数学2 一次函数与正比例函数练习题

第四章　一次函数

2　一次函数与正比例函数

基础过关全练　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点1　一次函数与正比例函数的概念

1.(2021陕西模拟)若函数y=kxk-2是正比例函数,则(　　)

A.k=3　　　　　　        B.k≠0

C.k=3或1　　　　　　D.k>3

2.(2021甘肃兰州期中)下列各选项中的y是x的正比例函数的是(　　)

A.正方形的周长y(厘米)和它的边长x(厘米)

B.圆的面积y(平方厘米)与半径x(厘米)

C.立方体的体积y(立方厘米)和它的棱长x(厘米)

D.一棵树现在的高度为60厘米,每个月长高3厘米,x个月后这棵树的高度为y厘米

3.(2022陕西西安铁一中学期中)若函数y=(m+2)x|m|-1-5是一次函数,则m的值为　　　　. 

4.(2021安徽安庆期中)已知y=(m-2)x+|m|-2.

(1)m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是一次函数?

(2)m满足什么条件时,y=(m-2)x+|m|-2是正比例函数?

5.(2021河北唐山路北期末)已知y+3与x+2成正比例,且当x=3时,y=7.

(1)求出y与x之间的函数关系式;

(2)当x=-1时,求y的值;

(3)当y=0时,求x的值.

知识点2　确定实际问题中的一次函数关系式

6.某水库的水位在5小时内持续上涨,初始的水位高度为6米,水位以每小时0.3米的速度匀速上升,则水库的水位高度y(米)与时间x(小时)之间的函数关系式为　　　　　　　　　. 

7.(2022贵州贵阳清镇期中)甲、乙两地相距120 km,现有一列火车从乙地出发,以80 km/h的速度向甲地行驶.设x(h)表示火车行驶的时间,y(km)表示火车与甲地的距离.

(1)写出y与x之间的关系式,并判断y是不是x的一次函数;

(2)当x=0.5时,求y的值.

8.(2022独家原创)某公司要印制产品宣传材料,甲印刷厂提出:400份以上的部分,每份材料收0.6元印刷费,少于或等于400份免费,但要收800元制版费;乙厂提出:每份材料收1.6元印刷费,不收制版费.

(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式;

(2)印刷多少份宣传材料,两印刷厂的印刷费用相同?

(3)印刷800份宣传材料时,选择哪家印刷厂比较合算?

能力提升全练

9.(2022贵州贵阳清镇期中,4,)以下函数中y是x的一次函数的有(　　)

①y=2x2+x+1;②y=2πx;③y=;④y=x;⑤y=1-x;⑥y=2x.

A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个

10.(2022广东深圳民治中学期中,14,)在y=(k-1)x+k2-1中,若y是x的正比例函数,则k的值为　　　　. 

11.(2022广东梅州大埔期中,22,)小明用的练习本可在甲、乙两个商店买到.已知两个商店的标价都是每本1元.但甲商店的优惠条件是购买10本以上,从第11本开始按标价的七折卖;乙商店的优惠条件是从第一本开始就按标价的八五折卖.

(1)当购买数量超过10本时,分别写出在甲、乙两商店购买练习本的费用y(元)与购买数量x(本)之间的关系式;

(2)小明要买30本练习本,到哪个商店购买较省钱?

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12.[数学建模](2021河南郑州四十七中期中)如图,已知长方形ABCD中,AB=CD=16,BC=DA=24,E为CD边的中点,P为长方形ABCD边上的动点,动点P以4个单位/秒的速度从点A出发,沿A→B→C→E运动,运动到点E时停止.设点P运动的时间为t秒,△APE的面积为y.

(1)当t=2时,y的值是　　　　,当t=6时,y的值是　　　　; 

(2)求出点P的运动过程中,y与t之间的函数关系式.

答案全解全析

基础过关全练

1.A　根据题意得k-2=1,k≠0,∴k=3,故选A.

2.A　A选项的关系式为y=4x,y是x的正比例函数;

B选项的关系式为y=πx2,y不是x的正比例函数;

C选项的关系式为y=x3,y不是x的正比例函数;

D选项的关系式为y=3x+60,y是x的一次函数,不是正比例函数.故选A.

3.2

解析　∵函数y=(m+2)x|m|-1-5是一次函数,

∴m+2≠0,|m|-1=1,

解得m=2.故答案为2.

4.解析　(1)由题意得m-2≠0,解得m≠2.

(2)由题意得|m|-2=0,且m-2≠0,解得m=-2.

5.解析　(1)设y+3=k(x+2)(k≠0),

∵当x=3时,y=7,

∴7+3=k(3+2),∴k=2,

∴y+3=2x+4,即y=2x+1.

(2)当x=-1时,y=-1×2+1=-1.

(3)当y=0时,2x+1=0,解得x=-.

6.y=0.3x+6(0≤x≤5)

解析　水库的水位高度=上升的水位高度+初始的水位高度,所以所求函数关系式为y=0.3x+6(0≤x≤5).

7.解析　(1)根据题意,火车与乙地的距离表示为80x km,

∵甲、乙两地相距120 km,

∴火车与甲地的距离表示为(120-80x)km,即y=120-80x.

当火车到达甲地时,80x=120,

解得x=1.5,即火车行驶1.5 h到达甲地,

∴y=120-80x(0≤x≤1.5).y是x的一次函数.

(2)当x=0.5时,y=120-80x=120-80×0.5=80.

8.解析　(1)甲厂的收费y(元)与印刷数量x(份)之间的函数解析式为y=

乙厂的收费y(元)与印刷数量x(份)之间的函数解析式为y=1.6x.

(2)根据题意可知,当x≤400时,

由800=1.6x得x=500(舍去);

当x>400时,

由0.6x+560=1.6x得x=560.

∴印刷560份宣传材料,两印刷厂的印刷费用相同.

(3)当x=800时,甲厂的收费为y=0.6×800+560=1 040元.

当x=800时,乙厂的收费为y=1.6×800=1 280元.

∵1 280>1 040,

∴印刷800份宣传材料时,选择甲印刷厂比较合算.

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9.C　根据一次函数的定义可知①③不是一次函数,②④⑤⑥是一次函数,共有4个.故选C.

10.-1

解析　由已知得k2-1=0且k-1≠0,解得k=±1且k≠1,所以k=-1.

11.解析　(1)当x>10时,y甲=10+0.7(x-10)=0.7x+3,y乙=0.85x.

(2)当x=30时,y甲=0.7×30+3=24;y乙=0.85×30=25.5.

∵y甲<y乙,∴在甲商店购买较省钱.

素养探究全练

12.解析　(1)当t=2时,AP=4×2=8,所以△APE的面积y=×24×8=96.

当t=6时,BP=6×4-AB=24-16=8,所以PC=BC-BP=24-8=16,所以△APE的面积y=24×16-×16×8-×16×8-×24×8=160.

(2)①当0≤t≤4时,点P在AB上(如图1),此时AP=4t,

所以△APE的面积y=×4t×24=48t;

②当4<t≤10时,点P在BC上(如图2),此时BP=4t-16,则PC=24-(4t-16)=40-4t,所以△APE的面积y=24×16-×16×(4t-16)-×(40-4t)×8-×

24×8=-16t+256;

③当10<t≤12时,点P在CE上(如图3),此时PE=48-4t,所以△APE的面积y=(48-4t)×24=-48t+576.

综上,y与t之间的函数关系式为y=

图1                                        图2                                           图3