精品解析：陕西省西安市曲江第一中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试题

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西安市曲江第一中学2021-2022学年度第一学期
期末考试八年级（数学）试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1. 的立方根是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据立方根的定义进行选择即可．
【详解】因为(-2)3=-8，
所以-8 的立方根是 -2 ；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键．
2. 下图是甲、乙两同学五次数学测试成绩的折线图，比较甲、乙的成绩，下列说法正确的是（ ）

A. 甲平均分高，成绩稳定 B. 甲平均分高，成绩不稳定
C. 乙平均分高，成绩稳定 D. 乙平均分高，成绩不稳定
【答案】D
【解析】
【详解】解：


∴乙的平均数较高;乙的离散程度较高，不稳定，甲的离散程度较低，比较稳定;
故选: D.
3. 在直角坐标系中，点A(3，2)到原点的距离是（　　）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，AB⊥x轴于点B，

∵A（3，2），
∴OB=3，AB=2，
∴OA=，
∴点A（3，2）到原点的距离是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
4. 下列四个命题中，假命题有（ ）
①内错角相等，两直线平行；
②若，则；
③三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角；
④若，则
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定可以判断①；根据不等式的性质可以判定②④；根据三角形外角的性质可以判定③．
【详解】解：①内错角相等，两直线平行，故①是真命题，不符合题意；
②若，则，故②是假命题，符合题意；
③三角形的一个外角大于任何一个与之不相邻的内角，故②是真命题，不符合题意；
④若，则，故④是真命题，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了，判断命题真假，平行线的判定，不等式的性质，三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关怀．
5. 已知点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由第二象限点坐标特点：横坐标小于0，求出m的范围即可．
【详解】解：∵点P（2m-3，1）在第二象限，
∴2m-3＜0，
解得：m＜，
故选B．
【点睛】此题考查了根据点所在的象限求参数取值范围，弄清第二象限点坐标特征是解本题的关键．
6. 如图，已知直线，，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平角的定义求出∠5=40°，再由平行线的性质得到∠4=∠5=40°，则∠3=∠2+∠4=70°．
【详解】解：如图所示，∵∠1=140°，
∴∠5=180°-∠1=40°，
∵m∥n，
∴∠4=∠5=40°，
∴∠3=∠2+∠4=70°，
故选B．

【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，平行线的性质，熟知三角形外角的性质与平行线的性质是解题的关键．
7. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，书中有一道题“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕雀重一斤．问：燕雀一枚，各重几何？”译文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古时1斤＝16两）．雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕重量各为多少？”设雀重x两，燕重y两，可列出方程组（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“五只雀、六只燕，共重1斤（占时1斤等于16两），雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8. 以下四条直线中，与直线y=2x+3相交于第三象限的是直线( )
A. y=2x1 B. y=x+3 C. y=x+2 D. y=x4
【答案】D
【解析】
【详解】y=2x+3与选项函数分别联立.
选项A,与原直线平行,没有交点.,不在第三象限.
选项B,与原直线交于（0,3）,不在第三象限.
选项C,与原直线交于（），不第三象限.
选项D,与原直线交于(-7,-11),在第三象限.
所以选D.
9. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A. 5s时，两架无人机都上升了40m
B. 10s时，两架无人机的高度差为20m
C. 乙无人机上升的速度为8m/s
D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．
10. 如图，正方形纸片的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，点D落在点G处，连接并延长交于点E．若，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由“ASA”可证△ADE≌△DCF，可得AE=DF=5，进而利用三角形的面积公式可求DO的长，即可求解．
【详解】解：设CF与DE交于点O，

将△CDF沿CF折叠，点D落在点G处，
GO=DO， CF⊥DG，
四边形ABCD是正方形，
AD=CD，∠A=∠ADC=90°=∠FOD， ，
∠CFD+∠FCD=90°=∠CFD+∠ADE，
∠ADE=∠FCD，
在△ADE和△DCF中，

( ASA )，
AE=DF=5，
AE=5， AD=12，
DE=，
CF⊥DG， ，
，
，
DO==GO，
EG=
故答案为：C
【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明△ADE≌△DCF是解题的关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共计24分）
11. 函数中，自变量的取值范围是 .
【答案】
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【详解】依题意，得x-3≥0，
解得：x≥3．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12. 比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．
【答案】＜
【解析】
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
【详解】解：∵，，
而24＜25，
∴＜5．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
13. 若函数是关于x的正比例函数，则该函数的图象经过第_________象限．
【答案】二、四
【解析】
【分析】根据正比例函数即是一次函数，再由一次函数定义可得：m2 =1，且m-1≠0，计算出m的值，再根据一次函数的性质进而可得答案．
【详解】解：由函数是正比例函数得：m2 =1，且m-1≠0，
解得：m=±1，
∵m≠1，
∴m=-1，
则m-1=-2＜0，
∴函数，
∴该函数的图象经过第二、四象限，
故答案为：二、四．
【点睛】本题主要考查了正比例函数定义和性质，关键是掌握正比例函数是一次函数，因此自变量的指数为1，做题时要灵活运用知识点．
14. 如图，已知函数和图象交于点A，点A的横坐标为，则关于x，y的方程的解是_________．

【答案】
【解析】
【分析】先把x＝-2代入y＝-x-1中，得出y＝1，则两个一次函数的交点A的坐标为（-2，1）；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：把代入，得出，
函数和的图象交于点，
即，同时满足两个一次函数的解析式，
所以关于，的方程组的解是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的联系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15. 若一组数据5，，2，x，的极差为13，则x的值为____________．
【答案】9或-8##-8或9
【解析】
【分析】根据极差的定义分两种情况进行讨论，当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13，再进行计算即可．
【详解】解：∵5，−4，2，x，−1的极差为13，
∴当x是最大值时，x-（-4）=13，当x是最小值时，5-x=13，
解得x=9或x=-8，
故答案：9或-8．
【点睛】本题考查了极差，解题的关键是分情况讨论x．
16. 已知是二元一次方程组的解，则代数式的值为____________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据是二元一次方程组的解，得出，将原方程组变形后，代入计算可得．
【详解】解：是二元一次方程组的解，
代入得，
得：，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，平方差公式法因式分解，代数式的值，解题的关键是掌握平方差公式．
17. 如图，在中，的内角和外角的角平分线交于点P，已知，则的度数为____________．

【答案】##84度
【解析】
【分析】根据AP为∠CAB的角平分线， BP为外角∠CBD的平分线，可知∠CAM=∠BAP=∠BAC，∠PBC=∠PBD=∠CBD，另外根据∠CBD=∠C+∠CAB，∠PBD=∠PAB+∠P可得∠P=∠C，从而可以求出答案．
【详解】解：如下图，

AP为∠CAB的角平分线，BP为外角∠CBD的平分线，两角平分线交于点P， ∠CAM=∠BAP=∠BAC，∠PBC=∠PBD=∠CBD，
∠CBD=∠C+∠CAB，
∠PBC=∠PBD=(∠C+2∠PAB) =∠C+∠PAB，
∠PBD=∠PAB+∠P，
∠P=∠C，
，
，
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键。
18. 如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，当过点B的直线l将四边形的面积分成面积相等的两部分时，则直线l的函数表达式为____________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出四边形ABCD的面积为14，然后根据当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，可设直线l的解析式为，即可求出直线l的解析式为，则直线l与x轴的交点坐标为（，0），求出直线CD的解析式为，则直线l与直线CD的交点坐标为（，），再由过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵A（-4，0），B（-2，-1），C（3，0），D（0，3），
∴AC=7，
∴，
∵当直线l与x轴平行时，直线l不能平分四边形ABCD的面积，
∴可设直线l的解析式为，
∴，
∴，
∴直线l的解析式为，
∴直线l与x轴的交点坐标为（，0）
∵点C坐标为（3，0），点D坐标为（0，3），
∴直线CD的解析式为，
∵当时，直线l与直线DC平行，此时直线l不可能平分四边形ABCD的面积
∴联立，
解得，
∴直线l与直线CD的交点坐标为（，），
∵过点B的直线l将四边形ABCD的面积分成面积相等的两部分，
∴，
解得或（舍去），
∴直线l的解析式为 ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
三、解答题（共6小题，共计46分）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）二次根式化简，零指数幂，化简绝对值，然后合并同类项即可；
（2）利用平方差公式计算，分子提取，然后计算乘法，化简二次根式，再合并同类项即可．
【小问1详解】
解：，
=，
=；
【小问2详解】
解：，
=，
=，
=．
【点睛】本题考查实数与二次根式混合运算，零指数幂，绝对值，平方差公式，掌握实数与二次根式混合运算法则，零指数幂法则，绝对值方法，平方差公式应用注意事项是解题关键．
20.
（1）解不等式：
（2）解方程组：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【小问1详解】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：；
【小问2详解】
解：
整理得：，
用① +②×2得：，解得，
把代入到①得：，解得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，熟知相关解题步骤是解题的关键．
21. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，若建立平面直角坐标系，则图中点A、B的坐标分别为，．

（1）请在图中建立满足条件平面直角坐标系，并写出点C关于x轴对称的点的坐标：
（2）你认为是直角三角形吗？并说明理由．
【答案】（1）(5，-3)；
（2）不是直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）依据点A、点B的坐标分别为，)，即可得到坐标轴的位置建立平面直角坐标系，找到点C关于x轴对称的点的坐标；
（2）利用勾股定理求出线段AC、C、A的长，再利用勾股定理的逆定理即可判断为直角三角形．
【小问1详解】
解：如图1所示，建立平面直角坐标系，点C关于x轴对称的点的坐标为(5，-3)；
【小问2详解】
解：不是直角三角形，理由如下：
如图1，连接AC、C、A，
，，，
，
不是直角三角形；
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及勾股定理及其逆定理，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键。
22. 今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）这60天的日平均气温的中位数为______，众数为______；
（2）求这60天的日平均气温的平均数；
（3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数．
【答案】（1）19.5，19；（2）20；（3）20天．
【解析】
【分析】（1）根据中位数，众数的意义即可求解；
（2）根据加权平均数的计算公式即可求解；
（3）用30乘以样本中“舒适温度”所占百分比即可求解．
【详解】解：（1）由题意得样本共60个数据，故中位数取排序后第30、31个数的中位数，
由统计图得排序后第30个数为19，第31个数为20，
∴中位数为，
平均气温19出现的次数最多，
∴众数为19，
故答案为：19.5,19；
（2）
，
∴这60天的日平均气温的平均数为20℃；
（3）∵，
∴预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天．
【点睛】本题考查了求一组数据的平均数、众数、中位数，用样本估计总体等知识，熟知众数、中位数的意义，加权平均数的计算公式是解题的关键，注意用样本估计总体思想的应用．
23. 某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：

进价（元/千克）
售价（元/千克）
甲种
5
8
乙种
9
13

（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
【解析】
【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．
【详解】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为W，由题意可得出：W=3x+4（140﹣x）=﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：x≥35，
∴当x=35时，W最大=﹣35+560=525（元），
故140﹣35=105（千克）．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
24. 预备知识：
（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得
∵t为任意实数，等式恒成立，
∴，
∴，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：
（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，且，，则点C的坐标为_________．

结论应用：
（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点，Q是直线上的一个动点，连接，过点P作，且，连接，求线段的最小值．
【答案】（1）直线l的函数表达式为;
（2）点C（-7，3）；
（3）OQ′最小值为．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法将点P代入解析式，利用恒等性质得出，，求出直线解析式即可；
（2）设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，证明△CAE≌△ABF（AAS）得出CE=AF，EA=FB，根据点B（5，9）点A（2，0）求出点F（5，0）即可；
（3）过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，先证△QPG≌△PQ′H（AAS），设Q（a，）分三种情况，当a≤1时，点Q′（，1 - a）OQ′=，当1≤a≤4，点Q′（，1-a），OQ′=，当a≥4时，点Q′（，1-a）OQ′=，求出每种情况的最小值，然后比较大小即可．
【小问1详解】
解：设这条直线的函数表达式为，将点代入得：，整理得，
∵t为任意实数，等式恒成立，
∴，，
∴，，
∴这条直线函数表达式为，
∴随着变量t的变化，动点在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，
直线l的函数表达式为．
【小问2详解】
解:设C点坐标为（m，n）过C作CE垂直x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，
∴∠ECA+∠CAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠FAB=90°，
∴∠ECA=∠FAB，
在△CAE和△ABF中，
，
∴△CAE≌△ABF（AAS），
∴CE=AF，EA=FB，
∵点B（5，9）点A（2，0），
∴点F（5，0）
∴n=5-2=3;2-m=9,
∴m=-7,
∴点C（-7，3）；
【小问3详解】
解：过Q作QG⊥x轴于G，过Q′作Q′H⊥x轴于H，
∵∠QPQ′=90°，∠QGP=∠Q′HP=90°，
∴∠QPG+∠Q′PH=90°，∠Q′PH+∠HQ′P=90°，
∴∠QPG=∠HQ′P，
在△QPG和△PQ′H中，
，
∴△QPG≌△PQ′H（AAS），
∴PG=Q′H，QG=PH，
∵Q是直线上的一个动点，
设Q（a，），
当a≤1时，
∴QG=PH=，PG= QH=1 - a，
∴点Q′（，1 - a），
∵OQ′=，
∵时，OQ′随a的增大而减小，
当a=1时最小OQ′=，

当1≤a≤4，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q′（，1-a），
∵OQ′=，
∵，a=2时，OQ′最小=，

当a≥4时，
∴QG=PH=，PG= QH= a-1，
∴点Q′（，1-a），
∵OQ′=，
∵，a＞2时，OQ′随a的增大而增大，
a=4时，OQ′最小=，

∵＞3＞，
∴OQ′最小值为．
【点睛】本题考查待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用，掌握待定系数法求直线解析式，恒等式性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，函数的最值，分类思想的运用是解题关键