初中数学北师大版八年级上册4 平行线的性质课后练习题

第七章　平行线的证明

4　平行线的性质

基础过关全练　　　　　　　　　　　　　　　　

知识点　平行线的性质

1.(2021陕西中考)如图,直线l1∥l2,直线l1、l2被直线l3所截,若∠1=54°,则∠2的大小为(　　)

A.36°　　　　B.46°　　　　C.126°　　　　D.136°

2.(2021贵州黔西南州中考)将一副三角板按如图所示的方式摆放在直尺上,则∠1的度数为(　　)

A.95°　　　　B.100°　　　　C.105°　　　　D.110°

3.(2021湖南娄底中考)如图,AB∥CD,点E、F在AC边上,已知∠CED=70°,∠BFC=130°,则∠B+∠D的度数为(　　)

A.40°　　　　B.50°　　　　C.60°　　　　D.70°

4.(2018浙江衢州中考)如图,将长方形ABCD沿GH所在直线折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若∠AGE=32°,则∠GHC等于(　　)

A.112°　　　　B.110°　　　　C.108°　　　　D.106°

5.(2022独家原创)已知直线a∥b,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置(∠BAC=30°),并且顶点A,C分别落在直线a,b上,BC=6 cm,若∠1=60°,则点B到直线a的距离是　　　　. 

6.如图,BD⊥AC,EF⊥AC,垂足分别为D,F,G是AB上一点,且∠1=∠2,求证:∠AGD=∠ABC.

能力提升全练

7.(2020山东枣庄中考,2,)一副直角三角板按如图所示的方式放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,则∠DBC的度数为(　　)

A.10°　　　　B.15°　　　　

C.18°　　　　D.30°

8.(2021辽宁锦州中考,5,)如图,AM∥BN,∠ACB=90°,∠MAC=35°,则∠CBN的度数是(　　)

A.35°　　　　B.45°　　　　

C.55°　　　　D.65°

9.(2022广东深圳红岭中学期末,8,)如图,若AB∥CD,则α、β、γ满足的关系式为(　　)

A.α+β+γ=360°　　　　　　B.α-β+γ=180°

C.α+β-γ=180°　　　　　　D.α+β+γ=180°

10.(2022广东佛山禅城期末,22,)如图,点B、C在线段AD的异侧,点E、F分别在线段AB、CD上,∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC.

(1)求证:AB∥CD;

(2)若∠AGE+∠AHF=180°,求证:∠B=∠C;

(3)在(2)的条件下,若∠BFC=4∠C,求∠D的度数.

素养探究全练

11.[逻辑推理](2021安徽庐江期中)直线AB∥CD,点P为平面内一点,连接AP,CP,AC.

(1)如图①,点P在直线AB,CD之间,当∠BAP=60°,∠DCP=20°时,求∠APC的度数;

(2)如图②,点P在直线AB,CD之间,∠BAP与∠DCP的平分线相交于K,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由;

(3)如图③,点P在直线CD下方,当∠BAK=∠BAP,∠DCK=∠DCP时,写出∠AKC与∠APC之间的数量关系,并说明理由.

答案全解全析

基础过关全练

1.C　如图.

∵l1∥l2,

∴∠1=∠3=54°.

∴∠2=180°-∠3=180°-54°=126°.

故选C.

2.C　如图.

易得∠2=180°-30°-45°=105°,

∵AB∥CD,

∴∠1=∠2=105°,故选C.

3.C　∵∠BFC=130°,

∴∠BFA=50°,

∵AB∥CD,

∴∠A+∠C=180°,

∵∠B+∠A+∠BFA+∠D+∠C+∠CED=360°,

∴∠B+∠D=60°,故选C.

4.D　由折叠可得∠DGH=∠DGE=×(180°-32°)=74°,根据AD∥BC可得∠GHC=180°-∠DGH=106°.故选D.

5.6 cm

解析　如图,过点B作BD⊥a于D,∴∠3=90°,

∵a∥b,

∴∠DAC=∠1=60°,

∴∠2=∠BAC=30°.

又∵∠ACB=∠3=90°,AB=AB,

∴△ABC≌△ABD(AAS),

∴BD=BC=6 cm,

∴点B到直线a的距离是6 cm.

6.证明　如图,∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴∠BDC=∠EFC=90°,

∴BD∥EF,

∴∠1=∠3,

又∠1=∠2,

∴∠2=∠3,

∴GD∥BC,

∴∠AGD=∠ABC.

能力提升全练

7.B　由题意可得∠EDF=45°,∠ABC=30°,

∵AB∥CF,

∴∠ABD=∠EDF=45°,

∴∠DBC=∠ABD-∠ABC=45°-30°=15°.

故选B.

8.C　如图,过点C作CF∥AM,

∵AM∥BN,

∴AM∥CF∥BN,

∴∠MAC=∠ACF,∠CBN=∠FCB,

∵∠ACB=90°,∠MAC=35°,

∴∠CBN=∠FCB=∠ACB-∠ACF=∠ACB-∠MAC=90°-35°=55°.

故选C.

9.C　如图,过点E作EF∥AB.

易得AB∥CD∥EF,

∴∠BAE+∠FEA=180°,∠C=∠FEC=γ,

∵∠AEC=β,∴∠FEA=β-γ,∴α+(β-γ)=180°,即α+β-γ=180°.

故选C.

10.解析　(1)证明:∵∠AEG=∠AGE,∠C=∠DGC,∠AGE=∠DGC,

∴∠AEG=∠C,

∴AB∥CD.

(2)证明:∵∠AGE=∠DGC,∠AGE+∠AHF=180°,

∴∠DGC+∠AHF=180°,

∴EC∥BF,

∴∠B=∠AEG,

由(1)得∠AEG=∠C.

∴∠B=∠C.

(3)由(2)得EC∥BF,

∴∠BFC+∠C=180°,

∵∠BFC=4∠C,

∴∠C=36°,

∴∠DGC=36°.

∵∠C+∠DGC+∠D=180°,

∴∠D=108°.

素养探究全练

11.解析　(1)如图①,过P作PE∥AB,

∵AB∥CD,

∴PE∥AB∥CD,

∴∠APE=∠BAP,∠CPE=∠DCP,

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°.

(2)∠AKC=∠APC.

理由:如图②,过K作KE∥AB,

∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE=∠BAK,∠CKE=∠DCK,

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK,

过P作PF∥AB,同理可得,∠APC=∠BAP+∠DCP,

∵∠BAP与∠DCP的平分线相交于点K,

∴∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP=(∠BAP+∠DCP)=∠APC,

∴∠AKC=∠APC.

(3)∠AKC=∠APC.

理由:如图③,过K作KE∥AB,

∵AB∥CD,

∴KE∥AB∥CD,

∴∠BAK=∠AKE,∠DCK=∠CKE,

∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK,

过P作PF∥AB,

同理可得,∠APC=∠BAP-∠DCP,

∵∠BAK=∠BAP,∠DCK=∠DCP,

∴∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=(∠BAP-∠DCP)=∠APC,

∴∠AKC=∠APC.