2022青岛高一上学期期末考试数学试题含解析

2022年高一年级选科测试数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，且，则实数的取值集合为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，得到，分和两种情况讨论，集合集合元素的互异性，即可求解.

【详解】由题意，集合，，

因为，所以，

当时，即，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去；

当时，即，解得或，

若，此时，集合中不符合集合元素的互异性，舍去；

若，可得，此时，，符合题意，

综上可得实数的取值集合为.

故选：D.

2. “”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得解.

【详解】解：若，则，

若，当时，，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

3. 函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数有意义，列出不等式组，求解取交集即可.

【详解】解：要使有意义，则，即，

解得，故定义域为，

故选：D

4. 在直角坐标系中，已知圆的圆心在原点，半径等于1 ，点从初始位置开始，在圆上按逆时针方向，以角速度 均速旋转后到达点，则的坐标为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求得点所在终边对应的角度，然后以三角函数定义去求的坐标即可.

【详解】点为角的终边上一点，后点按逆时针方向旋转到达点，

点落在角的终边上，

，

故的坐标为

故选：D

5. 已知，则下述一定正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据不等式的性质即可判断ABC，举出反例，如即可判断D.

【详解】解：因为，

所以，，故AB错误；

，所以，

所以，所以，

即，故C正确；

对于D，若时，

则，故D错误.

故选：C.

6. 设函数的定义域为，记 ，则（    ）

A. 函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有

B. 函数在区间上单调递减的充要条件是：，都有

C. 函数在区间上不单调递增的充要条件是：，使得

D. 函数在区间 上不单调递减的充要条件是：，使得

【答案】D

【解析】

【分析】从充分性和必要性两个方面证明函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有，函数在区间上单调递减的充要条件是：，都有，由此判断可得选项．

【详解】解：证明函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有，

证明充分性：

，不妨设，则，

又，所以，即，所以函数在区间上单调递增；

证明必要性：

因为函数在区间上单调递增，所以，不妨设，所以，

则，又，

所以，

所以函数在区间上单调递增的充要条件是：，都有，故A不正确，C不正确；

证明函数在区间上单调递减的充要条件是：，都有，

证明充分性：

，不妨设，则，

又，所以，即，所以函数在区间上单调递减；

证明必要性：

因函数在区间上单调递减，所以，不妨设，所以，

则，又，

所以，

所以函数在区间上单调递减的充要条件是：，都有，故C不正确，D正确；

故选：D．

7. 已知都是正实数，若，则 的最小值为（    ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】D

【解析】

【分析】均值定理连续使用中要注意等号是否同时成立.

【详解】由可知

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

以上三个不等式两边同时相乘，可得

（当且仅当时等号成立）

故选：D

8. 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残留量约为初始量的，碳14的半衰期为5730 年，，以此推断水坝建成的年份大概是公元前（    ）

A. 3500年 B. 2900年

C. 2600年 D. 2000年

【答案】B

【解析】

【分析】根据碳14的半衰期是5730年，即每5730年含量减少一半，设原来量为1，经过年后则变成0.552，列出方程，即可求解.

【详解】根据题意设原来的量为1，经过年后则变成，可得，

两边取对数，可得，

即，

又由，

所以以此推断水坝建成的年份大概是公元前年.

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面选项中，变量是变量的函数的是（    ）

A. 表示某一天中的时刻，表示对应的某地区的气温

B. 表示年份，表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)

C. 表示某地区的学生某次数学考试成绩，表示该地区学生对应的考试号

D. 表示某人的月收入，表示对应的个税

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数的定义，进行判断

【详解】ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误.

故选：ABD

10. 已知为第一象限角，下述正确的是（    ）

A.  B. 为第一或第三象限角

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据为第一象限角，可得，即可判断A，求出的范围，从而可判断B，结合商数关系即可判断C，根据余弦函数的性质即可判断D.

【详解】解：因为为第一象限角，所以，故A错误；

，

当时，，为第一象限角，

当时，，为第三象限角，

所以为第一或第三象限角，故B正确；

，所以，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD.

11. 已知函数，下述正确的是（    ）

A. 函数为偶函数

B. 函数的最小正周期为

C. 函数 在区间上最大值为1

D. 函数的单调递增区间为

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；

对于B，由函数的周期，求得函数的最小正周期；

对于C，由已知求得，根据正弦函数的性质可求得函数 在区间上的最大值；

对于D，由，求解即可得函数的单调递增区间.

【详解】解：因为，所以

对于A，，又，所以函数为偶函数，故A正确；

对于B，函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故B不正确；

对于C，当时，，所以，所以，

所以函数 在区间上的最大值为1，故C正确；

对于D，令，解得，所以函数的单调递增区间为，故D正确，

故选：ACD.

12. 已知函数，下述正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若为奇函数，则

C. 函数在区间内至少有两个不同的零点

D. 函数图象的一个对称中心为

【答案】ABC

【解析】

【分析】由，可得到A正确；由为奇函数，列出方程，求得，可得出B正确；由，可判定C正确；由，可判定D错误.

【详解】由题意，函数，

对于A中，由，即，可得，

解得，所以A正确；

对于B中，由，若为奇函数，

又由，则，

即，所以，所以B正确；

对于C中，由，

可得，即，

所以函数在区间内至少有两个不同的零点，所以C正确；

对于D中，由函数，

可得，，所以，

所以不是函数的对称中心，所以D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.

13. 已知函数是定义在上的周期4的奇函数，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数为奇函数求得，再根据函数的周期性即可得解.

【详解】解：因为函数是定义在上的周期4的奇函数，

所以.

故答案为：-1.

14. 和角度制、弧度制一样，密位制也是度量角的一种方法.将周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数字与十位数字之间画一条短线，如：469密位写成“”1周角等于6000密位，记作“”.如果一个扇形的半径为2 ，面积为，则其圆心角可以用密位制表示为________.

【答案】

【解析】

【分析】先用扇形面积公式求出圆心角的弧度制，再转化为密位制.

【详解】设圆心角为，则扇形面积公式，其中，，代入公式得：，其中1密位=，故，所以其圆心角可以用密位制表示为.

故答案为：.

15. 若，则（1）_______；（2）________.

【答案】    ①.     ②. 1

【解析】

【分析】（1）按照对数的运算法则，结合已知条件计算可得答案；

（2）根据计算的值，再结合对数的运算，计算可得结果.

【详解】(1)由 ，

可得

= ；

（2）由 可得：，

故，

故答案是：，1

16. 已知函数，满足不等式的解集为，且为偶函数，则实数________.

【答案】0

【解析】

【分析】根据偶函数定义，可得，然后根据二次不等式的解集得到二次函数的两个零点为，然后结合韦达定理，即可解出

【详解】根据解集易知： ，

为偶函数，可得：

则有：

易知的两根为，则根据韦达定理可得：

解得：

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知全集，集合，集合，集合.

（1）求集合；

（2）求集合.

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦函数的性质可得集合，进而可得集合，再利用交集的定义运算即得；

（2）利用指数函数的性质可得，再利用补集的概念及并集的定义即得.

【小问1详解】

∵，

∴，即，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵,

∴，

∴，又，

∴或，

∴.

18. 已知函数.

（1）若，求的值；

（2）若，且，求的值.

【答案】（1）2    （2）

【解析】

【分析】(1)将分子分母同除以 ，得到，再根据，即可解得结果；

（2）将化简得到，再将该式平方，整理可得到，进而解得的值，代入表达式中计算即可.

【小问1详解】

由得; ,

所以，即，

解得 ；

【小问2详解】

由得： ①，

所以 ，

则 ，所以 ，

则 ，

而 ，所以 ②，

由①②联立可得 ，故 ，

所以 .

19. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数.

（1）若，求和的解析式；

（2）若函数为周期函数，为其一个周期，，判断并证明函数的奇偶性.

【答案】（1）   

（2）为奇函数，证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意得到和，联立方程组，即可求解；

（2）由题意得到，进而得到为偶函数，为奇函数，再结合函数奇偶性的定义，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，函数的定义域为为偶函数，为奇函数，

因为，即，

可得，即，

联立方程组，

解得.

【小问2详解】

解：由函数的定义域为为偶函数，为奇函数，

可得，

联立方程组，解得，

则

，

因函数为周期函数，为其一个周期，可得，

所以，

又由

，

所以函数的奇函数.

20. 已知函数.

（1）判断并证明在区间上的单调性；

（2）设，试比较 的大小并用“”将它们连接起来.

【答案】（1）在区间上为增函数，证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）任取，利用作差法比较的大小关系，即可得证；

（2）利用中间量法判断的大小关系，再根据函数的单调性即可得出结论.

【小问1详解】

解：任取，

，

因为，

所以，，，则，

所以，即，

所以函数在区间上为增函数；

小问2详解】

解：对于，由，

则，即，

对于，由，

则，即，

对于，由，得，

对于，由，

则，即，

所以，

因为函数在区间上为增函数，

所以.

21. 某呼吸机生产企业本年度计划投资固定成本2300（万元）引进先进设备，用于生产救治新冠患者无创呼吸机，每生产（单位：百台）另需投入成本（万元），当年产量不足50(百台)时，（万元；当年产量不小于50（百台）时， (万元)，据以往市场价格，每百台呼吸机的售价为600 万元，且依据疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.

（1）求年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；(利润销售额一投入成本固定成本)

（2）当年产量为多少时，年利润最大? 并求出最大年利润.

【答案】（1）   

（2）当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分与两种情况，求出年利润(万元) 关于年产量（百台）的函数解析式；（2）在第一问的基础上，分别求出与时的年利润最大值，通过比较，最终求得结果.

【小问1详解】

当时，；

当时，，综上：

【小问2详解】

当时，，当时，取得最大值为1700万元，

当时，，当且仅当，即时，等号成立，此时最大利润为1950万元，

因为，所以当年产量为75百台时，年利润最大，最大年利润为1950万元.

22. 函数且，函数 .

（1）求的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；

（3）设的反函数为，，若对任意的，均存在，满足 ，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）直接根据解得即可；

（2）含有参数的方程有实数根，分离参数然后求得在上的值域即可；

（3）将问题转化为恒成立，然后根据参数的取值范围进行分类讨论，先求得的最大值，然后转化为恒成立问题即可

【小问1详解】

由，可得：

解得：

则有：

故的解析式为：

【小问2详解】

由，可得：

不妨设

则有：

又

则有：

故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为

故

故实数的取值范围为：

【小问3详解】

的反函数为：

若对任意的，均存在，满足

则只需：恒成立

不妨设，则设

，则

在上可分如下情况讨论：

当时，，此时，不满足恒成立

当时，，此时只需：在上恒成立

则只需：在上恒成立

则只需：时，不等式成立

解得：，与矛盾；

当时，，此时，只需保证：

则只需：在上恒成立

当时，只需保证：当时，成立

则有：

解得：

又，故有：

当时，只需保证：当时，成立

此时解得：

又故有：

故当时，

综上所述，解得：实数的取值范围为：

【点睛】结论：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数 ， ， ，，则有：

（1）若 ，， 恒成立， ；

（2）若 ，， 能成立，