专题26.21 实际问题与反比例函数（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题26.21 实际问题与反比例函数（基础篇）（专项练习）
一、 单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．越野滑雪起源于北欧，又称北欧滑雪，是世界运动史上最古老的运动项目之一．在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度（单位：km/h）与滑行时间（单位：h）之间的函数关系式是（   ）
A． B． C． D．
2．古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力×阻力臂=动力×动力臂．几位同学玩撬石头游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为1600N和0.5m，小明最多能使出500N的力量，若要撬动这块大石头，他该选择撬棍的动力臂（    ）
A．至多为 B．至少为 C．至多为 D．至少为
3．疫情期间，某校工作人员对教室进行消毒时，室内每立方米空气中的含药量y（毫升）与喷洒消毒液的时间x（分钟）成正比例关系，喷洒完成后，y与x成反比例关系（如图所示）．已知喷洒消毒液用时6分钟，此时室内每立方米空气中的含药量为16毫升．问室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为（　　）

A．7分钟 B．8分钟 C．9分钟 D．10分钟
4．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像经过点A（如图）．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，该气球的体积应（    ）

A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于
5．如图是一个闭合电路，其电源的电压为定值，电流（A）是电阻（）的反比例函数．当时，．若电阻增大，则电源为（    ）

A．3A B．4A C．7A D．12A
6．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（    ）

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃
7．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（    ）

A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
8．如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（    ）

A．当时，
B． I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
9．某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（    ）
A． B．
C． D．
10．小明在实验中测得一组导线电阻与横截面积的对应值如图, 根据图中数据, 关于的函数表达式可为(     )

A． B． C． D．
二、 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼和健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为__________度．
12．一辆汽车前灯电路上的电压U（V）保持不变，选用灯泡的电阻为R（Ω），通过的电流强度为I（A），由欧姆定律可知，I．当电阻为40Ω时，测得通过的电流强度为0.3A．为保证电流强度不低于0.2A且不超过0.6A，则选用灯泡电阻R的取值范围是____．
13．一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度的变化，到达时所用的时间的变化情况如图所示，那么行驶过程中与的函数表达式为________．

14．我国自主研发多种新冠病毒有效用药已经用于临床救治．某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/ml）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）．则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是______．

15．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为______字．

16．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足．若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是________．
17．如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作（其中为1～8的整数），函数的图象为曲线．若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则的取值范围为______．

18．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为_________小时

三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度v与时间t有怎样的函数关系？
（2）如果该司机必须在之内回到甲地，那么返程时的平均速度不能小于多少？





20．（8分）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1) 求这个反比例函数的解析式；
(2) 如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？



21．（10分）已知学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如下图所示，当和时，函数图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分，BC∥AD∥x轴．
(1) 求点D坐标；
(2) 当x满足什么条件时，学生注意力指标不低于30．









22．（10分）如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：

桌面所受压强P（Pa）
400
500
800
1000
1250
受力面积S（）
0.5
0.4
a
0.2
0.16
(1) 根据表中数据，求出压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式及a的值．
(2) 如图2，将另一长，宽，高分别为60cm，20cm，10cm，且与原长方体相同重量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为2000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．





23．（10分）如图点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
(1) 直接写出y与x之间的函数表达式______；
(2) 若图像的另一支可以表示老李从家里出发步行到单位所需时间与速度之间的关系，则：
① 老李家距离单位_____m；
② 若老李每天都七点一刻出发，单位上班时间为8点，但是员工必须提前5分钟到岗，请你用函数的性质说明老李步行速度至少为多少才能不迟到？




24．（12分）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1) 求当x≥6时，y与x的函数关系式．
(2) 求点A的坐标．
(3) 药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？

























参考答案
1．B
【分析】根据速度乘以时间等于定值30即可求解．
解：在北京冬奥会男子30km越野滑雪比赛中，某运动员的滑行速度（单位：km/h）与滑行时间（单位：h）之间的函数关系式是，
故选B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键．
2．B
【分析】直接利用：阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出F与l之间的函数表达式；把F=500N代入所求的函数解析式即可得到结论．
解：由题意可得：1600×0.5=Fl，
则F与l的函数表达式为：F=；
当动力F=500N时，
500=，
解得l==1.6，
答：动力F=500N时，动力臂至少为1.6m，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出F与l之间的关系是解题关键．
3．C
【分析】分0≤x≤6和x＞6两种情况，利用待定系数法分别求出对应的一次函数和反比例函数解析式，在两个函数解析式中求出y=8时，x的值，从而得到有效消毒时间．
解：当0≤x≤6时，设y=mx，
将点（6，16）代入，得：16=6m，解得m=，
∴y=；
当x＞6时，设y=，
将点（6，16）代入，得：16=，
解得：n=96，
∴y=；
综上，y=；
当0≤x≤6时，若y=8，则x=8，
解得x=3；
当x＞6时，若y=8，则，
解得x=12；
∴12-3=9（分钟），
故室内每立方米空气中的含药量不低于8毫升的持续时间为9分钟．
故选：C．
【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
4．B
【分析】根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，且过点（1，96）故P•V=96；故当P≤144，可判断V≥．
解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P=
∵图象过点（1，96）
∴k=96，
即P=
在第一象限内，P随V的增大而减小，
∴当P≤144时，V≥．
故选：B．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象上的已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式．
5．B
【分析】根据，可得，当时，代入即可求得
解：，当时，．

当时，
故选B
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，掌握物理电学公式是解题的关键．
6．C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
解：∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，
解得：k=216．
当x=16时，y==13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
7．B
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
8．D
【分析】先求出I与R的函数关系式是，可得I随R的增大而减小，再逐项判断即可求解．
解：解∶设电流与电阻的函数关系式为（R＞0），
把点代入得：，解得：，
∴I与R的函数关系式是，故B错误；
∴I随R的增大而减小，
当R=0.25时，I=880，
∴当时，，故A错误；
当R=1000时，I=0.22，
∴当时，，故C错误；
当R=880时，I=0.25，
∴当时，I的取值范围是，故D正确；
故选：D
【点拨】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意建立函数模型可得，即，符合反比例函数，根据反比例函数的图象进行判断即可求解．
解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
【点拨】本题考查了反比例数的应用，根据题意建立函数模型是解题的关键．
10．B
【分析】根据图中数据可得，所有点的横纵坐标之积约等于6，可得
解：观察图中数据，，，，，，，所有点的横纵坐标之积约等于6，
∴
故选B
【点拨】本题考查了反比例函数的定义，观察函数图象各点的特点是解题的关键．
11．200
【分析】设函数的解析式为，由x= 400时，y= 0.25可求k，进而可求函数关系式，然后把x = 0.5代入解析式，即可求得答案．
解：设函数的解析式为，
∵400度近视镜片的焦距为0.25米，
∴，
解得k=100，
∴函数的解析式为，
∴当x = 0.5时，，
∴小明的近视镜度数可以调整为200度．
故答案为：200．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
12．
【分析】由题意易得V，然后根据反比例函数的性质可进行求解．
解：由题意得：V，
∴，
∴在每个象限内，I随R的增大而减小，
∴当A时，则有：Ω；当A时，则有：Ω；
∴选用灯泡电阻R的取值范围是；
故答案为．
【点拨】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
13．
【分析】观察图象可知与成反比例函数关系，可设与的关系式为：，将点代入求得，进而得到与的关系式．
解：由图象可知与成反比例函数关系，
设与的关系式为：，
将点代入得：，
∴，
∴与的关系式为：．
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，理解题意和熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
14．
【分析】根据函数图像求得正比例函数和反比例函数，进而根据题意求得时的自变量x的取值范围．
解：根据题意设时，正比例函数为，时，反比例函数为，将点代入，得
，

当时，当时，
当时，当时，
根据函数图像可知，则体内抗体浓度y高于70微克/ml时，相应的自变量x的取值范围是
故答案为：
【点拨】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．
15．
【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出时，的值，然后根据反比例函数的增减性即可得．
解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
当时，，
反比例函数的在内，随的增大而减小，
如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为字，
故答案为：．
【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．
16．
【分析】由题意可得，则有，然后问题根据勾股定理可求解．
解：∵矩形能被分割成3个全等的正方形，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴，则，
∴矩形的对角线长为；
故答案为．
【点拨】本题主要考查勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质，熟练掌握勾股定理、矩形的性质、反比例函数的应用及正方形的性质是解题的关键．
17．
【分析】先求出各点的坐标，再求得经过各点时k的值，根据题意即可求解．
解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2，
∴T1（-16，1），T2（-14，2），T3（-12，3），T4（-10，4），T5（-8，5），T6（-6，6），T7（-4，7），T8（-2，8），
∵L过点T1，
∴k=-16×1=-16，
若曲线L过点T2（-14，2），T7（-4，7）时，k=-14×2=-28，
若曲线L过点T3（-12，3），T6（-6，6）时，k=-12×3=-36，
若曲线L过点T4（-10，4），T5（-8，5）时，k=-40，
若曲线L过点T8（-2，8）时，k=-16，
∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，
∴-36＜k＜-28，
故答案为：-36＜k＜-28．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是本题的关键．
18．
【分析】分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可．
解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．
19．（1）；（2）
【分析】(1)直接求出总路程，再利用路程除以时间=速度，进而得出关系式；(2)由题意可得 ≤5，进而得出答案．
解：（1）由题意得，两地路程为80×6=480（km），
故汽车的速度v与时间t的函数关系为：v=．
（2）由v=，得t=，
又由题知：t≤4，
∴≤4．
∵v＞0
∴480≤4v．
∴v≥120．
答：返程时的平均速度不能低于120 km/h．
【点拨】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
20．(1)函数的解析式为I=；(2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
(1)解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=，
∵图象经过（20，1.8），
∴1.8=，
解得k=1.8×20=36，
∴I=；
(2)解：∵I≤3，I=，
∴≤3，
∴R≥12，
即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
21．(1)（45，20）(2)当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【分析】（1）求出反比例函数解析式，即可求解；
（2）先求出直线AB的解析式，可得y≥30时，x的取值范围，再由反比例函数可得y≥30时，x的取值范围，即可求解．
（1）解：设当时，反比例函数解析式为，
把点C（20，45）代入得：
，解得：k=900，
∴反比例函数解析式为，
∴当x=45时，，
∴D（45，20）；
（2）解：根据题意得：A（0，20），
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，
将A（0，20）、B（10，45）代入得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为，
当y≥30时，，解得：x≥4，
由（1）得反比例函数解析式为，
当y≥30时，，解得：x≤30，
∴当4≤x≤30时，学生注意力指标不低于30．
【点拨】本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
22．(1)，0.25(2)这种摆放方式不安全，理由见分析
【分析】（1）观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式，令P=800，可得a的值；
（2）算出S，即可求出P，比较可得答案．
（1）解：观察图表得：压强P与受力面积S的乘积不变，故压强P是受力面积S的反比例函数，
设压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
把（400，0.5）代入得：，
解得：k=200，
∴压强P（Pa）关于受力面积S（）的函数表达式为，
当P=800时，，
∴a=0.25；
（2）解：这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知S=0.1×0.2=0.02（），
∴将长方体放置于该水平玻璃桌面上的压强为，
∵10000>2000，
∴这种摆放方式不安全．
【点拨】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．
23．(1)(2)①3000；②75
【分析】（1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可求解；
（2）①根据路程=速度×时间即可求解；②将y=40代入函数解析式，求出x，再根据反比例函数的性质得出结论．
（1）解：设y与x之间的函数表达式为，
∵点A是反比例函数图像上的一点，轴，垂足为B，三角形ABO面积为1500．
∴，解得：k=±3000，
∵图象位于第三象限，
∴k＞0，
∴k=3000，
∴y与x之间的函数表达式为；
故答案为：
（2）解：①根据题意得：，
∴xy=3000，
∴老李家距离单位3000m；
故答案为：3000
②∵，
∴当y=60-15-5=40时，，
解得：x=75，
∴老李步行速度至少为多少才能不迟到．
【点拨】本题考查了反比例函数的应用，反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质，求出y与x之间的函数表达式是解题的关键．
24．(1)(2)(3)是有效消毒
【分析】（1）设与的函数关系式为，根据点，利用待定系数法即可得；
（2）根据（1）的结果，求出时，的值，由此即可得；
（3）先利用待定系数法求出所在直线的表达式，再求出时的值，由此即可得．
（1）解：设与的函数关系式为，
将点代入得：，
解得，
则当时，与的函数关系式为．
（2）解：对于反比例函数，
当时，，
则点的坐标为．
（3）解：设所在直线的表达式为，
将点代入得：，解得，
则所在直线的表达式为，
将代入得：，解得，
将代入得：，解得，
因为，
所以本题中的消毒是有效消毒．
【点拨】本题考查了反比例函数和正比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．