专题27.24 位似（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题27.24 位似（基础篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题27.24 位似（基础篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（　　）

A．△ABC与△DEF是位似图形 B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的面积之比为4：1 D．△ABC与△DEF的周长之比为4：1
2．如图，点O是正三角形的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似中心是（       ）

A．点O B．点P C．点 D．点Q
3．如图，以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，下列说法错误的是（       ）

A．// B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，2)，B(﹣6，﹣4)，以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A．(﹣3，﹣2) B．(﹣12，﹣8)
C．(﹣3，﹣2)或(3，2) D．(﹣12，﹣8)或(12，8)
5．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，使与的位似比为，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是(     )

A． B． C． D．
6．如图，△ABC和△AʹBʹCʹ位似，位似中心为点O，点A（-1，2）、点A′（2，-4），若△ABC的面积为4，则△AʹBʹCʹ的面积是（          ）

A．2 B．4 C．8 D．16
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4）．点A在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点P是BC的中点．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，记点P的对应点为P1，则P1的坐标为（       ）

A．（3，3） B．（3，2）或（，）
C．（3，3）或（，） D．（2，3）或（，）
8．如图中的两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（       ）

A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）

A．（―1，2） B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2）
10．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（       ）

A． B．2 C．4 D．
二、填空题
11．如图，四边形与四边形的对应边平行，是的中位线，若四边形的面积4，则四边形面积是______．

12．如图，在正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，，则两个正方形的位似中心的坐标是___________.

13．如图，，且，则与是位似图形，与的位似比为________；

14．已知的三个顶点坐标为、、，将以坐标原点为位似中心，以位似比2：1进行缩小，则缩小后的点所对应的点的坐标为__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知B（﹣4，0），D（2，0），C（3，﹣2），则点A的坐标为 _____．

16．如图，以为位似中心，将放大得到，其中，，则与的相似比为______，若点坐标为，则点坐标为______．

17．如图，三个顶点的坐标分别为，，，以原点O为位似中心，画出一个三角形，使它与的相似比为．则画出的一个三角形为______°．

18．如图，直线y＝x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为__________．

三、解答题
19．在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，且点A（-3，3）的对应点D（7，1），点B（0，6）的对应点E（8，2），点C（3，0）的对应点F（9，0），求位似中心P的坐标．




20．如图，如果AC∥BD，CE∥DF，那么△ACE与△BDF是位似三角形吗？为什么？




21．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是_______；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是_______；
（3）△A2B2C2的面积是_______平方单位．


22．如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2，b1≠b2，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．如图，已知函数y=-2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=-2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y=kx+b的表达式．






23．如图，△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，EF：FC＝1：2， 若S△EFD＝1，求四边形EBCD的面积．






24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内一点，连接AD，BD．在BD左侧作Rt△BDE，使∠BDE＝90°，以AD和DE为邻边作▱ADEF，连接CD，DF．
（1）若AC＝BC，BD＝DE．
①如图1，当B，D，F三点共线时，CD与DF之间的数量关系为　 ．
②如图2，当B，D，F三点不共线时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（2） 若BC＝2AC，BD＝2DE，，且E，C，F三点共线，求的值．


























参考答案
1．D
【分析】
根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
解：根据位似性质可得：A、△ABC与△DEF是位似图形，故本选项正确，不符合题意；
△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
∵将△ABC的三边缩小到原来的，
∴△ABC与△DEF的周长之比为2：1，故D选项不正确，符合题意；
∵面积比等于相似比的平方，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：1，故C选项正确，不符合题意；
故选：D．
【点拨】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
2．A
【分析】
先根据三角形中位线定理可得P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR，，得出△P′Q′R′∽△PQR，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心即可得．
解：∵P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，
∴P′Q′∥PQ，P′R′∥PR，Q′R′∥QR，，
∴△P′Q′R′∽△PQR，
又∵点P′在PO中点、点Q′在QO中点、点R′在RO中点，
∴点P′与点P，点Q′与点Q，点R′与点R的连线都经过点O，
∴△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，其位似中心是点O，
故选：A．
【点拨】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．
3．B
【分析】
根据位似的性质对各选项进行判断，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
解：以点为位似中心，把的各边放大为原来的2倍得到，
∴和是位似图形，
∴~，故C正确；
∴， 又
~
∴
∴//故A正确；
∵把的各边放大为原来的2倍得到，
∴
∴，故B选线说法错误；
∵，故D正确；
∴说法错误的是：B选项；
故选：B．
【点拨】本题考查了位似图形变换，正确掌握位似的性质是解题的关键．
4．C
【分析】
根据位似变换的性质计算即可．
解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，点B的坐标为（﹣6，﹣4），
∴点B的对应点B′的坐标为（﹣6×，﹣4×）或（6×，4×），即（﹣3，﹣2）或（3，2），
故选：C．
【点拨】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
5．D
【分析】
设点的横坐标为x，根据数轴表示出BC、C的水平的距离，再根据位似比列式计算即可．
解：设的横坐标为x，
则B、C间的水平距离为a-1，、C间的水平距离为-x+1，
∵与的位似比为，
∴，
解得：，
故选：D．
【点拨】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的水平距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
6．D
【分析】
直接利用位似图形对应点坐标得出相似比，进而利用相似三角形的性质得出答案．
解：∵△ABC和△A'B'C′位似，位似中心为原点O，点A（-1，2）、点A'（2，-4），
∴△ABC和△A'B'C′的相似比为：1：2，
∴△ABC和△A'B'C′的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为4，
∴△A'B'C′的面积是：16．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．
7．C
【分析】
根据矩形的性质求出点P的坐标为（2，2），根据位似变换的性质计算，得到答案．
解：∵矩形OABC的顶点B的坐标为（2，4），点P是BC的中点，
∴点P的坐标为（2，2），
以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的1.5倍，
则P1的坐标为（2×1.5，2×1.5）或（−2×1.5，−2×1.5），即（3，3）或（−3，−3），
故选：C．
【点拨】本题考查的是位似变换的性质、矩形的性质、坐标与图形性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
8．B
【分析】
过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心．
解：如图，过图中三角形的两对对应点作直线，从图中看出，两条直线的交点为(4,-2)．　

故选：B．
【点拨】本题主要考查了位似变换，熟记“过图中三角形的两对对应点作直线，两条直线的交点即为位似中心”这一方法是解题的关键．
9．D
解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（－1,2）
同理可得A′′（1,―2）
方法二：∵点A（―3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（―3×，6×），
∴A′（－1,2）
∵点A′′和点A′（－1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,―2）
故答案选：D．

考点：位似变换．
10．D
【分析】
把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．
解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，
而A（1，2），C（3，1），
∴D（2，4），F（6，2），
∴DF＝=，
故选：D．
【点拨】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
11．16
【分析】
根据位似图形的判定可得四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形，然后根据位似图形的性质可得，然后根据三角形中位线的性质即可得出结论．
解：∵四边形与四边形的对应边平行，
∴四边形与四边形是以点P为位似中心的位似图形
∴
∵是的中位线，若四边形的面积4，
∴EH=2AD
∴
解得：
故答案为：16．
【点拨】此题考查的是位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质，掌握位似图形的判定及性质和三角形中位线的性质是解决此题的关键．
12．或
【分析】
根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，分两种情况：一种是当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点；另一种是A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.
解：∵正方形和正方形中，点和点的坐标分别为，
∴
（1）当点E和C是对应顶点，G和A是对应顶点，位似中心就是EC与AG的交点.
设AG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
当时，，所以EC与AG的交点为
（2）A和E是对应顶点，C和G是对应顶点.，则位似中心就是AE与CG的交点
设AE所在的直线的解析式为
解得
∴AE所在的直线的解析式为
设CG所在的直线的解析式为
解得
∴AG所在的直线的解析式为
联立解得
∴AE与CG的交点为
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是或
故答案为或
【点拨】本题主要考查位似图形，涉及了待定系数法求函数解析，求位似中心，正确分情况讨论是解题的关键.
13．
【分析】
根据相似三角形的性质求出，根据位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比解答即可．
解：∵OA'：A'A=4：3，
∴OA：OA′=7：4，
∵△ABC与△A'B'C'是位似图形，
∴A′B′∥AB，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴，
∴△ABC与△A'B'C'的位似比=7：4，
故答案为：7：4．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应边的比等于位似图形的位似比是解题的关键．
14．或
【分析】
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
解：∵点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为2：1，
∴点的对应点的坐标为或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
15．（﹣6，4）
【分析】
根据点B、D的坐标求出位似比，根据位似变换的性质详解即可．
解：∵B（﹣4，0），D（2，0），
∴OB＝4，OD＝2，
∴△OAB与△OCD的位似比为2：1，
∵点C的坐标为（3，﹣2），
∴点A的坐标为（3×（﹣2），﹣2×（﹣2）），即点A的坐标为（﹣6，4），
故答案为：（﹣6，4）．
【点拨】本题考查的是位似变换的性质、坐标与图形性质，根据题意求出位似比是解题的关键．
16．         
【分析】
根据已知数据可得OB＝3，OD＝4，则可得两个三角形的相似比，进而由点A的坐标，结合位似比即可得出点C的坐标．
解：∵△AOB与△COD是位似图形，，，
∴OB＝3，OD＝4，
∵OB：OD＝3：4，
所以△AOB与△COD的相似比为3：4．
∵点A的坐标为A（1，2），
所以点C的坐标为．
故答案为：3：4，．
【点拨】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形结合的问题，解题的关键是掌握位似图形的性质与坐标之间的关系．
17．答案见详解.
【分析】
根据位似三角形的定义，分别找到原三角形各个顶点的对应点，连接起来，即可.
解：∵三个顶点的坐标分别为，，，
∴以原点O为位似中心，使它与的相似比为的对应点坐标为：，，，如图所示：

【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中，作已知三角形的位似三角形，理解位似三角形的定义，是解题的关键，注意：本题的位似三角形有2个，画出一个即可.
18．(－4，－3)或(2，3)
【分析】
结合坐标轴上点的坐标特点，由直线解析式中的y=0、x=0，可得到点A、B的坐标；根据位似图形的性质，分B′和B在点A的同侧和异侧两种情况进行计算即可解答．
解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=−1，
∴点A和点B的坐标分别为(−1，0)；(0，1)，
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，
∴，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为(−4，−3)或(2，3)．
故答案为(−4，−3)或(2，3)．
【点拨】本题考查位似变换，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握位似图形的性质．
19．P（12，0）
【分析】
在平面坐标坐标系中描点得到和 AD，BE和CF的交点为位似中心P点，然后写出P点坐标．
解：如图，点P为位似中心，P点的坐标为

【点拨】本题考查了位似变换:位似的两个图形必须是相似形;对应点的连线都经过同一点，对应边平行( 或共线)．
20．△ACE与△BDF是位似三角形，理由见分析
【分析】
利用相似三角形的判定与性质得出△OAE∽△OBF，进而得出AE∥BF，再利用位似图形的定义求出即可．
解：△ACE与△BDF是位似三角形，
理由：∵AC∥BD，CE∥DF，
∴，，
∴，
又∵∠AOE＝∠BOF，
∴△OAE∽△OBF，
∴∠OAE＝∠OBF，
∴AE∥BF，
又∵△ACE与△BDF对应点相交于点O，
∴△ACE与△BDF是位似三角形．．
【点拨】此题主要考查了位似图形的定义以及相似三角形的判定与性质，掌握位似图形和相似图形的关系是解题关键．
21．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【分析】
（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；

故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；

故答案为（1，0）；
（3）∵，，，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：（平方单位）．
故答案为10．
【点拨】本题主要考查作图一平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质．
22．见分析
【分析】
（1）根据平行一次函数的定义可知：k=﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；
（2）根据位似比为1：2可知：函数y=kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y=kx+b的表达式．
解：（1）由已知得：k=﹣2，把点（3，1）和k=﹣2代入y=kx+b中得：1=﹣2×3+b，∴b=7；
（2）根据位似比为1：2得：函数y=kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达式为：y=﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达式为：y=﹣2x﹣2；

23．9
【分析】
利用位似的定义和相似的性质得△DEF∽△BCF，所以＝（）2＝，则S△BCF＝4，再利用高相同，面积比等于底边之比，可计算出S△DCF＝2，S△BEF＝2，然后把所有三角形的面积相加可得到四边形EBCD的面积．
解：∵△EFD和△CFB是以点F为位似中心的位似图形，
∴△DEF∽△BCF，
∴＝（）2＝，
∴S△BCF＝4S△DEF＝4×1＝4，
∵EF：FC＝1：2，
∴S△DCF＝2S△DEF＝2，S△BCF＝2S△BEF，
∴S△BEF＝2，
∴四边形EBCD的面积＝1+4+2+2＝9．
【点拨】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．也考查了三角形面积公式．
24．（1）①DF＝CD,②结论仍然成立．理由见分析；（2）.
【分析】
（1）①证明△BCD≌△ACF（SAS），即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题；
②结论仍然成立．如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．证明方法类似①；
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．证明△CBD∽△CAF，推出，∠BCD=∠ACF，推出∠BCA=∠DCF=90°，证明∠ADC=90°，由CD：AC=4：5，设CD=4k，AC=5k，则AD=EF=3k，求出AF，CE（用k表示）即可解决问题．
解：（1）①如图1中，连接CF．设AC交BF于G．

∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠EDF＝∠DFA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGF，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CD．
故答案为DF＝CD．
②结论仍然成立．
理由：如图2中，连接CF．延长BD交AF的延长线于H，设AC交BH于G．

∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵BD＝DE，
∴AF＝BD，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵BC＝AC，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴∠BCD＝∠ACF，CD＝CF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DF＝CD．
（2）如图3中，延长BD交AF于H．设BH交AC于G．

∵四边形AFED是平行四边形，
∴AF＝DE，DE∥AF，
∵∠BDE＝90°，
∴∠DEH＝∠DHA＝90°＝∠BCG，
∵∠CGB＝∠AGH，
∴∠CBD＝∠CAF，
∵，
∴，
∴△CBD∽△CAF，
∴，∠BCD＝∠ACF，
∴∠BCA＝∠DCF＝90°，
∵AD∥EF，
∴∠ADC+∠DCF＝180°，
∴∠ADC＝90°，
∵CD：AC＝4：5，设CD＝4k，AC＝5k，则AD＝EF＝3k，
∴CF＝CD＝2k，
∴EC＝EF﹣CF＝k，
∴DE＝AF＝，
∴．
【点拨】本题属于相似形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．