专题27.49 《相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题27.49 《相似》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共66页。

专题27.49 《相似》挑战综合（压轴）题分类专题
（专项练习）
【知识点一】平行线分线段成比例
【类型①】平行线分线段成比例➼➻作图★✭求值★✭证明
1．（2019·广东·中考真题）如图，在中，点是边上的一点.
（1）请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求的值.





2．（2021·福建漳州·模拟预测）如图，已知点D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠A＝60°．
(1) 求作Rt△DEF，使点F在AB的延长线上，∠DEF＝90°，∠EDF＝60°，且BF＝AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的前提下，连结CE，BE．求证：EB＝EC．



【类型②】平行线分线段成比例★✭特殊三角形
3．（2016·山东淄博·中考真题）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC的中点为M，ME//AD，交BA的延长线于点E，交AC于点F．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求证：BE＝(AB＋AC)．




4．（2015·浙江杭州·中考真题）如图，在△ABC中（BC>AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E
（1）若，AE=2，求EC的长
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由




【类型③】平行线分线段成比例★✭特殊平行四边形
5．（2022·福建三明·二模）已知：如图，在ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE于点F，CG⊥DF于点G．
求证：(1) ∠DAE = ∠BCG； (2) G为DF的中点．





6．（2022·安徽·合肥38中一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上且与点A、C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接DE、FG
（1）FG与DE的数量关系是______；
（2）若正方形ABCD的边长为6，且，则DE的长为______；







【类型④】平行线分线段成比例➼➻构造平行线（作辅助线）
7．（2022·北京昌平·模拟预测）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形ABCD的边长为12，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边AB的延长线于N．当CP＝6时，EM与EN的比值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E作直线平行于BC交DC，AB分别于F，G，如图2，则可得：，因为DE＝EP，所以DF＝FC．可求出EF和EG的值，进而可求得EM与EN的比值．
(1) 请按照小明的思路写出求解过程．
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP＝MN的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．










8． （2020·福建莆田·二模）（1）如图1，的三条中线、、相交于点，求的值；
（2）如图2，在中，，与相交于点，连接并延长交线段于点．求证：是的中点；
（3）如图3，已知矩形，仅用无刻度的直尺画出线段的中点，并简要写出画图过程．







【知识点二】相似三角形性质与判定
【类型①】相似三角形★✭全等三角形➼➻证明★✭求值
9．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：
(1) ∠CAE=∠BAF； (2) CF·FQ=AF·BQ







10．（2015·湖北咸宁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．





【类型②】相似三角形★✭特殊四边形➼➻证明★✭求值
11．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，．
(1) 若，求线段AD的长．
(2) 若的面积为1，求平行四边形BFED的面积．







12．（2022·山东泰安·中考真题）如图，矩形中，点E在上，，与相交于点O．与相交于点F．
(1) 若平分，求证：；
(2) 找出图中与相似的三角形，并说明理由;
(3) 若，，求的长度．






【类型③】相似三角形★✭动点问题➼➻折叠问题➼➻证明★✭求值
13．（2022·辽宁抚顺·一模）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将△AEF沿EF折叠得到△HEF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知∠BAC＝，，若△EMN与△AEF相似，则AF的长为多少？








14．（2021·安徽·一模）如图，AB是等腰直角三角形ABC的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将△MCN翻折，使点C落在边AB上，设其落点为P．
（1）求证：AM=PN；
（2）当点P是边AB的中点时，求证：；
（3）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请说明理由．









【类型④】相似三角形★✭动点问题➼➻旋转➼➻证明★✭求值
15．（2012·湖北省直辖县级单位·中考真题）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B,

（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．
（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．







16．（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC于点E，F．

(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①，______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时，______．
②若改变点D的位置，且时，求的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．





【类型⑤】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻证明★✭求值
17．（2021·河北唐山·一模）如图，，，轴，与直线交于点，轴于点，是折线上一动点．设过点，的直线为．
（1）点的坐标为________；
（2）若直线所在的函数随的增大而减少，则的取值范围是__________；
（3）若动点在上运动，与相似时，求此时直线的解析式．




18．（2012·四川巴中·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，四边形ABCO
为矩形，AB=16，点D与点A关于y轴对称，tan∠ACB=，点E，F分别是线段AD，AC上的动点（点
E不与点A，D重合），且∠CEF=∠ACB．
（1）求AC的长和点D的坐标；
（2）说明△AEF与△DCE相似；
（3）当△EFC为等腰三角形时，求点E的坐标．

【类型⑥】相似三角形★✭动点问题★✭坐标系➼➻最值
19．（2019·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，，，点分别在边，上，点分别在，上，，交于点，记.
（1）若的值是1，当时，求的值.
（2）若的值是，求的最大值和最小值.
（3）若的值是3，当点是矩形的顶点，，时，求的值.





20．（2018·山东济宁·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．



【知识点三】相似三角形性质与判定➼➻拓展与探究
【类型①】相似三角形➼➻➼➻操作与问题发现
21．（2020·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）（1）【操作发现】
如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．
①请按要求画图：将绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点，点C的对应点为点．连接；
②在①中所画图形中，＝　　°．
（2）【问题解决】
如图2，在中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．
（3）【拓展延伸】
如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．











22．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

(1)【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，交于点，交于点，则与的数量关系为_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线、经过正方形的对称中心，直线分别与、交于点、，直线分别与、交于点、，且，若正方形边长为8，求四边形的面积；

(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形的顶点在正方形的边上，顶点在的延长线上，且，．在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由．


【类型②】相似三角形➼➻➼➻背景问题与探究
23．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），中，，是的中点，延长至点，使，延长交于点，探究的值．

(1)先将问题特殊化．如图（2），当时，直接写出的值；
(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．
问题拓展：如图（3），在中，，是的中点，是边上一点，，延长至点，使，延长交于点．直接写出的值（用含的式子表示）．






24．（2021·山东日照·中考真题）问题背景：
如图1，在矩形中，，，点是边的中点，过点作交于点．

实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的绕点按逆时针方向旋转，如图2所示，得到结论：①_____；②直线与所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将绕点按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为______．





【类型③】相似三角形➼➻➼➻问题拓展与延伸
25．（2022·四川达州·中考真题）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：


(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．



26．（2021·浙江宁波·中考真题）【证明体验】
（1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分．

【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长．



【类型④】相似三角形➼➻➼➻阅读材料与教材呈现
27．（2019·辽宁大连·中考真题）阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，中，，点在上，，（其中），的平分线与相交于点，垂足为，探究线段与的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段与的数量关系．”
……
老师：“保留原题条件，延长图1中的，与相交于点（如图2），可以求出的值．”

（1）求证：；
（2）探究线段与的数量关系（用含的代数式表示），并证明；
（3）直接写出的值（用含的代数式表示）．









28．（2021·吉林长春·二模）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102-103页的部分内容．


(1)【问题解决】请结合图1将证明过程补充完整．
(2)【应用探究】
如图2，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂足，∠AEC＝78°，则∠BCE为 度
(3)如图3，在线段AC上有一点B，AB＝4，AC＝11，分别以AB和BC为边作正方形ABED和正方形BCFG，点E落在边BG上，连接DF，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 ．










参考答案
1．（1）见分析；（2）.
【分析】(1)以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交BA、BC于点F、G，以点D为圆心，以BF长为半径画弧，交DA于点M，再以M为圆心，以FG长为半径画弧，与前弧交于点H，过点D、H作射线，交AC于点E，由此即可得；
(2)由(1)可知DE//BC ，利用平行线分线段成比例定理进行求解即可.
解：(1)如图所示；

(2)∵，
∴.
∴.
【点拨】本题考查了作一个角等于已知角，平行线分线段成比例定理，熟练掌握利用尺规作一个角等于已知角的作图方法是解题的关键.
2．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）作∠EDF＝∠A，延长AB至F，使BF＝AB，然后作∠DFE＝∠ABC，即可解决问题；
（2）结合（1）证明DE是BC的垂直平分线，进而可以解决问题．
解：（1）如图所示，△DEF就是所求作的三角形；

（2）如图，由（1）知∠EDF＝60°，

∴∠A＝∠EDF＝60°，
∴AC∥DE，
∴∠EGC＝∠ACB＝90°，
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，
∴，即BG＝CG，
∴ED垂直平分BC．
∴EB＝EC．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：作一个角等于已知角，垂直平分线的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
3．（1）证明见分析；（2）证明见分析.
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的性质易∠AEF=∠AFE，即可得AE=AF；
（2）作CG//EM，交BA的延长线于G，已知AC=AG，根据三角形中位线定理的推论证明BE=EG，再利用三角形的中位线定理即可证得结论．
解：（1）∵DA平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD//EM，
∴∠BAD=∠AEF，∠CAD=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
（2）作CG//EM，交BA的延长线于G．

∵EF//CG，
∴∠G=∠AEF，∠ACG=∠AFE，
∵∠AEF=∠AFE，
∴∠G=∠ACG，
∴AG=AC，
∵BM=CM．EM//CG，
∴，
∴BE=EG，
∴BE=BG=（BA+AG）=（AB+AC）．
【点拨】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键．
4．（1）6；（2）见分析．
【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；
（2）分三种情况讨论：①若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．
解：（1）∵∠ACB＝90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴
∵，AE=2，
∴，
解得：EC＝6；
（2）①如图1，若∠CFG＝∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．
证明：∵∠CFG+∠CGF＝90°，∠ECD+∠PCG＝90°，
又∵∠CFG＝∠ECD，
∴∠CGF＝∠PCG，
∴CP＝PG，
∵∠CFG＝∠ECD，
∴CP＝FP，
∴PF＝PG＝CP，
∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；

②如图2，若∠CFG＝∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．
证明：∵DE⊥AC，
∴∠EDC+∠ECD＝90°，
∵∠CFG＝∠EDC，
∴∠CFG+∠ECD＝90°，
∴∠CPF＝90°，
∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．

③如图3，当CD为∠ACB的平分线，∠FGC＝∠CDE时，则CD为∠ACB的平分线，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形的性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再得内错角，由，可得，同位角，等量转化，即可得出结论；
（2）由四边形为平行四边形，，，可得四边形为平行四边形，故，再由中位线得，再根据平行线分线段成比例即可得出结论．
(1)证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：延长交于点M，

∵四边形为平行四边形，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵E为的中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，即G为的中点．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定及性质、平行线的判定与性质、中位线的判定及性质以及平行线分线段成比例．
6．         
【分析】（1）连接BE，证明四边形EFBG是矩形，由矩形的对角线相等解得FG=BE，再结合正方形的性质证明，最后由全等三角形的对应边相等得到，据此解答；
（2）由正方形的性质证明，由四边形EFBG是矩形证明，利用平行线分线段成比例解得，由正方形的边长为6解得，最后根据勾股定理解答即可．
解：（1）FG=DE，理由如下
连接BE，

在正方形ABCD中，
，，

四边形EFBG是矩形
FG=BE
正方形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分
在与中，



FG=DE
故答案为：；
（2）正方形ABCD中，对角线AC平分





四边形是矩形



正方形ABCD的边长为6，



．
【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
7．(1)见分析(2)正确，见分析
【分析】（1）过E作EG∥BC交DC、AB分别于F、G，结合平行线分线段成比例定理可得：，由DE＝EP，可知DF＝FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得，进而可求得EM与EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于点H，可得一对直角和一组对应边相等，然后根据AB∥CD，可得∠MNH＝∠CMN，结合对顶角的性质可证得∠DPC＝∠MNH，进而可得△DPC≌△MNH，从而有DP＝MN．
(1)解：过E作直线GE平行于BC交DC，AB分别于点F，G，（如图1），

则，GF＝BC＝12，
∵DE＝EP，
∴DF＝FC，
∴EF＝CP＝＝3，EG＝GF+EF＝12+3＝15，
∵AB∥CD，
∴；
(2)解：正确，
证明：作MH∥BC交AB于点H，（如图2），
则MH＝CB＝CD，∠MHN＝90°，
∵∠DCP＝180°﹣90°＝90°，
∴∠DCP＝∠MHN，
∵AB∥CD，
∴∠MNH＝∠CMN，
∵NE是DP的垂直平分线，
∴∠CMN＝∠DME＝90°﹣∠CDP，
∵∠DPC＝90°﹣∠CDP，
∴∠DPC＝∠MNH，
∴△DPC≌△MNH（AAS），
∴DP＝MN．

【点拨】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知识．关键是作出合适的辅助线，使所求的线段在一个三角形中．
8．（1）2；（2）见分析；（3）见分析，过程见分析
【分析】（1）过点作交于点，运用平行线分线段成比例定理求解即可；
（2）过点作，交的延长线于点，连接，可证明，进一步证明，得四边形是平行四边形，从而可得结论；
（3）根据题意作出图形即可．
解：（1）如图1，过点作交于点．
、是的中线
，

，



（2）如图，过点作，交的延长线于点，连接





四边形是平行四边形

即点是的中点

（3）①在上方任取一点，连接、分别交于点、
②连接、交于点，连接并延长交于点
则点就是所求作的中点

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的重心性质以及平行四边形的判定与性质．关键是由中位线定理得出线段的比．
9．(1)见分析(2)见分析
【分析】（1）利用SAS证明△ACE≌△ABF即可；
（2）先证△ACE∽△AFQ可得∠AEC=∠AQF，求出∠BQF=∠AFE，再证△CAF∽△BFQ，利用相似三角形的性质得出结论．
(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵CF=BE，
∴CE=BF，
在△ACE和△ABF中，，
∴△ACE≌△ABF（SAS），
∴∠CAE=∠BAF；
(2)证明：∵△ACE≌△ABF，
∴AE＝AF，∠CAE=∠BAF，
∵AE²=AQ·AB，AC＝AB，
∴，即，
∴△ACE∽△AFQ，
∴∠AEC=∠AQF，
∴∠AEF=∠BQF，
∵AE＝AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴∠BQF=∠AFE，
∵∠B=∠C，
∴△CAF∽△BFQ，
∴，即CF·FQ=AF·BQ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．
10．（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明见分析．
解：（1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案；
（2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可．
解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
在△ADE和△BDE中
∵，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD为角平分线，
∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD．
点评：此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
考点：相似三角形的判定；全等三角形的判定．
11．(1)2(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明，得到即可求出；
（2）利用平行条件证明，分别求出、的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出、，最后通过求出．
（1）∵四边形BFED是平行四边形，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵四边形BFED是平行四边形，
∴，，DE=BF，
∴，
∴
∴，
∵，DE=BF，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
12．(1)证明见分析(2)，与相似，理由见分析(3)
【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论；
（2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出；
（3）根据得出，根据得出，联立方程组求解即可．
（1）证明：如图所示：

四边形为矩形，
，
，
，
，
又平分，
，
，
又与互余，
与互余，
；
（2）解：，与相似．
理由如下：
，，
，
又，  
，
，，
；
（3）解：，
，
，
，
在矩形中对角线相互平分，图中，
①，
，
，
，
在矩形中，
②，
由①②，得（负值舍去），
．
【点拨】本题考查矩形综合问题，涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点，熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键．
13．1或3
【分析】分两种情况：①当EM⊥AC时∠AME=90°，然后根据三角函数的性质可得解；②当EN⊥AC时，∠MNE=90°，然后根据三角函数的性质可得解．
解：由已知△EMN与△AEF相似，△AEF与△HEF全等，所以可以分为两种情况：
①当EM⊥AC时，∠AME=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠B=90∘，
∵∠CAB=30°，
∴∠AEM=60°，AB=，
由已知可得∠AEF=30°，AE=，
∴AF=AE⋅tan30°==1；
②当EN⊥AC时，∠ANE=90°，
∴∠AEN=60°，
∴AF=AE⋅tan60°==3，
故答案为：1或3.
【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键．
14．（1）见分析；（2）见分析；（3）成立，理由见分析．
【分析】（1）连接PC，根据折叠的性质得MN是PC的垂直平分线，证明AM=PM=AC即可得到结论；
（2）易证得△CMN∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得，继而可得比例式；
（3）首先连接PC，则MN⊥PC，过点P作PE⊥AC于点E，易证得△AEP∽△ACB，△MCN∽△PEC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得成立．
解：（1）连接PC，如图1，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°
∴∠A=∠B=45°
∴MC=NC
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，MN//AB，MC=PM=PN
∴CP⊥AB，∠MPC=∠MCP=45°
∴∠MPA=45°
∴∠MPA=∠A
∴AM=PM
∴AM=PN
（2）如图1，
∵MN是折痕，
∴MN垂直平分PC，
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB，=1，
∴MN∥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，
∴；
（3）当点P不是边AB的中点时，仍然成立．
理由：如图（2），连接PC，则MN⊥PC，

过点P作PE⊥AC于点E，
∵∠ACB=90°，∠A是公共角，
∴△AEP∽△ACB，
∴，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=EP，
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴△MCN∽△PEC，
∴，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15．（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见分析；（3）5.
【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可
解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴．
∵BD=CD，
∴，即．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．  
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．

∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=6．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣62，
∴AD=8．
∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48，
S△DEF=S△ABC=×48=12．
又∵•AD•BD=•AB•DH，
∴．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．  
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG=．
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12，
∴EF=5．
【点拨】本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．
16．(1)(2)①；②，解答过程见分析(3)或
【分析】（1）证、是的中位线，得，，即可得出答案；
（2）①过点作于点，于点，先证，得出，再根据（1）所得结论即可得出答案；
②过点作于点，于点，证，，推出，，同①得，则，即可得出结论；
（3）分和两种情况分别求解可得．
（1）解：，，，
，，
点是的中点，
、是的中位线，
，，
，
故答案为：3；
（2）①过点作于点，于点，如图2所示：

则，
四边形是矩形，
，即，
，
，即，
，
，
，
同（1）得：，
，
故答案为：3；
②过点作于点，于点，如图3所示：

，
四边形是矩形，
，，，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
与①同理得：，
；
（3）如图所示：

在中，由勾股定理得：，
，
与相似分两种情况：
①，则，即，整理得：，
，
；
②，则，即，整理得：，
，
；
综上所述，当或时，与相似；
故答案为：或．
【点拨】本题是相似综合题，考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、旋转的性质、矩形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键．
17．（1）；（2）；（3）与相似时，此时直线的解析式为或
【分析】（1）将代入中可求出点的坐标，；
（2）由直线所在的函数随的增大而减少，点在线段上，且纵坐标小于2，结合图象写出结果即可；
（3）分类讨论当和，利用相似三角形的性质分别求出的坐标，利用待定系数法求即可求出的解析式．
解：（1）∵轴，
∴
∴把代入可得：
∴
（2）∵直线所在的函数随的增大而减少，
∴点在线段上，且纵坐标小于2
∴；
（3）由题意得，，，
当时，有，即
∴
∴
设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
当时，有，即
∴
∴
设直线的解析式为
∴解得
∴直线的解析式为
综上所述，与相似时，此时直线的解析式为或
【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判断和性质，熟悉掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
18．（1）20，D（12，0）（2）证明见分析（3）E的坐标为（8，0）或（，0）
解：（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠B=90°．
在Rt△ABC中，BC=AB÷tan∠ACB=16÷="12" ，
AC=．
则AO=BC=12．∴ A（-12，0）．
∵点D与点A关于轴对称，∴D（12，0）．
（2）∵点D与点A关于y轴对称，∴∠CDE=∠CAO．
∵∠CEF=∠ACB，∠ACB=∠CAO，∴∠CDE=∠CEF．
又∵∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠CDE+∠DCE（三角形外角性质），
∴∠AEF=∠DCE．
则在△AEF与△DCE中，
∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，
∴△AEF∽△DCE．
（3）当△EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当CE=EF时，∵△AEF∽△DCE，
∴△AEF≌△DCE．
∴AE=CD=20．
∴OE=AE－OA=20－12=8．
∴E（8，0）．
②当EF=FC时，如图所示，过点F作FM⊥CE于M，

则点M为CE中点．
∴CE=2ME=2EF•cos∠CEF=2EF•cos∠ACB=EF．
∵点D与点A关于y轴对称，
∴CD=AC=20．
∵△AEF∽△DCE，
∴ ，即 ，
解得．
∴OE=AE－OA=，
∴E（ ，0）．
③当CE=CF时，则有∠CFE=∠CEF，
∵∠CEF=∠ACB=∠CAO，
∴∠CFE=∠CAO．
即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾．
综上所述，当△EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（8，0）或（，0）．
（1）利用矩形的性质，在Rt△ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而得到A点坐标；
由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标．
（2）欲证△AEF与△DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可，在△AEF与△DCE中，易知
∠CDE=∠CAO，∠AEF=∠DCE，从而问题解决．
（3）当△EFC为等腰三角形时，需要分CE=EF，EF=FC，CE=CF三种情况讨论．
19．（1）；（2）最大值为，最小值为；（3）的值为或.
【分析】（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，设EF交MN于点O．证明△FHE≌△MQN（ASA），即可解决问题．
（2）由题意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大，最大值=，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为．
（3）连接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出，推出，由△PNF∽△PME，推出=2，ME∥NF，设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下来分两种情形①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合．②如图3中，当点N与C重合，分别求解即可．
解：（1）作，，如图1.

∵四边形为正方形，
∴，，∴.
∵，
∴，，
∴，∴，
∴.
（2）∵，∴.
由题意得，，，
当取最长时，可取到最短，此时的值最大，最大值为，
当取最短时，可取到最长，此时的值最小，最小值为.
（3）连结，，
∵，，
∴，∴，
∴，
∴，.
设，则，，.
①当点与点重合时， 如图2，点恰好与点重合，过点作于点，

∵，
∴，，，
∴.
②当点与点重合时，如图3，过点作于点，

则，，
∴，
∴.
∵，
∴.
又∵，
∴，∴，
∴.
综上所述，的值为或.
【点拨】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题.
20．（1）结论：CF=2DG，理由见分析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2．
【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
解：（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴==，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，

此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，
∴EH=2DH=2，
∴HM==2，
∴DM=CN=NK==1，
在Rt△DCK中，DK===2，
∴△PCD的周长的最小值为10+2．
【点拨】本题考查正方形的性质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
21．（1）①见分析，②45；（2）135°；（3）
【分析】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．
②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．
（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．
（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG＝，由此即可解决问题．
解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．

②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B＝45°，
故答案为45．
（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．

∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，
∴∠B＝∠EAH，
∵AB＝AE，
∴△ABC≌△EAH（AAS），
∴BC＝AH，EH＝AC，
∵BC＝CD，
∴CD＝AH，
∴DH＝AC＝EH，
∴∠EDH＝45°，
∴∠ADE＝135°．
（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，
∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，

∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝kAB，
∴DG＝kBC＝2k，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝．
∴BD＝CG＝．
【点拨】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．(1)(2)16(3)BP的长度为2或3或6或7．
【分析】（1）由正方形的性质可得，，根据ASA可证，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，证明△进而证明；
（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵是对角线，
∴∠，
∴∠，
∵四边形是正方形，
∴∠，
∴∠
又∠
∴，
∴
∴
故答案为:
（2）过点O作交AD于点M，交BC于点N，作交AB于点T，交CD于点R，如图，

∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证△
∴
（3）解：在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF=EQ-EF=4，
∴，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，

同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，

过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
23．(1)[问题提出]（1）；（2）见分析(2)[问题拓展]
【分析】[问题探究]（1）根据等边三角形的性质结合已知条件，求得，，根据含30度角的直角三角形的性质，可得，即可求解；
（2）取的中点，连接．证明，可得，根据，证明，根据相似三角形的性质可得，进而可得；
[问题拓展]方法同（2）证明，得出，，证明，得到，进而可得．
（1）[问题探究]：（1）如图，

中，，是的中点，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（2）[问题拓展]如图，取的中点，连接．

∵是的中点，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．



，

∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（1），30°；（2）成立，理由见分析；拓展延伸：或
【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出，的长，即可求解．
解：（1）如图1，，，，
，
如图2，设与交于点，与交于点，

绕点按逆时针方向旋转，
，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为，
故答案为：，；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设与交于点，与交于点，

将绕点按逆时针方向旋转，
，
又，
，
，，
又，
，
直线与所夹锐角的度数为．
拓展延伸：如图4，当点在的上方时，过点作于，

，，点是边的中点，，
，，，
，，
，
、、三点共线，
，
，
，
，
由（2）可得：，
，
，
的面积；
如图5，当点在的下方时，过点作，交的延长线于，

同理可求：的面积；
故答案为：或．
【点拨】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．(1)(2)(3)仍然成立，理由见分析
(4)
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；
（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；
（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
解：（1）等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，



故答案为：

（2）


在与中，




又

重合，

故答案为：

（3）同（2）可得
，
过点，作，交于点，

则，
，
在与中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
即，
（4）过点作，交于点，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
中，，
，
即．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．
26．（1）见分析；（2）；（3）
【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论；
（2）先证明，得，进而即可求解；
（3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解．
解：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）如图，在上取一点F，使得，连结．

∵平分，
∴
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
又∵，
∴
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．
27．（1）见分析；（2）；（3）
【分析】（1）利用三角形的外角性质可求解；
（2）由直角三角形的性质和角平分线的性质可得AF=FC，AF=BF，通过证明△ABG∽△BCA和△ABF∽△BAD，利用相似三角形的性质可求解；
（3）通过证明△ABH∽△ACB，可得AB2=AC×AH，设BD=m，AB=km，由勾股定理可求AC的长，可求AH，HC的长，即可求解．
解：证明：（1）∵
∴
∵,
∴
（2）设，
∴
∵，
∴
∵平分
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴∽
∴
∵，
∴∽
∴，且，
∴，即
∴
（3）∵，
∴，且
∴∽
∴
∴
设，
∵
∴
∴
∴

∴
∴
∴
【点拨】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．
28．(1)见分析(2)26(3)
【问题解决】延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE，先证四边形ACBE是平行四边形，再由∠ACB＝90°，得平行四边形ACBE为矩形，然后由矩形的性质即可得出结论；
【应用探究】（1）连接DE，先证∠EDB＝2∠BCE，再由直角三角形斜边上的中线性质得DE＝BE，则∠B＝∠EDB＝2∠BCE，再由三角形的外角性质即可求解；
（2）过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点P，则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形，得PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，再由正方形的性质得AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝7，然后证HN是△PDF的中位线，得PN＝FN＝，HN＝PD＝ ，最后由勾股定理求解即可．
（1）解：证明：延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．
∵CD为斜边AB上的中线，
∴AD＝BD，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，
∴平行四边形ACBE为矩形，
∴AB＝EC，
∴CD＝CE＝AB；
（2）解：如图2，连接DE，
∵点F是CE的中点，DF⊥CE，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠BCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∵CE是中线，
∴AE＝BE，
∴DE＝AB＝BE，
∴∠B＝∠EDB＝2∠BCE，
∴∠AEC＝∠B+∠BCE＝3∠BCE＝78°，
∴∠BCE＝26°，
故答案为：26；
（3）解：如图，过E作EM⊥CF于M，过H作HN⊥GF于N，延长AD、FG交于点P，

则四边形ACFP、四边形ABGP是矩形，
∴PF＝AC＝11，AP＝BG，∠APF＝90°，
∵四边形ABED和四边形BCFG是正方形，
∴AD＝AB＝4，FG＝BG＝BC＝AC﹣AB＝11﹣4＝7，
∴AP＝BG＝7，
∴PD＝AP﹣AD＝7﹣4＝3，
∵HN⊥PF，AP⊥PF，
∴∠HNG＝90°，HN∥PD，
∵点H为DF的中点，
∴HN是△PDF的中位线，
∴PN＝FN＝PF＝，HN＝PD＝，
∴GN＝FG﹣FN＝7﹣＝，
在Rt△GHN中，由勾股定理得：GH＝，
故答案为：．
【点拨】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和矩形的判定与性质是解题的关键．