陕西省西安高新第一中学初中校区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

这是一份陕西省西安高新第一中学初中校区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题，文件包含精品解析陕西省西安高新第一中学初中校区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题解析版docx、精品解析陕西省西安高新第一中学初中校区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分每小题只有一个选项符合题意）
1. -2020的相反数是（ ）
A. 2020 B. -2020 C. D. -
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的求法“求一个数的相反数，就是把这个数看成一个整体，在前面添加一个负号，然后去括号”即可得．
【详解】解：，
则-2020的相反数是2020，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的求法．
2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是（　　　）
A. 赵爽弦图 B. 马螺线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】A．根据轴对称图形的定义解题；B．根据轴对称图形的定义解题；C．根据轴对称图形的定义解题；D．根据轴对称图形的定义解题．
【详解】解:A．不是轴对称图形，故此选项错误；
B．不是轴对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，故此选项正确；
D．不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称图形的判断，是基础考点，掌握轴对称图形的定义及性质是解题关键．
3. 如图，将一块含有的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数是　　

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用已知角的度数结合平行线的性质得出答案．
【详解】解：∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，
∴∠2=∠3=
故选：D．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠3的度数是解题关键．
4. 若一个正比例函数的图象经过点A（1，﹣4），B（m，8）两点，则m的值为（　　）
A. 2 B. ﹣2 C. 4 D. ﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】设正比例函数的解析式为，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出值，进而可得出正比例的解析式，再结合点的纵坐标，即可求出的值．
【详解】解：设正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，
，
正比例函数解析式为．
当时，，
解得：．
又点在正比例函数的图象上，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a3•a2＝a6 B. （﹣2a2）3＝﹣8a6
C. （a﹣3）（a+3）＝a2﹣6a+9 D. （a+b）2＝a2+b2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘积，积的乘方，乘法公式，对各选项记性计算求解，然后判断即可．
【详解】解：A中，不符合题意；
B正确，符合题意；
C中，不符合题意；
D中，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘积，积的乘方，乘法公式．解题的关键在于正确的计算．
6. 若直线l1经过点（0，﹣4），l2经过点（3，2），且l1与l2关于x轴对称，则l1与l2的交点坐标为（　　）
A. （﹣2，0） B. （2，0） C. （﹣6，0） D. （6，0）
【答案】D
【解析】
【分析】根据对称的性质得出（0，﹣4），（3，2）两个点关于x轴的对称点，再根据待定系数法确定函数关系式，求出一次函数与x轴的交点即可．
【详解】解：∵直线经过点（0，﹣4），经过点（3，2），且与关于x轴对称，
∴两直线交点在x轴上，
∵直线经过点（0，﹣4），经过点（3，2），且l1与关于x轴对称，
∴直线经过点（3，﹣2），经过点（0，4），
设直线解析式为y＝kx+b，把（0，﹣4）和（3，﹣2）代入得：
则，
解得：，
故直线l1的解析式为：y＝x﹣4，
在y＝x﹣4中，令y＝0，得x＝6，
∴直线与x轴交于（6，0），
∴与的交点坐标为（6，0）．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求解析式，掌握轴对称的性质是解题的关键．
7. 如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（　　）

A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm
【答案】B
【解析】
【分析】连接OD、OC，根据圆心角、弧、弦间的关系证得△AOD是等边三角形，然后由可得=2cm，于是可以求出结果．
【详解】解：如图,连接OD、OC．

，
∠AOD=∠DOC=∠COB，；
∠AOD+∠DOC+∠COB=180°，
∠AOD=∠DOC=∠COB=60°；
OA=OD，
△AOD是等边三角形，⊙O的半径等于2cm，
AD=OD=OA=2cm；
，
AD=CD=BC=OA=2cm；
四边形ABCD的周长为:AD+CD+BC+AB=cm;
故选：B．
【点睛】本题考查了心角、弧、弦间的关系与等边三角形的判定与性质．在同圆中，等弧所对的圆心角相等．
8. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，DE＝3，则CF的长为（　　）

A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质可知，根据相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质定理即可求出的长度．
【详解】解：，
，
由题意可知：，
，
，
设，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
9. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝45°，DE⊥BC于点E，交对角线AC于点P，过点P作PF⊥CD于点F．若△PDF的周长为8．则菱形ABCD的面积为（　　）

A. 16 B. 16 C. 32 D. 32
【答案】D
【解析】
【分析】证是等腰直角三角形，得，，再证是等腰直角三角形，得，，设，则，求出，则，，即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，，
设，则，
的周长为8，
，
解得：，
，，，
，
，
，
菱形的面积，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，证明为等腰直角三角形．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x
﹣5
﹣4
﹣2
0
2
y
6
0
﹣6
﹣4
6
以下结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③图象经过了点（4，0）；④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；⑤方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（　　）
A. ①②③ B. ①③④ C. ①④⑤ D. ②③⑤
【答案】C
【解析】
【分析】根据表格中对称点（-5，6），（2，6）可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上，从而可判断①②．根据点（-4，0）和对称轴为直线x=-，可以判断图象不经过点（4，0），从而可判断③．根据抛物线开口向上，通过点（-8，y1），点（8，y2）与对称轴的距离可判断④．由表格可得二次函数最小值小于-6，从而可得抛物线与直线y=-5有两个交点，进而判断⑤．
【详解】解：∵图象经过（-5，6），（2，6），
∴图象对称轴为直线x=-，
由表格可得，x＞-时，y随x的增大而增大，
∴抛物线图象开口向上，x=-时，y取最小值，
∴①正确，②不正确．
∵图象经过了点（-4，0），对称轴为直线x=-，
且，
∴图象不经过点（4，0）．
∴③不正确．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-，--（-8）＜8-（-），
∴y1＜y2，
∴④正确．
∵图象开口向上，由表格可得y最小值小于-6，
∴抛物线与直线y=-5有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=-5有两个不相等的实数根．
∴⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题关键是根据表格判断出抛物线开口方向与对称轴．
二、填空题（共7小题，每小题3分，计21分）
11. 因式分解：x2y﹣y=_____．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．
【解析】
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
12. 双塔寺又名永祚寺，创建于明万历三十六年（公元1608年），现为国家级文物保护单位，由于寺内双塔高耸，故俗称双塔寺，成为太原市的标志性建筑．主塔平面呈八角，其俯视图形状为正八边形（如图所示），则该八边形一个内角的度数为___________．

【答案】135°
【解析】
【分析】首先根据多边形内角和定理：（n-2）•180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
【详解】解：正八边形的内角和为：（8-2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为×1080°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n-2）•180 （n≥3）且n为整数）．
13. 已知扇形的弧长为6π，半径为3，则这个扇形的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式（l为扇形的弧长，r为扇形的半径）解答即可．
【详解】解：∵扇形的弧长为6π，半径为3，
∴= = ，
故答案为：．
【点睛】本题考查求扇形的面积，熟记扇形的面积公式=（l为扇形的弧长，r为半径，n为圆心角的度数）是解答的关键．
14. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC、BC，则tan∠CAB的值为________．
【答案】2
【解析】
【详解】解：令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，
不妨设A（﹣3，0），B（1，0），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴顶点C（﹣1，4），如图所示，
作CD⊥AB于D．

在RT△ACD中，tan∠CAD==2，故答案为2．
点睛：本题考查二次函数与x轴交点坐标，锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握求抛物线与x轴交点坐标的方法，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型．
15. 已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8，则AC的长为________________．
【答案】或
【解析】
【分析】连结OA，由AB⊥CD，根据垂径定理得到AM=4，再根据勾股定理计算出OM=3，然后分类讨论：当如图1时，CM=8；当如图2时，CM=2，再利用勾股定理分别计算即可．
【详解】解：连结OA，
∵AB⊥CD，
∴AM=BM=AB=×8=4，
在Rt△OAM中，OA=5，
∴OM==3，
当如图1时，CM=OC+OM=5+3=8，
在Rt△ACM中，AC==；
当如图2时，CM=OC-OM=5-3=2，
在Rt△ACM中，AC==．
故答案为：或．

【点睛】本题考查垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
16. 如图，菱形OABC的边OA在x轴正半轴上，顶点B、C分别在反比例函数y＝与y＝的图象上，若四边形OABC的面积为4，则k＝_____．


【答案】
【解析】
【分析】连接，设直线与轴交于点，根据菱形的性质可得的面积为，结合反比例函数的几何意义可得和的面积，利用建立方程，求解即可．
【详解】解：如图，连接，设直线与轴交于点，

四边形是菱形，且面积为，
，
轴，
轴，
，分别在反比例函数与的图象上，
，，

解得，（正值舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．也考查了三角形的面积．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】过点G作于点K，过点F作于点N，交GH于点O，交GK于点P，因此平分矩形ABCD的面积，由矩形的性质可知EF经过矩形ABCD的中心，又四边形ADFN是矩形，可得FN和AN的长度，进而求出EN的长度．再证得，相似三角形，对应边比例相等，因此，可求出HK的长．
在中，根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：过点G作于点K，过点F作于点N，交GH于点O，交GK于点P，如下图，

平分矩形ABCD的面积，
，
，，
四边形ADFN是矩形，
，，
．
，，
，
，
．
又，
，
，
．
在中，．
【点睛】本题主要考察了矩形的性质及相似三角形的知识，能通过做辅助线找出相似三角形通过比例求解是做出本题的关键．
三.解答题（共8小题，计69分，解答应写出过程）
18. 计算或解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可；
（2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根．
【点睛】本题考查了解分式方程，实数运算，零指数幂，解题的关键是一定要注意解分式方程必须检验．
19. 如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，请用尺规作图法，在AC边上求作一点D，使BD＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知D为AC的中点，故只需作AC的垂直平分线即可．
【详解】解：如图，点D即为所求作．

【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线，涉及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握线段垂直平分线的作图方法以及直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键．
20. 为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心跟党走”为主题的读书活动，学校对本校八年级学生9月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（简称“读书量”）进行了随机抽样调查，对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）请直接补全条形统计图；
（2）本次所抽取学生9月份“读书量”的众数为 　 　本，中位数为 　 　本；
（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级2000名学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生人数．
【答案】（1）见解析；
（2）3，3； （3）该校八年级2000名学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生有600人
【解析】
【分析】（1）根据“读书量”是1本的人数及其所占的百分比求出抽样的总人数，进而可求得“读书量”是4本的人数即可补全条形统计图；
（2）根据“读书量”最多的人数求出众数，将这些数从小到大排列，取中间第25、26位置的数的平均数即为中位数；
（3）由总人数乘以样本中读书量”不少于4本所占的百分比即可求解．
【小问1详解】
解：抽样的总人数为5÷10%=50（人），
“读书量”是4本的人数为50－5－10－20－5=10（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
解：根据条形统计图可知，“读书量”是3本人数最多，是20人，
∴此次所抽取学生9月份“读书量”的众数为3本，
将这些数从小到大排列，处于中间位置的是第25、26位置的数，都是3，
∴此次所抽取学生9月份“读书量”中位数为=3（本），
故答案为：3，3；
【小问3详解】
解：2000×=600(人)，
答：该校八年级2000名学生中，9月份“读书量”不少于4本的学生为600人．
【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的关联、众数、中位数、样本估计总体，理解题意，能从统计图中获取有效信息是解答的关键．
21. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC延长线上，DF⊥AE于点F，点G在AE上，且∠ABG＝∠E．求证：AG＝DF．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，，，再证明，，然后利用“”可判断，从而得到结论．
【详解】证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角．
22. 某数学兴趣小组准备测量学校旗杆的高度．如图所示，左、右两楼AB、CD的高度均为13米，旗杆FG在两楼之间，甲同学在左楼阳台E处测得旗杆顶点F的仰角为45°，且阳台的高度AE为3.1米，乙同学在右楼楼顶D处测得旗杆顶点F的俯角为8°（点A、G、C在同一条直线上），已知两楼间的距离AC为30米，请你帮助该数学兴趣小组计算旗杆FG的高．（精确到1米．参考数据：sin8°≈0.14，cos8°≈0.99，tan8°≈0.14）

【答案】米
【解析】
【分析】连接，延长交于，过点作于．首先证明，设米，在中，根据，构建方程解决问题即可．
【详解】解：如图，连接，延长交 于，过点作于，

由题意，米，，米，，米，
在中，，
，
，
设，
则，
，
在中，，
，
解得，，
经检验，是分式方程的解，
即（米，
旗杆的高为 米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
23. 疫情防控期间，师生进入校园都必须测量体温，体温正常方可进校．学校在大门口设置了两种不同类型的测温通道，其中A通道是红外热成像测温通道，B、C通道都是人工测温通道．每位师生都可随机选择其中一条通道通过，某天早晨，甲、乙两位同学通过测温进校．
（1）甲同学通过A通道测温进入校园的概率是______；
（2）求甲、乙两位同学从不同类型测温通道通过的概率．（用“画树状图”或“列表”的方法求）
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵共有三个通道，分别是红外热成像测温（A通道）和人工测温（B通道和C通道），
∴甲从A测温通道通过的概率是，
故答案为：；
（2）根据题意画树状图如下：

或列表：

A
B
C
A
AA
AB
AC
B
BA
BB
BC
C
CA
CB
CC
共有9种等可能的情况数，其中甲和乙从不同类型测温通道通过的有4种情况，
∴甲和乙从不同类型测温通道通过的概率是．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24. 在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求A、B、C三点坐标；
（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．
【答案】（1）A（-1，0），B（2，0），C（0，2）
（2）向左移动个单位，向上移动个单位位或向左移动个单位，向上移动个单位
【解析】
【分析】（1）分别令y=0和x=0求解即可；
（2）判断出A1，B1，A2，B2的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，再根据平移的性质判断即可；
【小问1详解】
解：在y=-x2+x+2中，令y=0，即0=-x2+x+2，
解得：x1=2，x2=-1，
∴A（-1，0），B（2，0），
令x=0，即y=2，
∴C（0，2）；
【小问2详解】
解：y=-x2+x+2=-(x-)2+，
∴顶点坐标为：（，），
∵以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，
∴分别延长AC、BC，使A1C=2AC，B1C=2BC，可得A1（2，6），B1（-4，6），
分别延长CA、CB，使A2C=2CA，B2C=2CB，可得A2（-2，-2），B2（4，-2）时，
如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（-4，6）时，设抛物线的解析式，y=-x2+bx+c，
则有，
解得，，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+14=-(x+1)2+15，
∴顶点坐标为：（-1，15），
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A1、B1；
当抛物线经过A2（-2，-2），B2（4，-2）时，同法可得抛物线的解析式为：=，
∴顶点坐标为：（-，），
∴把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A2、B2；

综上所述，把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位或把抛物线y=-x2+x+2向左移动个单位，向上移动个单位可同时经过点A1、B1；．
【点睛】本题考查位似变换，二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
25. 有这样一类特殊边角特征的四边形，它们有“一组邻边相等且对角互补”，我们称之为“等对补四边形”．

（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于点E，若AE＝4，则四边形ABCD的面积等于 　 　．
（2）等对补四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角，即如图2，四边形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，连接BD，求证：BD平分∠ABC．
（3）现准备在某地著名风景区开发一片国家稀有动物核心保护区，保护区的规划图如图3所示，该地规划部门要求：四边形ABCD是一个“等对补四边形”，满足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地势原因，要求3≤AD≤6，求该区域四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）9 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过作，交的延长线于，求出四边形是矩形，根据矩形的性质得出，求出，根据得出，根据全等得出，，求出，求出，代入求出即可；
（2）如图1中，连接，．证明，，，四点共圆，利用圆周角定理即可解决问题．
（3）如图3中，延长到，使得，连接，过点作于，根点作于，于．设．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图1，过作，交的延长线于，

，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是矩形，
四边形是正方形，
，




．
故答案为：16；
小问2详解】
解：证明：如图2中，连接．

，
，，，四点共圆，
，
，
，
平分．
【小问3详解】
解：如图3中，延长到，使得，连接，过点作于，过点作于，于．设．

，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
由（2）可知．平分，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
∵，
∴
∴时，有最大值，最大值．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了“邻等对补四边形”的定义，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，四点共圆，二次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考压轴题．