初中数学北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定测试题

北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案）

一、单选题

1.下列命题中正确的是（　　）

A. 平分弦的直径垂直于弦                                       B. 与直径垂直的直线是圆的切线
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形                         D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形

2.菱形的周长为 ，高为 ，则该菱形两邻角度数比为（   ）           

A. 5:1                                        B. 4:1                                        C. 3:1                                        D. 2:1

3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（　　） 

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，若平移点 到点 ，使以点 为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是(   )

A. 向左平移（ ）个单位，再向上平移1个单位        B. 向左平移 个单位，再向下平移1个单位
C. 向右平移 个单位，再向上平移1个单位          D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位

5.下列说法中，错误的是(   )           

A. 平行四边形的对角线互相平分                             B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 菱形的对角线互相垂直                                       D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形

二、填空题

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A ，B ，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________. 

7.   如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。

8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________． 

9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF的面积为________ 。 

10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________．                  

三、解答题

11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形．   

12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图（2）,P是线段BC上一动点，（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积.

13.如图1，已知 ，四根长度相等的木棒， ， ， ， 首尾相接组成四边形 ，点 是 的中点，连接 ， 交于点 ， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ． 

（1）求证： ；   

（2）如图2，若 ，求证：四边形 是正方形；   

（3）将木棒 固定在射线 上，当木棒 绕着点 由 开始顺时针旋转时，四边形 也随之发生变化，设 ，且 满足 ．若 是直角三角形，请直接写出 的值．   

14.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD≠BC，∠B=90⁰，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG．

（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；   

（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形DEGF是菱形   

                                       答  案

一、单选题

1. D   2. A   3. D   4. C   5. B  

二、填空题

6. 7. BC=CD   8. 10   9. 24   10. 20  

三、解答题

11. 解已知：梯形ABCD，AD=BC，且点E，F，M，N，分别是四边形的中点， 

求证：四边形EFMN是菱形．

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，且点E，F，M，N，分别是四边形的中点，

∴EF=MN= BD，FN=EM= AC，

∵梯形ABCD，AD=BC，∴AC=BD，

∴EF=MN=FN=EM，∴四边形EFMN是菱形．

12. 解 ：（1）四边形ABCE是菱形，理由如下 ：
∵∆ABC沿BC方向平移得到△ECD；
∴AB∥CE ;AB=CE;
∴ 四边形ABCE是平行四边形；
又∵AB=BC,
∴平行四边形ABCE是菱形；
（2）不变.∵平行四边形ABCE是菱形；
∴AC⊥BE,OC＝AC=3,BE=2OB;∴BE=2OB=×2=8;
由菱形的对称性可知,△PBO≌△QEO,∴S△PBO=S△QEO.
∵△ECD是由△ABC平移得到的,∴ED∥AC,ED=AC=6.
又∵BE⊥AC,∴BE⊥ED,
∴S四边形PQED=S△QEO+S四边形POED=S△PBO+S四边形POED=S△BED=×BE×ED=×8×6=24.  

13. （1）证明：∵ ，  

∴四边形 是菱形，

∴ ， ，

∴ ， ，

又∵F为AB的中点∴ ，∴ ．

∵ 的垂直平分线 交 于点 ，

∴ ，∴ ，∴ ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ ．
（2）解：由（1）可知，四边形 是菱形， ．  

∵ ，

∴ ，

∴菱形 是正方形．

（3）解：①由（2）可知，当 时， 是直角三角形，此时α=0°（不合题意）  

②当EF⊥AB时， 是直角三角形，

∵F为菱形ABCD的边AB的中点

∴

∴在Rt△BCF中，

∴∠FBC=60°，即此时α=30°

③同理，当BC旋转到AB的下方时，同理可得，α为150°或180°

综上，当 是直角三角形时， 的值可能是 ， 或 ．

14. （1）证明：∵AG∥DC，AD∥BC，

∴四边形AGCD是平行四边形。∴AG=DC。

∵E、F分别为AG、DC的中点，

∴GE= AG，DF= DC，即GE=DF，GE∥DF。 ∴四边形DEGF是平行四边形。
（2）证明：连接DG，∵四边形AGCD是平行四边形，∴AD=CG。 ∵G为BC中点，∴BG=CG=AD。 ∵AD∥BG，∴四边形ABGD是平行四边形。∴AB∥DG。∵∠B=90°，∴∠DGC=∠B=90°。∵F为CD中点，∴GF=DF=CF，即GF=DF。∵四边形DEGF是平行四边形，∴四边形DEGF是菱形