6.4数列求和6大题型（精讲）

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6.4  数列求和6大题型【题型解读】 【知识储备】1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如an＝(－1)n·f(n)类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常见的裂项技巧（1）＝－.（2）＝.（3）＝.（4）＝－.（5）loga＝loga(n＋1)－logan(n>0)．（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．5．倒序相加求和6．放缩求和常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【题型精讲】 【题型一　公式法求和  】必备技巧  公式法求和直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前n项和公式：Sn＝例1　（2022·黑龙江高三模拟）已知等差数列满足a1+a2＝4，a4+a5+a6＝27．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为d，则∴，∴．（2），∴，∵，又，∴数列为等比数列，且首项为2，公比为4，∴．例2　（2022·宁夏银川市高三模拟）已知数列是一个公差为的等差数列，前项和为，，，，成等比数列，且.（1）求数列的通项公式：（2）求数列的前10项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由a2、a4、a5成等比数列得：，即，又∵d≠0，可得；而，解得，所以，即数列{an}的通项公式为．（2）因为，所以，令，则为常数，∴{cn}是首项为，公差为的等差数列，所以的前10项和为．【题型精练】 1. （2022·扬州市第一中学高三月考）设递增等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求.【答案】(1)     (2) 4480【解析】（1）由题意得：，设等比数列的公比为，则，解得：，或是递增数列，，；所以（2）由（1）知：，，当时，；当时，；2．（2022·广东深圳·一模）已知数列的首项，且满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由，得， 又，故， 故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列．(2)由（1）可知，所以，          所以．【题型二　错位相减求和  】必备技巧  错位相减求和第一步  巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；第二步  确定等差、等比数列的通项公式；第三步  构差式：即写出的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步  求和：根据差式的特征准确求和.例3　（2022·广东肇庆·二模）已知数列满足，.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)证明：由，得，又，所以，故，故是以为首项，以为公比的等比数列；(2)解：由（1）得，得，所以，设的前n项和为，则，①，②由①-②，得，则，故.【题型精练】 1. （2022·广东茂名·二模）已知数列的前n项和为，且．(1)求证：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)由可得，由得，所以，即，所以，，所以数列是公差为1，首项为1的等差数列.(2)由（1），得，所以，，两式相减得，所以.2．（2022·河南高三月考）设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足， 求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，得，解得， 因此；（2）由题意知：，所以，则，两式相减得，因此，.3．（2022·辽宁本溪市高三模拟）在①；②，；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．已知等差数列前n项和为，且满足_______，数列的前n项和为，且（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．【答案】选择见解析；（1）；；（2）．【解析】(1)设等差数列的公差为d，对于①，知，，所以，，所以．对于②，．由得，所以，所以．对于③，，可得从而解得所以．由得，所以，又，所以，所以，因为，所以，所以，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以．（2）因为，所以，，则，所以【题型三　裂项相消求和  】必备技巧   裂项相消求和第一步  定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步  巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差或和的形式；第三步  消项求和：即把握消项的规律，准确求和.例4　（2022·四川遂宁市高三月考）已知数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）令的前项和为，求证：，【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）因为，令，则，又，所以.对两边同时除以，得，又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故；（2）由（1）得：所以因为，所以，故，即.例5　（2022·广东肇庆·模拟预测）已知数列是等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和，并证明：.【答案】(1)(2)，证明见解析.【解析】(1)设等比数列的公比是q，首项是.由，可得.由，可得，所以，所以；(2)证明：因为，所以.又，所以.例6　（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列的前项和，且．(1)证明：数列为等差数列；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)当时，由，得或，∵，∴，由，得当时，由，得，整理得，∵，∴≠0，∴，∴数列是首项为，公差为的等差数列；(2)由（1）得，，∴．例7　（2022·安徽安庆·二模）已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求的通项公式；(2)若，求的前n项和.【答案】(1)，(2)【解析】(1)解：时，，解得.当时，，故，所以，故.符合上式故的通项公式为，.(2)解：结合（1）得，所以.【题型精练】1．（2022·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）已知在数列中，前n项和为，若．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）在数列中，①∵②且，∴①式÷②式得：，∴数列以为首项，公差为1的等差数列，∴∴,当时，；当时，，不满足上式，∴数列的通项公式为．（2）由（1）知，，则数列的前项和，当时，，当时，，当时也满足上式，故有．2．（2022·广东梅州·二模）已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)条件选择见解析，(2)【解析】(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为数列满足， 所以，所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列，则有，.(2)，所以，因为，所以.4．（2022·简阳市阳安中学高三二模）记为等比数列的前项的和，且为递增数列.已知，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项之和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，解得或，因为为递增数列，所以只有符合题意，故；（2）由题意，，∴.【题型四　分组求和与并项求和 】必备技巧  分组求和与并项求和一般地，如果{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an±bn}或cn＝的前n项和Sn时，可采用分组求和法求和．如果cn＝(－1)n·an，求cn的前n项和时，可采用并项求和法求解．例8　（2022·江苏姑苏·苏州中学高三月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的通项公式为，由于，，成等比数列，则，解得，所以，（2）由题意，，所以．例9　（2022·全国·模拟预测（理））已知正项数列的前n项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【解析】(1)时，，又，解得，由得，时，，两式相减得，，又，所以，是等差数列，所以；(2)由（1），，，为偶数时，，为奇数时，，所以．例10　（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式以及前n项和；(2)若，求数列的前2n－1项和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)依题意，，则，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依题意，得，故，故【题型精练】1. （2022·四川成都市高三模拟）已知数列是等差数列，且，，数列是递增的等比数列且，．（1）求数列的通项公式；（2）求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公差为d，由题得：∴，，．（2）由题得：，是递增的等比数列，故解得：，，，∴，∴．2．（2022·宁波市北仑中学高三模拟）已知数列满足，记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求的前项和及的前项和为．【答案】（1）证明见解析；；（2）；．【解析】（1）因为，，，所以，又，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此；（2）由（1）可得①，则②，①②得，则；设，则，所以；；因此.3．（2022·安徽·高三期末（理））已知数列的前n项和．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【解析】(1)解：当时，，当时，，当时，上式也成立，所以；(2)解：，设数列的前项和为，则.【题型五　倒序相加求和 】必备技巧  倒序相加求和第一步  列出前n项和；第二步  按倒序列出前n项和；第三步  两式相加；第四步  得出结果.例11　（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则的值为（       ）A．1 B．2 C．2020 D．2021【答案】C【解析】函数，设，则有，所以，所以当时，，令，所以，故．故选：C【题型精练】1．（2022·全国·高三专题练习）已知若等比数列满足则（       ）A． B．1010 C．2019 D．2020【答案】D【解析】等比数列满足即2020故选：D2．（2020·全国高三专题练习）已知函数，则（    ）A．2018 B．2019C．4036 D．4038【答案】A【解析】，，令，则，两式相加得：，.故选：.【题型六　放缩求和 】例12　（2022·浙江·效实中学模拟预测）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.（1）求的值：（2）求数列的通项公式：（3）证明：对一切正整数，有.【答案】（1）    （2）    （3）证明见解析【解析】【分析】（1）令解方程可得答案；（2）利用可得答案；（3）令，利用裂项相消可得答案.【小问1详解】令，，则舍去，所以.【小问2详解】，因为数列各项均为正数，舍去，，当时，，【小问3详解】令，所以【题型精练】1．已知数列的前n项和为，.（1）证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；（2）设，证明：.【答案】（1）证明见解析；    （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，然后将的换成，与原式相减可得，从而可得即可证明，求出通项公式， 再分组可求和.（2）先求出，可得出，裂项相消法求和，可证明.【小问1详解】当时，，即 由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则【小问2详解】所以