专题03 复数--《最新高考数学命题热点聚焦与扩展》

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专题03  复数【热点聚焦】复数是高考必考内容，往往有一道选择题或填空题，属于容易题.复数主要考查的方向有三个，一是复数的概念，如复数的实部、虚部、纯虚数、复数的相等、共轭复数等概念；二是复数的运算；三是复数的几何意义及其应用，如复数对应的点的位置（坐标），复数与方程的综合问题等.以考查复数的运算或运算与其它相结合居多．【重点知识回眸】1、复数的代数形式：，其中称为的实部，称为的虚部（而不是)，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：   例如：，等（2）实数： 3、复数的运算：设（1）（2）（3） 注：乘法运算可以把理解为字母，进行分配率的运算.只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算（4）注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是，所以不允许分母带有，那么利用平方差公式及的特点分子分母同时乘以的共轭复数即可.4、共轭复数：， 对于而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：       ()6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数都与平面直角坐标系上的点一一对应，将这个平面称为复平面.横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴.8.常用结论（1）(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.（2）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．（3）z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n.9、特别提醒：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为“标准”形式，即（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用.例如：平方差公式，立方和差公式，二项式定理等.【典型考题解析】热点一 复数的有关概念【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知为纯虚数，则实数m的值为（       ）A．1 B． C．1或 D．或0【答案】A【解析】【分析】根据纯虚数的定义建立方程即可求出.【详解】因为是纯虚数，所以，解得.故选：A.【典例2】（2020·全国·高考真题（理））复数的虚部是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法运算求出z即可.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：D.【典例3】（2017·全国·高考真题（理））设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A． B．C． D．【答案】B【解析】【详解】令，则由得，所以，故正确；当时，因为，而知，故不正确；当时，满足，但，故不正确；对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.【典例4】（2019·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.【答案】2.【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.【规律方法】解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(3)复数是实数的条件：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R)；②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2＜0.热点二 复数的运算【典例5】（2022·全国·高考真题）（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.【典例6】（2022·全国·高考真题（文））若．则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以，所以．故选：D.【典例7】（2022·全国·高考真题）若，则（       ）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法可求，从而可求.【详解】由题设有，故，故，故选：D【典例8】（2021·全国·高考真题（理））设，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.【总结提升】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i的幂写成最简形式．热点三 复数的几何意义【典例9】（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.【典例10】（2019·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】则．故选C．【典例11】（2017·北京·高考真题（文））若复数（1–i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（    ）A．（–∞，1） B．（–∞，–1）C．（1，+∞） D．（–1，+∞）【答案】B【解析】【详解】试题分析：设，因为复数对应的点在第二象限，所以，解得：，故选B.【典例12】（2020·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.【答案】【解析】【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.【详解】方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴， ∴.【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解【总结提升】复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．【精选精练】一、单选题1．（2020·全国·高考真题（文））若，则（       ）A．0 B．1C． D．2【答案】C【解析】【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．【详解】因为，所以 ．故选：C．2．（2022·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:3．（2022·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.4．（2022·全国·高考真题（理））若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选 ：C5．（2022·广东·大埔县虎山中学高三阶段练习）已知，其中x，y是实数，是虚数单位，则=（            ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算以及复数相等的条件求出即可得解.【详解】由，得，得，得，得，所以.故选：C6．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）若复数的共轭复数为，并满足，其中为虚数单位，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据除法法则计算得到，从而得到.【详解】因为，所以，所以故选：A7．（2022·广西柳州·模拟预测（理））设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.8．（2023·山西大同·高三阶段练习）若复数z满足，其中是虚数单位，则（       ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据，解得，再由复数模的定义得答案.【详解】由，得，所以.故选：D.9．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（       ）A． B．2 C． D．3【答案】B【解析】【分析】由已知得，设，化简计算可得.【详解】因为，所以，故设，则，所以.故选：B.10．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 （为虚数单位），则“为纯虚数”是“”的（       ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】求为纯虚数的等价条件，结合充要条件判断得解.【详解】当时，，所以为纯虚数；若为纯虚数，，所以，所以或，所以“为纯虚数”是“”的必要非充分条件.故选：B.11.（2022·江西·高三阶段练习（理））已知，若，则实数（       ）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】D【解析】【分析】化简后，由复数相等的条件可求出的值，从而可求出的值【详解】由题得，所以，所以，，所以.故选：D12．（2023·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（     ）A．若，，则B．若复数，满足，则C．若复数为纯虚数，则D．若复数满足，则复数的虚部为【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则计算可得.【详解】解：由，，，令，，，则，，得，，．即．故A错误．设，，则，显然，则B错误．设，，，，，故C错误．由复数满足，，，，，则复数的虚部为，故D正确．故选：D．二、多选题13.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）若复数，，其中是虚数单位，则下列说法正确的是（       ）A．B．C．若是纯虚数，那么D．若，在复平面内对应的向量分别为，（O为坐标原点），则【答案】BC【解析】【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可进行判断.【详解】对于A，，A错误；对于B，∵，∴；又，∴，B正确；对于C，∵为纯虚数，∴，解得：，C正确；对于D，由题意得：，，∴，∴，D错误.故选：BC三、填空题14．（2022·天津·高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．【答案】##【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．【详解】．故答案为：．15．（2020·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.【答案】3【解析】【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.16．（2018·江苏·高考真题）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】【详解】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为，则，则的实部为.17．（2023·全国·高三专题练习）若为纯虚数（为虚数单位），则实数___________；【答案】-1【解析】【分析】先利用复数的除法法则化简得到，根据为纯虚数，得到方程，求出，检验后得到答案.【详解】，因为为纯虚数，所以，解得：，此时，符合要求，故答案为：-118．（2022·北京·测试学校四高三）已知复数，满足与的实部和虚部均属于，则在复平面上形成轨迹的面积为___________.【答案】【解析】【分析】设满足要求的复数，根据复数的除法运算及题意可求得的范围及的关系式，从而可得出答案.【详解】解：设满足要求的复数，则原命题即为与的实部和虚部均属于，因此.整理后得，，因此点的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，此区域面积为.故答案为：.