精品解析：陕西省西安市长安区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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2022年长安区学业质量评价九年级数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　）
A. 2、3、4、5 B. 2、3、4、6 C. 2、3、4、7 D. 2、3、4、8
【答案】B
【解析】
【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两线段长的比值与另两条线段长的比值相等，即，则为成比例线段.
【详解】A.，不符合题意；
B.，符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了比例线段，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键.
2. 如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（　　）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞从物体的三视图中即有圆形又有正方形的物体可以堵住空洞，然后对各选项的视图进行一一分析即可．
【详解】解：∵既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞，
∴从物体的三视图来看，三视图中具有圆形和方形的可以堵住带有圆形空洞和方形空洞的小木板，
A．正方体的三视图都是正方形，没有圆形，不可以是选项A；
B．圆柱形的直径与高相等时的正视图与左视图都是正方形，俯视图是圆形，具有圆形与正方形，可以是选项B，
C．圆锥正视图与左视图都是三角形，俯视图数圆形，没有方形，不可以是选项C；
D．球体的三视图都是圆形，没有方形，不可以是选项D．
故选择B．
【点睛】本题考查物体能堵住圆形空洞和方形空洞，实际上是考查物体的视图，掌握物体三视图中找出具有圆形和方形的物体是解题关键．
3. a，b是实数，点A（4，a）、B（5，b）在反比例函数y＝﹣的图象上，则（ ）
A. a＜b＜0 B. b＜a＜0 C. a＜0＜b D. b＜0＜a
【答案】A
【解析】
【分析】先确定反比例函数图形在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，根据0＜4＜5，可得点A、B在第四象限，可得a＜b＜0即可．
【详解】解：∵k=-3＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象在二、四象限，
在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵0＜4＜5，
∴点A、B在第四象限，
∴a＜b＜0，
故选择A．
【点睛】本题考查反比例函数性质，利用函数的性质比较函数值的大小，掌握反比例函数性质，k＞0，在每个象限内，y随x的增大而减小，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大是解题关键．
4. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠BAC的值等于（ ）

A. B. 3 C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出△ABC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用锐角三角函数得出结论．
【详解】解：∵AC＝，AB＝，BC＝，
∴AC2＝2，AB2＝20，BC2＝18，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴tan∠BAC＝，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理及锐角三角函数的边角关系．利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用配方法解答，即可求解．
【详解】解：
∴，
∴，即．
故选：D
【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤．配方法的一般步骤为：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
6. 在中，，都是锐角，且，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据特殊角锐角三角函数值，可得 ，再由三角形的内角和等于180°，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴是等边三角形
故选：C
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
7. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，CE与AD交于点M，∠ACE＝∠B，下列结论中不正确的是（　　）

A. △ACM∽△ABD B. △ACE∽△ABC C. △AEM∽△CDM D. △AEM∽△ACD
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易证△ACE∽△ABC，则有∠AEC＝∠ACB，由角平分线的定义可知∠BAD＝∠CAM，进而问题可求解．
【详解】解：∵∠ACE＝∠B，∠BAC＝∠CAE，
∴△ACE∽△ABC，
∴∠AEC＝∠ACB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAM，
∴△AEM∽△ACD，△ACM∽△ABD；
∴不正确的选项为C；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8. 如图，点A在x轴的正半轴上，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y＝（k＞0，x＞0）于点P，且OA•MP＝10，则k的值为（ ）

A. ﹣5 B. 5 C. 20 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据点M为OA中点，可得OA=2OM，根据S矩形OBPM=OM·PM=，根据点P在第一象限，可求k=5即可．
【详解】解：∵点M为OA中点，
∴OA=2OM，
∴S矩形OBPM=OM·PM=，
∵点P在第一象限，
∴k=5．
故选择B．

【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，根据|k|的几何意义求出四边形面积是解题关键．
9. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为（ ）

A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，
∵DE⊥BC，
∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，
∴∠ODE＝∠OED＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A. a＞0，b＞0，c＝0 B. a＞0，b＜0，c＝0
C. a＜0，b＞0，c＝0 D. a＜0，b＜0，c＝0
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得，二次函数经过原点可知，又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可得，，，即可得出选项．
【详解】解：由题意得，二次函数经过原点可知，，
函数图象经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，如图所示：

对称轴在轴的负半轴，可得：
即：，，
∴，
∴，，，
故选：A．
【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质，包括对称轴、开口方向及所经过象限，理解题意，结合图象，熟练运用二次函数基本性质是解题关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11. 反比例函数的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点，你选择的点坐标为______．
【答案】（-1，-3）（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据“第一象限内的图象经过点A（1，3）”先求出函数解析式，给x一个值负数，求出y值即可得到坐标．
【详解】解：∵反比例函数图象经过点A（1，3），
∴，
解得k=3，
∴函数解析式为y=，
当x=-1时，y==-3，
∴故答案为（-1，-3）（答案不唯一）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图像的基本性质是解题关键．
12. 在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
13. 如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB，若AC=2，AD=1，则DB=_________．

【答案】3
【解析】
【分析】首先根据题意证明△ACD∽△ABC，然后根据相似三角形的性质列出比例式求出AB的长度，即可求出DB的长度．
【详解】解：∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
AB=
∴BD=AB-AD=4-1=3．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定．相似三角形性质：相似三角形对应角相等；相似三角形对应边成比例．相似三角形的判定方法：①两组角分别相等的两个三角形是相似三角形；②两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形像是；③三组对应边成比例的两个三角形相似．
14. 抛物线的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为______．

【答案】
【解析】
【分析】先求出如图所示抛物线的解析式，再根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：根据题意可知抛物线过点，
把点（3，0）代入y=-x2+2x+c，
得0=-9+6+c，解得c=3．
故原图象的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4，
将抛物线y=-（x-1）2+4向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
得y=-（x-1+2）2+4-3，即y=-x2-2x．
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定及二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握二次函数的性质及图象平移的规律：左加右减，上加下减．
15. 如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为_________．

【答案】
【解析】
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
【详解】解：如图所示：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．

则PHAB，
∵P是AE的中点，
∴PH是的中位线，
∴，
∵在直角中，，
∴是等腰直角三角形，即，
同理中，，
∴．
∴在中，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查正方形、三角形中位线、等腰三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
三、解答题（共11小题，计75分．解答应写出过程）
16. 计算：
【答案】-7
【解析】
【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后进行二次根式的混合运算．
【详解】解：原式=
=
= ．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算，解决问题的关键是牢记特殊角的三角函数值以及掌握二次根式的运算法则．
17. 解方程：
【答案】，
【解析】
【分析】根据因式分解法解一元二次方程的步骤先去括号、移项、合并同类项，再因式分解，然后分别进行计算即可．
【详解】解：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
因式分解得：，
或，
解得，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
18. 已知，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】首先设，则有，再根据，可得，然后把代入，即可得出其值．
【详解】解：设，则有
∵
∴把代入，
可得：
解得：
∴把代入
可得： （）
∴
【点睛】本题考查分式中“见比设参”技巧的应用，分式的化简求值，熟练分式中“见比设参”技巧是解本题的关键．
19. 如图，AB、CD两根木杆竖直地立在地面上，课间小明观察到木杆AB在地面上的影子为BE，B、E、D在一条直线上，请用尺规作出木杆CD此时在地面上的影子DP．

【答案】见解析
【解析】
【分析】在的右侧作，使得交于点，线段即为所求．
【详解】解：如图，线段即为所求．

【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
20. 如图，已知一次函数（b为常数）的图象与反比例函数（k为常数）的图象相交于A、B两点，已知点A的坐标为（1，4）．

（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）求点B的坐标，并根据图象直接写出满足的自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征可得出反比例函数系数k，由此即可得出反比例函数解析式；由点A的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）联立两函数解析式，求出两函数交点B坐标，根据函数图象位置关系即可得出结论．
【小问1详解】
∵点A（1，4）在反比例函数（k为常数）的图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为；
将点A（1，4）代入y1=x+b中得：4=1+b，
解得：b=3，
∴一次函数解析式为y1=x+3．
【小问2详解】
根据题意联立
解得或

结合图象可知，当-4≤x＜0或x≥1时，一次函数图象不在反比例函数图象下方，
∴满足y1≥y2的自变量x的取值范围是或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，数形结合是解题的关键．
21. 一天小明与父亲爬山，在停车场附近看到了一棵树，小明想测量这棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上（如图所示），此时测得地面上的影长为12米，坡面上的影长为5米、斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的拐杖在地面上的影长为2.5米，求这棵树的高度（结果精确到0.1米）．

【答案】9.0米
【解析】
【分析】延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，根据直角三角形的性质求出CE，根据余弦的定义求出EF，根据题意求出DE，进而求出BD，计算即可．
【详解】解：延长AC、BF交于点D，过点C作CE⊥BD于E，

在Rt△CEF中，∠CEF=90°，∠CFE=30°，CF=5，
∴CE=2.5（米），EF=5cos30°=（米），
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2.5米，
∴，
∴DE=2.5CE=（米），
∴BD=BF+EF+DE=12++6.25=18.25+（米），
，
，
∴AB=BD÷2.5=（18.25+）≈9.0（米），
答：这棵树的高度约为9.0米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线、得到AB的影长．
22. 有两部大小一样但型号不同的手机A、B，现有6个手机壳，其中与手机A匹配的手机壳有2个，与手机B匹配的手机壳有3个，还有1个手机壳与两部手机都不匹配．
（1）从6个手机壳中随机的取一个，求恰好与手机A匹配的概率；
（2）随机取一部手机和一个手机壳，求恰好能匹配的概率（用树状图或列表法解答）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图（与手机A匹配的手机壳用a1、a2表示，与手机B匹配的手机壳用b1、b2、b3表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）展示所有12种等可能的结果，再找出恰好能匹配的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：从6个手机壳中随机的取一个，恰好与手机A匹配的概率=；
【小问2详解】
画树状图为：（与手机A匹配的手机壳用a1、a2表示，与手机B匹配的手机壳用b1、b2、b3表示，与两部手机都不匹配的手机壳用c表示）

共有12种等可能的结果，其中恰好能匹配的结果数为5，
所以恰好能匹配的概率=．
【点睛】本题考查了画树状图法求概率，概率公式求概率，通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
23. 如图，在正方形ABCD中，点P是BC延长线上一点，连接AP，过点B作BE⊥AP于点E，过点D作DF⊥AP于点F．

（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若AB＝10，∠P＝30°，求EF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定可得答案；
（2）由正方形的性质及含30度角的直角三角形的性质可得DF和AE的长，再由线段的和差关系可得答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵BE⊥AP，DF⊥AP，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∴∠ABE+∠BAE=∠BAE+∠FAD=90°，
∴∠ABE=∠DFA，
∴△ABE≌△DAF（AAS）；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，∠APB=30°，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠APB=30°，
∵DF⊥AP，

在Rt△ADF中，由勾股定理，得
∵△ABE≌△DAF，
∴AE=DF=5，

【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质，掌握它们的性质定理是解决此题的关键．
24. 为了满足初中学业水平体育与健康考试的需求，某体育用品专卖店从厂家以单价40元进购了一种排球，如果以单价60元出售，那么每月可售出400个，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量相应减少5个．
（1）设销售单价提高x元，则每个排球获得的利润是_____元；这种排球这个月的销售量是_____个；
（2）若该专卖店准备在这种排球销售上一月获利10500元，同时又要使顾客得到实惠，则售价应定为多少元？
【答案】（1）（20+x），（400-5x）
（2）售价应定为70元
【解析】
【分析】（1）利用每个排球获得的利润=售价-进价，即可用含x的代数式表示出每个排球获得的利润；利用月销售量=400-5×销售单价提高的价格，即可用含x的代数式表示出月销售量；
（2）利用月销售总利润=每个排球的销售利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合要使顾客得到实惠，即可确定x的值，再将其代入（60+x）中即可求出售价．
【小问1详解】
解：依题意得：当销售单价提高x元时，每个排球获得的利润是60+x-40=（20+x）元，这种排球这个月的销售量是（400-5x）个．
故答案为：（20+x）；（400-5x）．
【小问2详解】
依题意得：（20+x）（400-5x）=10500，
整理得：x2-60x+500=0，
解得：x1=10，x2=50．
又∵要使顾客得到实惠，
∴x=10，
∴60+x=60+10=70．
答：售价应定为70元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出每个排球的销售利润及月销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25. 如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处．

（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）已知AB＝3，AD＝5，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得，进而得出，即可证明△ABF∽△FCE；
（2）设，则，由折叠的性质知，，，利用勾股定理求出BF，进而求出CF，在△CEF中根据勾股定理列方程求出x，则．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
由折叠的性质知，，
∴，，
∴．
在△ABF和△FCE中，
，
∴△ABF∽△FCE；
【小问2详解】
解：∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，
∴，，
设，则，
由折叠的性质知，，，
由勾股定理得，，
∴，
在△CEF中，由勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角函数解直角三角形等知识点，利用折叠的性质得出，，是解题的关键．
26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－1，0），抛物线的对称轴是直线．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，当四边形ABPC的面积最大时，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，P（1，6）或（3，4）
（3）P（2，6）
【解析】
【分析】（1）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（2）解方程得到B（4，0），C（0，4），求得直线BC的解析式为y＝−x＋4；设P（m，−m2＋3m＋4），过P作PQ∥y轴交直线BC于Q，得到Q（m，−m＋4）根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）根据二次函数的性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：由题意，得：，
解得：，，
∴；
【小问2详解】
∵B，C是抛物线与坐标的交点，
∴B（4，0），C（0，4），
设直线BC的解析式为，则，
∴，
∴，
如图，过P作轴交直线BC于Q，

设，则，
∴

，
解得或，
∴P（1，6）或（3，4）；
【小问3详解】
∵

∴当时，四边形ABPC的面积最大，此时，P（2，6）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．