【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-8 平面直角坐标系及函数

这是一份【一轮复习】2023年中考数真题分点透练-8 平面直角坐标系及函数，共40页。
第八讲 平面直角坐标系及函数
【命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】
类型一 坐标确定位置
1．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
2．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（　　）

A．（1，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（2，4）

类型二 点于象限
3．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022•河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
6．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 　　象限．

类型三 点的平移于对称
8．（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
9．（2021•阿坝州）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
10．（2021•兰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）
11．（2022•广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
类型四：点坐标规律
12．（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
13．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　 　．

14．（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 　 　．

15．（2022•荆门）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，……，依次进行下去，则点A20的坐标为 　 　．


【命题点2 函数及其自变量的取值范围】
类型一 常量与变量
16．（2022•广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量

类型二 函数的关系式
17．（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（　　）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
18．（2022•益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
0
2
4
…
A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2

类型三 函数自变量的取值范围
19．（2022•牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
20．（2022•恩施州）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≥﹣1且x≠3 D．x≥﹣1
21．（2022•黄石）函数y＝+的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3且x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3且x≠1
32．（2022•哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
类型四 函数值的运算
22．（2022•上海）已知f（x）＝3x，则f（1）＝　　．
23．（2022•相城区校级自主招生）我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：
①f（π）＝f（）
②对于任意的实数a，f（f（a））＝0
③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正确的有 　 　（填序号）．
24．（2022•枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1

【命题点3 分析、判断函数图像】
类型一 实际问题
考向1 行程问题
25．（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
26．（2022•北碚区自主招生）小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
27．（2022•临沂）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（　　）

A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300km
C．乙车的平均速度是80km/h
D．甲车比乙车早到B城
28．（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．



29．（2022•温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（　　）

A． B．
C． D．
30．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min








判断函数图像
考向2 其他问题
31．（2022•河池）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（　　）

A． B．
C． D．
32．（2022•遵义）遵义市某天的气温y1（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y2与t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
33．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　）

A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
34．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（　　）

A． B． C． D．

类型二 几何图像中的动态问题
考向1 判断函数图像-动点问题
35．（2022•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
36．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（　　）

A． B．
C． D．
37．（2022•铜仁市）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
38．（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）

A． B．
C． D．

考向2 分析函数图像-动点问题
39．（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）

A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8
40．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　）

A． B．2 C． D．
41．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 　 ．



42．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝　 　cm2．


【命题点4 函数图像与性质探究题】

43．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x
0
2
5
y
15
19
25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．


44．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　 k m，小明跑步的平均速度为 　　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．


45．（2022•舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（cm）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？

答案与解析
【命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征】
类型一 坐标确定位置
1．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（　　）

A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
【答案】D
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：

∴教学楼的坐标是（2，2），
故选：D．

2．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（　　）

A．（1，3） B．（3，4） C．（4，2） D．（2，4）
【答案】C
【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．
故选：C．


类型二 点于象限
3．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，
∴﹣a＞0，b＞0，
∴a＜0，
∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．
故选：B．
4．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，
∴点A（﹣1，﹣2）在第三象限，
故选：C．
5．（2022•河池）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（　　）
A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣
【答案】D
【解答】解：根据题意得，
解①得m＜0，
解②得m＜．
则不等式组的解集是m＜﹣．
故选：D．
6．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：∵a2≥0，
∴a2+1≥1，
∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．
故选：B．
7．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 　　象限．
【答案】二
【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，
∴﹣1＜m＜0，
∴1＜m+2＜2，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，
故答案为：二．

类型三 点的平移于对称
8．（2021•贺州）在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【答案】D
【解答】解：点（3，2）关于原点对称的点的坐标是：（﹣3，﹣2）．
故选：D．
9．（2021•阿坝州）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1）
【答案】D
【解答】解：点P（2，1）关于y轴对称的点P′的坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
10．（2021•兰州）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（2，﹣4） D．（2，4）
【答案】B
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，4）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣2，﹣4）．
故选：B．
11．（2022•广东）在平面直角坐标系中，将点（1，1）向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（　　）
A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）
【答案】A
【解答】解：将点（1，1）向右平移2个单位后，横坐标加2，所以平移后点的坐标为（3，1），
故选：A．
类型四：点坐标规律
12．（2022•河南）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，AB∥x轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（　　）

A．（，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣1） D．（1，）
【答案】B
【解答】解：∵边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，
∴OA＝AB＝2，∠BAO＝60°，
∵AB∥x轴，
∴∠APO＝90°，
∴∠AOP＝30°，
∴AP＝1，OP＝，
∴A（1，），
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，可知点A2与D重合，

由360°÷90°＝4可知，每4次为一个循环，
∴2022÷4＝505……2，
∴点A2022与点A2重合，
∵点A2与点A关于原点O对称，
∴A2（﹣1，﹣），
∴第2022次旋转结束时，点A的坐标为（﹣1，﹣），
故选：B．
13．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　 　．

【答案】（，﹣3）
【解答】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），
所以A点的坐标是（，﹣3），
故答案为：（，﹣3）．
14．（2022•淄博）如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……依此类推，则点D2022的坐标是 　 　．

【答案】（﹣2023，2022）
【解答】解：∵将顶点D（1，0）绕点A（0，1）逆时针旋转90°得点D1，
∴D1（1，2），
∵再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5……
∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，
观察发现：每四个点一个循环，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），
∵2022＝4×505+2，
∴D2022（﹣2023，2022）；
故答案为：（﹣2023，2022）．
15．（2022•荆门）如图，过原点的两条直线分别为l1：y＝2x，l2：y＝﹣x，过点A（1，0）作x轴的垂线与l1交于点A1，过点A1作y轴的垂线与l2交于点A2，过点A2作x轴的垂线与l1交于点A3，过点A3作y轴的垂线与l2交于点A4，过点A4作x轴的垂线与l1交于点A5，……，依次进行下去，则点A20的坐标为 　 　．

【答案】（1024，﹣1024）
【解答】解：当x＝1时，y＝2，
∴点A1的坐标为（1，2）；
当y＝﹣x＝2时，x＝﹣2，
∴点A2的坐标为（﹣2，2）；
同理可得：A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），A6（﹣8，8），A7（﹣8，﹣16），A8（16，﹣16），A9（16，32），…，
∴A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（﹣22n+1，22n+1），
A4n+3（﹣22n+1，﹣22n+2），A4n+4（22n+2，﹣22n+2）（n为自然数）．
∵20＝5×4，
∴错误，应改为：∴点A20的坐标为（22×4+2，﹣22×4+2），即（210，﹣210），
即（1024，﹣1024）．
故答案为：（1024，﹣1024）．
【命题点2 函数及其自变量的取值范围】
类型一 常量与变量
16．（2022•广东）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr．下列判断正确的是（　　）
A．2是变量 B．π是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【解答】解：根据题意可得，
在C＝2πr中．2，π为常量，r是自变量，C是因变量．
故选：C．
类型二 函数的关系式
17．（2022•大连）汽车油箱中有汽油30L．如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．当0≤x≤300时，y与x的函数解析式是（　　）
A．y＝0.1x B．y＝﹣0.1x+30
C．y＝ D．y＝﹣0.1x2+30x
【答案】B
【解答】解：由题意可得：y＝30﹣0.1x，（0≤x≤300）．
故选：B．
18．（2022•益阳）已知一个函数的因变量y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的表达式可以是（　　）
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣2
0
2
4
…
A．y＝2x B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝x2
【答案】A
【解答】解：根据表中数据可以看出：y的值是x值的2倍．
∴y＝2x．
故选：A．

类型三 函数自变量的取值范围
19．（2022•牡丹江）函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A．x≤﹣2 B．x≥﹣2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【解答】解：由题意得：
x﹣2≥0，
∴x≥2，
故选：D．
20．（2022•恩施州）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≥3 C．x≥﹣1且x≠3 D．x≥﹣1
【答案】C
【解答】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1且x≠3．
故选：C．
21．（2022•黄石）函数y＝+的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠﹣3且x≠1 B．x＞﹣3且x≠1 C．x＞﹣3 D．x≥﹣3且x≠1
【答案】B
【解答】解：函数y＝+的自变量x的取值范围是：
x+3＞0，且x﹣1≠0，
解得：x＞﹣3且x≠1．
故选：B．
32．（2022•哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
【答案】x≠﹣
【解答】解：由题意得：
5x+3≠0，
∴x≠﹣，
故答案为：x≠﹣
类型四 函数值的运算
22．（2022•上海）已知f（x）＝3x，则f（1）＝　　．
【答案】3
【解答】解：因为f（x）＝3x，
所以f（1）＝3×1＝3，
故答案为：3．
23．（2022•相城区校级自主招生）我们引入记号f（x）表示某个函数，用f（a）表示x＝a时的函数值．例如函数y＝x2+1可以记为f（x）＝x2+1，并有f（﹣2）＝（﹣2）2+1＝5，f（a+1）＝（a+1）2+1＝a2+2a+2．
狄利克雷是德国著名数学家，是最早倡导严格化方法的数学家之一．狄利克雷函数f（x）＝的出现表示数学家对数学的理解开始了深刻的变化，从研究“算”到研究更抽象的“概念、性质和结构”．关于狄利克雷函数，下列说法：
①f（π）＝f（）
②对于任意的实数a，f（f（a））＝0
③对于任意的实数b，f（b）＝f（﹣b）
④存在一个不等于0的常数t，使得对于任意的x都有f（x+t）＝f（x）
⑤对于任意两个实数m和n，都有f（m）+f（n）≥f（m+n）．
其中正确的有 　 　（填序号）．
【答案】①，③，④，
【解答】解：f（π）＝f（）＝0，故①符合题意；
若a是有理数，则f（a）＝1，f（f（a））＝1，故②不符合题意；
若b是有理数，则﹣b是有理数，若b是无理数，则﹣b是无理数，因此f（b）＝f（﹣b），故③符合题意；
令t＝1，若x是有理数，则x+1是有理数，若x是无理数，则x+1是无理数，因此f（x+t）＝f（x），故④符合题意；
若m，n都是无理数，m+n＝0，则f（m）+f（n）＜f（m+n），故⑤不符号题意．
故答案为：①，③，④．
24．（2022•枣庄）已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　）
A．y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B．y1＝和y2＝x+1
C．y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D．y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1
【答案】B
【解答】解：A、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x+1＝1，
整理得：x2+x＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意；
B、令y1+y2＝1，
则+x+1＝1，
整理得：x2+1＝0，
此方程无解，
∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意；
C、令y1+y2＝1，
则﹣﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+2x+1＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意；
D、令y1+y2＝1，
则x2+2x﹣x﹣1＝1，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意；
故选：B


【命题点3 分析、判断函数图像】
类型一 实际问题
考向1 行程问题
25．（2022•巴中）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
【答案】C
【解答】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；
B、由图可得，甲乙在t＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，
∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；
C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，
由B得，乙的速度是甲速度的2倍，
∴乙用的时间是甲用的时间的一半，
∴2x＝x+5+1，
解得：x＝6，
∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；
D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，
∵甲比乙早1分钟出发，
∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；
故选：C．
26．（2022•北碚区自主招生）小玲从山脚沿某上山步道“踏青”，匀速行走一段时间后到达山腰平台停下来休息一会儿，休息结束后她加快了速度，匀速直至到达山顶．设从她出发开始所经过的时间为t，她行走的路程为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，小玲步道“踏青”分为三个阶段，步行﹣停止﹣快行，
反映到图象上是：三条线段为缓，平，陡．
所以能反映s与t的函数关系的大致图象是选项A．
故选：A．
27．（2022•临沂）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（　　）

A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300km
C．乙车的平均速度是80km/h
D．甲车比乙车早到B城
【答案】D
【解答】解：由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；
甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），
乙车的平均速度是：240÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；
设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，
解得x＝3，
60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；
由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．
故选：D．
28．（2022•河北）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵一个人完成需12天，
∴一人一天的工作量为，
∵m个人共同完成需n天，
∴一人一天的工作量为，
∵每人每天完成的工作量相同，
∴mn＝12．
∴n＝，
∴n是m的反比例函数，
∴选取6组数对（m，n），在坐标系中进行描点，则正确的是：C．
故选：C．
29．（2022•温州）小聪某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为s米，所经过的时间为t分钟．下列选项中的图象，能近似刻画s与t之间关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知：小聪某次从家出发，s米表示他离家的路程，所以C，D错误；
小聪在凉亭休息10分钟，所以A正确，B错误．
故选：A．
30．（2022•赤峰）已知王强家、体育场、学校在同一直线上，下面的图象反映的过程是：某天早晨，王强从家跑步去体育场锻炼，锻炼结束后，步行回家吃早餐，饭后骑自行车到学校．图中x表示时间，y表示王强离家的距离．则下列结论正确的是 　 　．（填写所有正确结论的序号）
①体育场离王强家2.5km
②王强在体育场锻炼了30min
③王强吃早餐用了20min
④王强骑自行车的平均速度是0.2km/min

【答案】①③④
【解答】解：由图象中的折线中的第一段可知：王强家距离体育场2.5千米，用时15分钟跑步到达，
∴①的结论正确；
由图象中的折线中的第二段可知：王强从第15分钟开始锻炼，第30分钟结束，
∴王强锻炼的时间为：30﹣15＝15（分钟），
∴②的结论不正确；
由图象中的折线中的第三段可知：王强从第30中开始回家，第67分钟到家；
由图象中的折线中的第四段可知：王强从第67分钟开始吃早餐，第87分钟结束，
∴王强吃早餐用时：87﹣67＝20（分钟），
∴③的结论正确；
由图象中的折线中的第五段可知：王强从第87分钟开始骑车去往3千米外的学校，第102分钟到达学校，
∴王强骑自行车用时为：102﹣87＝15（分钟），
∴王强骑自行车的平均速度是：3÷15＝0.2（km/min）
∴④的结论正确．
综上，结论正确的有：①③④，
故答案为：①③④．

判断函数图像
考向2 其他问题
31．（2022•河池）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：因为底部的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．
故选：C．
32．（2022•遵义）遵义市某天的气温y1（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时气温的值的极差（即0时到t时范围气温的最大值与最小值的差），则y2与t的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：因为极差是该段时间内的最大值与最小值的差．所以当t从0到5时，极差逐渐增大；
t从5到气温为20℃时，极差不变；当气温从20℃到28℃时极差达到最大值．直到24时都不变．
只有A符合．
故选：A．
33．（2022•河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（　　）

A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小
B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态
D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
【答案】C
【解答】解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，不符合题意；
由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；
由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），
∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；
由图2知，当R1＝20时，K＝40，
∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），
∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；
故选：C．
34．（2022•武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）．这个容器的形状可能是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关．则相应的排列顺序就为选项A．
故选：A

类型二 几何图像中的动态问题
考向1 判断函数图像-动点问题
35．（2022•锦州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作PQ⊥AB交AC于点Q，将△APQ沿直线PQ折叠得到△A′PQ，设动点P的运动时间为t秒，△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝2BC＝4，
∴，
由题意知：AP＝t，
∴，
由折叠的性质可得：A'P＝AP，∠APQ＝∠A'PQ＝90°，
当点P与AB中点重合时，则有t＝2，
当点P在AB中点的左侧时，即0≤t＜2，
∴△A'PQ与△ABC重叠部分的面积为；
当点P在AB中点及中点的右侧时，即2≤t≤4，如图所示：

由折叠性质可得：A'P＝AP＝t，∠APQ＝∠A'PQ＝90°，，
∴BP＝4﹣t，
∴A'B＝2t﹣4，
∴BD＝A'B⋅tan∠A'＝t﹣2，
∴△A'PQ与△ABC重叠部分的面积为；
综上所述：能反映△A'PQ与△ABC重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；
故选：D．
36．（2022•菏泽）如图，等腰Rt△ABC与矩形DEFG在同一水平线上，AB＝DE＝2，DG＝3，现将等腰Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，作CH⊥AB于点H，
∵AB＝2，△ABC是等腰直角三角形，
∴CH＝1，

当0≤x≤1时，y＝×2x•x＝x2，
当1＜x≤3时，y＝＝1，

当3＜x≤4时，y＝1﹣＝﹣（x﹣3）2+1，
故选：B．
37．（2022•铜仁市）如图，等边△ABC、等边△DEF的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，DE在AB上，DF在AC上，△DEF沿AB向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设△ABC、△DEF重合部分的面积为y，△DEF移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，当E和B重合时，AD＝AB﹣DB＝3﹣2＝1，

∴当△DEF移动的距离为0≤x≤1时，△DEF在△ABC内，y＝S△DEF＝＝，
当E在B的右边时，如图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N作NM垂直于AE，垂足为M，

根据题意得AD＝x，AB＝3，
∴DB＝AB﹣AD＝3﹣x，
∵∠NDB＝60°，∠NBD＝60°，
∴△NDB是等边三角形，
∴DN＝DB＝NB＝3﹣x，
∵NM⊥DB，
∴，
∵NM2+DM2＝DN2，
∴，
∴，
∴，
∴当1≤x≤3时，y是一个关于x的二次函数，且开口向上，
故选：C．


38．（2022•衡阳）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝6，AB∥CD，AC平分∠DAB．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：过D点作DE⊥AC于点E．

∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠ACD＝∠CAD，则CD＝AD＝y，即△ACD为等腰三角形，
则DE垂直平分AC，
∴AE＝CE＝AC＝3，∠AED＝90°，
∵∠BAC＝∠CAD，∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABC∽△AED，
∴，
∴，
∴y＝，
∵在△ABC中，AB＜AC，
∴x＜6，
故选：D．

考向2 分析函数图像-动点问题
39．（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（　　）


A．AF＝5 B．AB＝4 C．DE＝3 D．EF＝8
【答案】B
【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，
∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，
∴AB＝4．
∵×AF•AB＝12，
∴AF＝6，
∴A选项不正确，B选项正确；
由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，
∴BC＝2，
由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，
∴CD＝6，
由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，
∴DE＝4．
∴C选项不正确；
∵图①中各角均为直角，
∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，
∴D选项的结论不正确，
故选：B．
40．（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y，已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a，2）是图象的最低点，那么a的值为（　　）

A． B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N′．

∵四边形ABCD是正方形，
∴O是BD的中点，
∵点M是AB的中点，
∴N′是△ABC的重心，
∴N′O＝BO，
∴N′D＝BD，
∵A、C关于BD对称，
∴NA＝NC，
∴AN+MN＝NC+MN，
∵当M、N、C共线时，y的值最小，
∴y的值最小就是MC的长，
∴MC＝2，
设正方形的边长为m，则BM＝m，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2，
∴20＝m2+（m）2，
∴m＝4，
∴BD＝4，
∴a＝N′D＝BD＝×4＝，
故选：A．
41．（2022•烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 　 ．


【答案】2　
【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），
∴x＝4时，y＝0，
∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，

∵3＝2FH，
∴FH＝，
∵∠ABC＝60°，
∴BF＝＝，
∵DE∥AB，
∴AB＝2BF＝2，
故答案为：2．
42．（2022•营口）如图1，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，动点P，Q同时从点A出发，点P以cm/s的速度沿AB向点B运动（运动到B点即停止），点Q以2cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动，设点Q的运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm2），若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，当x＝（s）时，则y＝　 　cm2．

【答案】
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，

在Rt△ADE中，
∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，
∴，
∵点P的速度为cm/s，点Q的速度为2cm/s，
∴AP＝x，AQ＝2x，
∴，
在△APQ和△AED中，
＝，∠A＝45°，
∴△AED∽△APQ，
∴点Q在AD上运动时，△APQ为等腰直角三角形，
∴AP＝PQ＝x，
∴当点Q在AD上运动时，y＝AP•AQ＝×x×x＝x2，
由图像可知，当y＝9此时面积最大，x＝3或﹣3（负值舍去），
∴AD＝2x＝6cm，
当3＜x≤4时，过点P作PF⊥AD于点F，如图：

此时S△APQ＝S△APF+S四边形PQDF﹣S△ADQ，
在Rt△APF中，AP＝x，∠PAF＝45°，
∴AF＝PF＝x，FD＝6﹣x，QD＝2x﹣6，
∴S△APQ＝x2+（x+2x﹣6）•（6﹣x）﹣×6×（2x﹣6），
即y＝﹣x2+6x，
当x＝时，y＝﹣（）2+6×＝，
故答案为：．

【命题点4 函数图像与性质探究题】

43．（2022•广东）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）满足函数关系y＝kx+15．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
x
0
2
5
y
15
19
25
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当弹簧长度为20cm时，求所挂物体的质量．
【解答】解：（1）把x＝2，y＝19代入y＝kx+15中，
得19＝2k+15，
解得：k＝2，
所以y与x的函数关系式为y＝2x+15（x≥0）；
（2）把y＝20代入y＝2x+15中，
得20＝2x+15，
解得：x＝2.5．
所挂物体的质量为2.5kg．
44．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　 k m，小明跑步的平均速度为 　　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；
故答案为：2.5，；
（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），

设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，
∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．
45．（2022•舟山）6月13日，某港口的潮水高度y（cm）和时间x（h）的部分数据及函数图象如下：
x（h）
…
11
12
13
14
15
16
17
18
…
y（cm）
…
189
137
103
80
101
133
202
260
…
（数据来自某海洋研究所）
（1）数学活动：
①根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象．
②观察函数图象，当x＝4时，y的值为多少？当y的值最大时，x的值为多少？
（2）数学思考：
请结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论．
（3）数学应用：
根据研究，当潮水高度超过260cm时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？
【解答】解：（1）①如图：

②通过观察函数图象，当x＝4时，y＝200，当y值最大时，x＝21；
（2）该函数的两条性质如下（答案不唯一）：
①当2≤x≤7时，y随x的增大而增大；
②当x＝14时，y有最小值为80；
（3）由图象，当y＝260时，x＝5或x＝10或x＝18或x＝23，
∴当5＜x＜10或18＜x＜23时，y＞260，
即当5＜x＜10或18＜x＜23时，货轮进出此港口．