值为高的一半，所以，所以.【题型精练】1. （2022•南通期末）在面积为2的△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))2的最小值是________．【答案】2eq \r(3)　【解析】取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))2＝eq \o(PD,\s\up6(→))2－eq \f(\o(BC,\s\up6(→))2,4)＋eq \o(BC,\s\up6(→))2＝eq \o(PD,\s\up6(→))2＋eq \f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥eq \f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq \f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)，此时当且仅当eq \o(AD,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))时取等号，eq \o(PC,\s\up6(→))·eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))2≥eq \f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)＋eq \f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4)≥2eq \r(\f(\o(AD,\s\up6(→))2,4)·\f(3\o(BC,\s\up6(→))2,4))＝2eq \r(3)．　2. (天津高考)如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且eq \o(AD,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))，eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且|eq \o(MN,\s\up6(→))|＝1，则eq \o(DM,\s\up6(→))·eq \o(DN,\s\up6(→))的最小值为________．【答案】eq \f(1,6)　eq \f(13,2)　【解析】因为eq \o(AD,\s\up6(→))＝λeq \o(BC,\s\up6(→))，所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，所以eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))＝|eq \o(AD,\s\up6(→))|·|eq \o(AB,\s\up6(→))|·cos 120°＝－eq \f(3,2)，解得|eq \o(AD,\s\up6(→))|＝1．因为eq \o(AD,\s\up6(→))，eq \o(BC,\s\up6(→))同向，且BC＝6，所以eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \o(BC,\s\up6(→))，即λ＝eq \f(1,6)．如图，取MN的中点P，连接PD，则eq \o(DM,\s\up6(→))·eq \o(DN,\s\up6(→))＝eq \o(PD,\s\up6(→))2－eq \o(MP,\s\up6(→))2＝eq \o(PD,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)，当eq \o(PD,\s\up6(→))⊥eq \o(BC,\s\up6(→))时，|eq \o(PD,\s\up6(→))|2取最小值eq \f(27,4)，所以eq \o(DM,\s\up6(→))·eq \o(DN,\s\up6(→))的最小值为eq \f(13,2)．