专题27.3 比例的性质及成比例线段（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题27.3 比例的性质及成比例线段（巩固篇）

（专项练习）

一、单选题

1．在比例尺为1：n的某市地图上，A，B两地相距5cm，则A，B之间的实际距离为（   ）

A．n cm B．cm C．5ｎcm D．25cm

2．已知点 是线段 上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（       ）

A． B． C． D．

3．若，则下列等式成立的是（       ）

A． B． C． D．

4．已知，下列式子错误的是（       ）

A． B． C． D．

5．如果(其中，)，那么下列式子中不正确的是（     ）

A． B． C． D．

6．下列结论不一定成立的是（       ）

A．如果，那么

B．如果，那么

C．如果，（），那么

D．如果，那么

7．已知，那么下列等式中成立的是（       ）

A． B． C． D．．

8．已知，则的值为（       ）

A． B． C． D．

9．若，设，，，则、、的大小顺序为（       ）

A． B． C． D．

10．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（       ）（精确到0.01．参考数据：，，）

A． B． C． D．

二、填空题

11．如图，点G为的重心，若，则__________.

12．已知b是a、c的比例中项，且a＝3cm，c＝6cm，则b＝_____cm．

13．如图，若是已知线段，经过点作，使；连接，在上截取；在上截取，则______．

14．在一张比例尺为的地图上，、两地间的图上距离为3厘米，则两地间的实际距离是______千米．

15．已知：，则k＝____．

16．已知满足，试求的最大值__________．

17．在中，若交于，交于，交于，、、相交于一点，，，则______．

18．已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为 __．

19．＝＝＝k，则关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第_____________象限．

20．在平面直角坐标系中，关于x的一次函数y=kx+4，其中常数k满足，一次函数y=kx+4的解析式为_____________；

三、解答题

21．已知：a：b：c＝3：4：5

（1）求代数式的值；

（2）如果3a﹣b+c＝10，求a、b、c的值．

22．（1）已知线段是线段、的比例中项，如果，，求的长度．

（2）已知，求的值．

23．若，求的值．

24．已知，x：y：z＝2：3：4，求：

（1）的值；

（2）若x+y+z＝18，求x，y，z．

25．阅读理解：

已知：a，b，c，d都是不为0的数，且，求证：．

证明：∵，

∴．

∴．

根据以上方法，解答下列问题：

（1）若，求的值；

（2）若，且a≠b，c≠d，证明．

26．公园内两条小河MO、NO在O处汇合，如图所示，两河形成的平地上要建一个小百货店，使小百货店到两岸边距离相等，到两河交汇处距离300米，百货店的位置该怎样确定？请你按10000：1的比例，在图中确定百货店的位置，并估算一下，它到河边的距离．

参考答案

1．C

解：设A、B之间的实际距离为xcm，则1：n=5：x，解得x=5ncm，故选C．

【点拨】本题考查了比例尺的性质，解题的关键是根据比例尺的性质列方程，解方程即可，注意统一单位．

2．C

【分析】

设AB=1，AP=x，则PB=1－x，由比例中项得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．

解：设AB=1，AP=x，则PB=1－x，

∵线段是和的比例中项，

∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，

∴x2+x－1=0，

解得：，（舍去），

∴PB=1－= ，

∴ ，，，，

故选：C．

【点拨】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程，熟知比例中项的定义是解答的关键．

3．D

【分析】

把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．

解：A.由，可得，不符合题意；

B.由，可得，不符合题意；

C.由，可得，不符合题意；

D.由，可得，符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查了比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例式与乘积式的互相转化．

4．C

【分析】

根据内项之积等于外项之积可对A、B、C进行判断；利用合比性质可对D进行判断．

解：A．2x=3y，则，所以A选项不符合题意；

B．2x=3y，则，所以B选项不符合题意；

C．2x=3y，则y：x=2：3，所以C选项符合题意；

D．2x=3y，则，所以，所以D选项不符合题意．

故选：C．

【点拨】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．

5．D

【分析】

设，则可以变形为．分别代入各个选项检验即可得到结论．

解：设，则可以变形为．

A、，，该选项正确，故不符合题意；

B、，，该选项正确，故不符合题意；

C、，，该选项正确，故不符合题意；

D、，，该选项错误，故符合题意．

故选：D．

【点拨】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分求值．

6．D

【分析】

对于A、B选项，设，则，，分别代入验证左右两端是否相等即可；对于C、D选项，设，则，， ，分别代入计算，验证两边是否相等即可．

解：A：设，

则，，

∴，，

∴，故A不符合题意；

B：利用A中的方法，同理可知也成立，故B不符合题意；

C：设，则，， ，

∴，

又∵，

∴，故C不符合题意；

D：设，则，， ，

∴，，，

∴，故D符合题意；

故选：D．

【点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握等比、合比的性质是解题的关键．

7．C

【分析】

比例的性质为两内项之积等于两外项之积，据此可进行解答．

解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，

∴3a=2b，

A：由以上解释易知A选项错误，不符题意；

B：，即，故错误，不符题意；

C： ，即，故正确，符合题意；

D：，即3a=4b，故错误，不符题意；

故选C．

【点拨】本题考查了比例的基本性质，掌握基本性质是解题关键．

8．B

【分析】

根据比的性质，可得a，b，c，代入代数式求值，可得答案．

解：由a：b：c=2：4：5，

设a=2x，b=4x，c=5x．

∴==，

故选B．

【点拨】本题考查了比例的性质，利用比的性质得出a=2x，b=4x，c=5x是解题的关键．

9．B

【分析】

根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．

解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a，

∴=，

==1，

==2．

∴A＜B＜C．

故选：B．

【点拨】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．

10．B

【分析】

设雕像的下部高为xm，根据题意可得，求解即可；

解：设雕像的下部高为xm，则上部长为，

∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，高度为，

∴，

∴，

解得：（舍）或，

∴．

故选B．

【点拨】本题主要考查了比例线段的知识点和一元二次方程的计算，准确列出比例方程是解题的关键．

11．18

【分析】

根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，再结合三角形的面积公式求解．

解：∵G为△ABC的重心,

∴AG:GD=2:1，

∴S△ABG=2S△BGD，

∴S△ABD的面积=3S△BGD=

∴S△ABC的面积=2 S△ABD的面积=

故答案为18.

【点拨】利用重心概念，结合面积的求法，进行求解.

12．3

【分析】

根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．

解：∵b是a、c的比例中项，

∴b2＝ac，即b2＝3×6，

解得b＝±3（线段是正数，负值舍去），

∴a和c的比例中项b＝3cm．

故答案为：3．

【点拨】此题考查了比例线段，理解比例中项的概念是本题的关键，注意线段不能是负数．如果b是a、c的比例中项，那么b2＝ac.

13．

【分析】

设，从而可得，先利用勾股定理可得，再利用线段的和差可得AC的长，然后求出线段的比即可得．

解：设，则，

在中，，

，

，

，

，

，

故答案为：．

【点拨】本题考查了勾股定理、线段的比等知识点，熟练掌握勾股定理是解题关键．

14．3

【分析】

由比例尺的定义：图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离．

解：设地铁线路的实际长度约为是x厘米，由题意，得

1：100000=3：x，

解得：x=300000，

300000厘米=3km．

故答案为：3．

【点拨】本题考查了比例尺的意义的运用，比例线段，一元一次方程的解法，解题的关键是注意单位之间的换算．

15．2或﹣1

【分析】

根据比例的基本性质熟练进行比例式和等积式的互相转换即可得答案．

解：此题要分情况考虑：

当x+y+z≠0时，则根据比例的等比性质，得k＝＝2；

当x+y+z＝0时，即x+y＝﹣z，则k＝﹣1，

故答案为：2或﹣1．

【点拨】此题由于没有条件的限制，一定要分情况计算．要熟悉比例的等比性质，注意等比性质的条件的限制．

16．25

【分析】

设，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．

解：设，

∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，

∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2

=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)

=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4

=-3k2-18k-2

=-3(k2+6k+9-9)-2

=-3(k+3) 2+25

∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，

∴a2+b2−c2的最大值为25，

故答案为：25．

【点拨】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．

17．

【分析】

如图，先利用三角形的面积关系可得 再结合比例的基本性质证明可得 同理可得： 可得 从而可得结论.

解：如图，

同理可得：

，，

故答案为：

【点拨】本题考查的是三角形的面积关系，比例的基本性质，掌握比例的基本性质进行比例的变形是解题的关键.

18．+##0.6875

【分析】

设，则，，，可得；利用a，b，c为非负实数可得k的取值范围，从而求得m，n的值，结论可求．

解：设，则，，，

．

，，为非负实数，

，

解得：．

当时，取最大值，当时，取最小值．

，

．

．

故答案为：

【点拨】本题主要考查了比例的性质，解不等式组，非负数的应用等，设是解题的关键．

19．一、四

【分析】

当a+b+c＝0，利用比例性质得k＝﹣1，则函数解析式为y＝﹣x+1，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、二、四象限；当a+b+c≠0，利用比例性质得k＝＝2，则函数解析式为y＝2x﹣2，于是一次函数与系数的关系可得直线经过第一、三、四象限，然后综合两种情况可判断y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．

解：当a+b+c＝0，a+b＝﹣c ，k＝﹣1，

则函数解析式为y＝﹣x+1，直线y＝﹣x+1经过第一、二、四象限；

当a+b+c≠0，k＝＝＝，

则，

三个等式相加得，，

解得，则函数解析式为y＝2x﹣2，直线y＝2x﹣2经过第一、三、四象限，

所以关于x的函数y＝kx﹣k的图象必经过第一、四象限．

故答案为一、四．

【点拨】本题考查了比例的性质和一次函数的性质，解题关键是根据比例的性质求出k的值.

20．或y=-x+4

【分析】

根据求得k的值，从而写出一次函数的解析式．

解：∵，

∴c=k（a+b），a=k（b+c），b=k（a+c），

∴a+b+c=2k（a+b+c），

∴a+b+c=0或k=，

当a+b+c=0时，a+c=-b，则k==-1，

∴该一次函数的解析式为y=x+4或y=-x+4，

故答案为：y=x+4或y=-x+4．

【点拨】考查了求一次函数解析式，解题关键是根据题意，求出k值．

21．（1）；（2） a=3，b=4，c=5

【分析】

（1）根据比例设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；

（2）先设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），然后将其代入3a-b+c=10，即可求得a、b、c的值．

解：（1）∵a：b：c=3：4：5，

∴设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），

则；

（2）设a=3k，b=4k，c=5k（k≠0），代入3a﹣b+c＝10得：

9k-4k+5k=10，

解得k=1．

则a=3k=3，b=4k=4，c=5k=5．

【点拨】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

22．（1）；（2）．

【分析】

（1）根据线段比例中项的定义即可得；

（2）根据已知比例式、平方差公式、算术平方根求解即可得．

解：（1）由题意得：，即，

将代入得：，

解得；

（2）由得：，

整理得：，即，

解得．

【点拨】本题考查了比例线段、平方差公式、算术平方根等知识点，熟练掌握比例线段的定义是解题关键．

23．0

【分析】

设，则，，，然后计算即可得到答案．

解：∵，

设，

∴，，，

∴

=

=；

【点拨】本题考查了比例的性质，求代数式的值，解题的关键是熟练掌握比例的性质进行解题．

24．（1）；（2）x＝4，y＝6，z＝8．

【分析】

（1）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入比例式进行计算即可得解．

（2）根据比例设x=2k，y=3k，z=4k，然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x，y，z的值．

解：（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，则

＝＝；

（2）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，

∵x+y+z＝18，

∴2k+3k+4k＝18，

解得k＝2，

∴x＝4，y＝6，z＝8．

【点拨】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便．

25．（1）；（2）证明过程见分析

【分析】

（1）根据计算即可；

（2）先在等式两边同时减去1再结合计算即可；

解：（1）∵，

∴；

（2）∵，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴．

【点拨】本题主要考查了比例的性质应用，准确计算是解题的关键．

26．百货店距离河边距离约为90米.

【分析】

先画出∠MON的角平分线，再通过比例尺换算300米对应图上的距离为3厘米，在角平分线上量出3厘米从而确定P点位置，再作P点到ON的垂线段，量出长度再通过比例尺换算即可.

解：先作出∠MON的角平分线OE：

则P点一定在OE上且OP=300米，利用比例尺进行换算得OP在图上的长度为：300÷100=3厘米，用刻度尺量出OP=3厘米并在图上画出P点的位置，再做PQ垂直ON于Q点，用刻度尺量出PQ长度约为0.9cm，故可计算出其真实距离约为0.9×100=90米，

故百货店到河边的距离约为90米.

【点拨】本题综合考察了角平分线的性质及其作法、比例尺的知识.