专题27.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

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专题27.32 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角                 图一                               图二模型二：一线三等角                 图三                                    图四图五      图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1．如图，在四边形ABCD中，ABCD，，，E为BC上一点，且，若，，求AB的长．【答案】【分析】由题意易知AB和CD所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解：∵AB平行CD，，∴，∵，∴，， ∵，∴，∴， ∴， ∴，∵，，∴，∵，∴．【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=8，BC=10．（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．【答案】（1）证明见分析；（2）．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∴，∴AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，解得：．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．【变式2】如图1，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处．（1）求证：；（2）若，，求的长；（3）如图2，在第（2）问的条件下，若，分别是，上的动点，求的最小值．【答案】（1）见分析；（2）；（3）的最小值为．【分析】（1）选证得，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在Rt△ABF中，求得BF的长，设CE=x，在Rt△CEF中，利用勾股定理构建关于x的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，证明四边形QFCD是矩形，即可求解．（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∵由翻折得到，∴，∴，∴，，∴；（2）∵四边形是矩形，∴，.设，则，在中，，∴，在中，，即，解得，即.（3）如图，根据折叠的性质，点F、D关于直线AE对称，过F作FQ⊥AD于Q，交AE于P，此时PD+PQ的最小值为FQ，    ∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ADC=90，又FQ⊥AD，∴四边形QFCD是矩形，∴FQ=CD=AB=3， ∴的最小值为．【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．类型二、一线三等角模型2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．【答案】（）见分析；（2）或．【分析】（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．解：（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3①当AD=AE时，则，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，如图，由（1）可知又  AB=DC=．③当AE=DE时，如图，平分,．综上所述：或．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．举一反三【变式1】如图，点M是AB上一点，AE与BD交于点C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求证：；（2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）见分析；（2），．【分析】（1）根据三角形内角和证即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可．（1）证明：∵，，，∴，∵，∴；（2）∵，∠E=∠E，∴，同理，．【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．【变式2】△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2）△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，理由见分析．【分析】（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠BEP=135°，∠BPE+∠CPF=135°，得出∠BEP=∠CPF，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（2）△BPE∽△CFP；理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°．∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，∴∠BPE+∠BEP=135°．∵∠EPF=45°，又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，∴∠BPE+∠CPF=135°，∴∠BEP=∠CPF，又∵∠B=∠C，∴△BPE∽△CFP．（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，得CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此PB：BE=PF：PE．又因为∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．类型三、一线三等角综合3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．【答案】(1)(2)3(3)或(1)解：∵，∴，∴，又∵，∴∽，∴，即，∴．(2)解：如图4，当时，∵，，∴∽，∴，∵，∴点D为BC的中点，∴．如图5，当时，∵，∴，过点A作，交BC于点F，∴，，，不合题意，舍去，∴．(3)解：分两种情况：①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形∵点A的坐标为（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，∴x＝3，x－2＝1，∴点B的坐标是（3，1）；②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且．①求证：；②当点P为BC中点时，求CD的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长．【答案】感知：（1）；应用：（2）①见分析；②3.6；拓展：（3）2或【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证；②根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．解：感知：（1）∵△ABC∽△DAE，∴，∴，故答案为：；应用：（2）①∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B，∴∠BAP=∠CPD，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD；②BC=12，点P为BC中点，∴BP=PC=6，·∵△ABP∽△PCD，∴，即，解得：CD=3.6；拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD，∴PC=AB=10，∴BP=BC-PC=12-10=2；当AP=AD时，∠ADP=∠APD，∵∠APD=∠B=∠C，∴∠ADP=∠C，不合题意，∴AP≠AD；当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B，∵∠C=∠C，∴△BCA∽△ACP，∴，即，解得：，∴，综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ．【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，是等腰直角三角形，，AE=BD，则_______；②如图2，为正三角形，，则________；③如图3，正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形放在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为，则点C的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在中，，，于E，AD⊥CE于D，，，求的长．【答案】①△BDF；②△CFD；③3；（2）（3）2cm【分析】①根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得△AED≌△BDF；②根据等边三角形的性质及和角关系，可得△BDE≌△CFD；③根据正方形的性质及和角关系，可得△ABE≌△BCF，由全等三角形的性质即可求得EF的长；（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，根据正方形的性质及和角关系，可得△COE≌△OAD，从而可求得OE、CE的长，进而得到点C的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明△BCE≌△CAD，由全等三角形的性质即可求得BE的长．解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90゜∴∠A=∠B=45゜∴∠BDF+∠BFD=180゜−∠B=135゜∵∠EDF=45゜∴∠ADE+∠BDF=180゜−∠EDF=135゜∴∠ADE=∠BFD在△AED和△BDF中∴△AED≌△BDF(AAS)故答案为：△BDF；②∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60゜∴∠BDE+∠BED=180゜−∠B=120゜∵∠EDF=60゜∴∠BDE+∠CDF=180゜−∠EDF=120゜∴∠BED=∠CDF在△BDE和△CFD中∴△BDE≌△CFD(AAS)故答案为：△CFD；③∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90゜，AB=BC∴∠ABE+∠CBF=180゜−∠ABC=90゜∵AE⊥l，CF⊥l∴∠AEB=∠CFB =90゜∴∠ABE+∠EAB=90゜∴∠EAB=∠CBF在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF(AAS)∴AE=BF=1，BE=CF=2∴EF=BE+BF=2+1=3故答案为：3；（2）分别过A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，如图所示∵四边形OABC是正方形∴∠AOC=90゜，AO=OC∴∠COE+∠AOD=180゜−∠ACO=90゜∵AD⊥x轴，CE⊥x轴∴∠CEO=∠ADO =90゜∴∠ECO+∠COE=90゜∴∠ECO=∠AOD在△COE和△OAD中∴△COE≌△OAD(AAS)∴CE=OD，OE=AD∵∴OD=1，∴CE=1，∵点C在第二象限∴点C的坐标为故答案为：；（3）∵∠ACB=90゜∴∠BCE+∠ACD =90゜∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠CEB=∠ADC=90゜∴∠BCE+∠CBE=90゜∴∠CBE=∠ACD在△BCE和△CAD中∴△BCE≌△CAD(AAS)∴BE=CD，CE=AD=6cm∴BE=CD=CE－DE=6－4=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．