8.8圆锥曲线中定点模型（精讲）

这是一份8.8圆锥曲线中定点模型（精讲），文件包含88圆锥曲线中定点模型精讲解析版docx、88圆锥曲线中定点模型精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共21页， 欢迎下载使用。
8.8  圆锥曲线中定点模型【题型解读】【知识必备】定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题．证明直线(曲线)过定点的基本思想是是确定方程，即使用一个参数表示直线(曲线)方程，根据方程的成立与参数值无关得出x，y的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线(曲线)所过的定点．核心方程是指已知条件中的等量关系．【题型精讲】【题型一  直线过定点模型】方法技巧  求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．例1  （2022·全国·高三专题练习）如图所示，设椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点P，且AP⊥OP．(1)求椭圆M的方程；(2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；(3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点．   例2  （2022·福建高三期末）已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)，其短轴长为2，离心率为e1，双曲线C2：－＝1(p>0，q>0)的渐近线为y＝±x，离心率为e2，且e1·e2＝1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设椭圆C1的右焦点为F，动直线l(l不垂直于坐标轴)交椭圆C1于M，N不同的两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，若k1＝－k2，试探究该动直线l是否过x轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．         【跟踪精练】1. （2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知动点M(x，y)(y≥0)到定点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求动点M的轨迹C的方程；(2)过点N(4,4)作斜率为k1，k2的直线分别交曲线C于不同于N的A，B两点，且＋＝1.证明：直线AB恒过定点．     2. (2022·深圳模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．    【题型二  圆过定点模型】方法技巧  圆过定点问题的一般解法(1)向量法：基本思想是根据直径所对的圆周角是直角，即·＝0．这是解决圆过定点的主要方法．一般步骤：①设出M(m，n)及相关点的坐标或相关直线的方程；②根据题设条件求出点P与点Q的坐标，P(A(t)，B(t))，Q(C(t)，D(t))；③求出与的坐标，并根据·＝0，建立方程f(m，n，t)＝0，并整理成tf(m，n)＋g(m，n)＝0；④根据圆过定点时与参数没有关系(即方程对参数t的任意值都成立)，得到方程组⑤以方程组的解为坐标的点就是圆所过的定点．例3  （2022·青岛高三模拟）已知F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点．(1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围；(2)若过点P的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．例4（2022·山东日照高三模拟）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，上、下顶点分别是B1，B2，C是B1F2的中点，若·＝2且⊥．(1)求椭圆的方程；(2)点Q是椭圆上任意一点，A1，A2分别是椭圆的左、右顶点，直线QA1，QA2与直线x＝分别交于E，F两点，试证：以EF为直径的圆与x轴交于定点，并求该定点的坐标．      【跟踪精练】1.已知椭圆C的中心在坐标原点，左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为中心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x－4y＋5＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过定点(1，0)且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM，BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 2.（2022·全国高三模拟）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，并且直线y＝x＋b是抛物线y2＝4x的一条切线．(1)求椭圆的方程；(2)过点S(0，)的动直线l交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．     【题型三 探究存在定点】例5  （2022·全国高三专题练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.  【题型精练】1.（2022·山西太原五中高三期末）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知是双曲线上不同于的两点，且于，证明：存在定点，使为定值.        【题型四  二级结论型定点】方法技巧  与定点问题有关的基本结论1.若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；2. 若直线与抛物线交于点，则直线l过定点；3.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点.4.设点是抛物线上一定点，是该抛物线上的动点，则直线MN过定点；5.过椭圆的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；6.过双曲线的左顶点P作两条互相垂直的直线与该椭圆交于点，则直线过点；7.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点；8. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则直线AB过定点.例6 　（2022·湖北模拟）已知点在椭圆：（）上，且点到椭圆右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若点，是椭圆上不同的两点（均异于）且满足直线与斜率之积为．试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．      【题型精练】1. （2022·德阳三模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线交椭圆于两点，设两直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点.