第37届全国中学生物理竞赛决赛理论试题 Word版无答案

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第 37 届全国中学生物理竞赛决赛理论试题 一、(40 分) 我国大科学装置散裂中子源于 2018 年建成并投入使用， 它在诸多领域有广泛 的应用。历史上，查德威克在 1932 年首次确认了中子的存在并测出了它的质量；哈恩等人 在 1939 年发现用中子轰击铀原子核可使其分裂，同时放出中子，引发链式反应。为了使链 式反应能够持续可控地进行， 可通过弹性碰撞使铀核放出的中子慢化。 不考虑相对论效应。(1) 查德威克用中子 (质量为 m ) 轰击质量为m1 的静止靶核 (氢核 H 或氮核 14 N ，质量 为mH 或14 mH  )，观察它们的运动。设靶核的出射动量与入射中子的初动量之间的夹角为， 试导出此时靶核的出射速率 v1 和中子的末速率 v 分别与中子初速率v0 之间的关系。该实验 测得氢核的最大出射速率为3.30107 m / s ，氮核的最大出射速率为4.70106 m / s ，求m 和 v0  的值。(2) 在上述实验中一个氮核也可能受到一束中子的连续撞击。 假设氮核开始时是静止的， 每次与之相碰的中子的速率都是v0  ，碰撞都使得氮核速率的增量最大。试计算经过多少次 碰撞后氮核的动能与中子的初动能近似相等？(3) 设经过多次碰撞被减速的中子处于热平衡状态，其速率满足麦克斯韦分布f (v) 4     m     3/2 v2e ，2kBT 这里kB 为玻尔兹曼常量，T 为系统的绝对温度。 试计算在热平衡时，中子的最概然速率所 对应的动能和最概然动能。 二、  (40 分) 当电场中两个导体球靠近时，导体球之间的电场将明显增强。本题试探讨这 一现象。已知真空介电常量为 0  。(1) 设一个半径为R0  的孤立导体球的球心与一个静止点电荷 Q 相距为a  ( a R0  ) ，求镜 像电荷的电量及其位置。(2)设导体球置于大小为E0  的匀强外电场中， 该外加电场可看作是由两个相距很远的等量 异号点电荷 Q 在其连线中点处产生的。试证导体球的感应电荷的作用等效于两个镜像电荷 形成的电偶极子，并求该电偶极子的偶极矩与外场E0 之间的关系。(3)设导体球外两等量异号点电荷 q 的间距为 l ，它们形成的电偶极子qΔl 沿径向放置 在半径为R0  的导体球附近， 偶极子中心与导体球中心相距r  ( r l ) ，求该偶极子在导 体球中镜像电偶极矩的大小。(4) 在大小为E0  的匀强外电场中，沿外电场方向放置两个半径为R0  的导体球，两球心相距r  ( r 2R0  ) 。求导体球外过两球心的平面内任一点 P'(x, y) 处的电势分布和在两球心连线方向的场强分布 (可用递推式表示) ，取两球心连线中点为坐标原点，连线方向为X 轴。(5)试证： 在不考虑击穿放电的情形下，当上述两导体缓慢无限靠近时，两球连心线中点
的电场会因静电感应而趋于无限大。 三、(40 分) 量子热机是利用量子物质作为工作物质进行循环的热机。下面以二能级原子系 统为例描述量子热机的工作原理。二能级原子的平均能量定义为〈E〉= p0  . E0  + p1 . E1 ，其中E0  、p0 和E1  、p1 分别表示原子处于基态和激发态的能量、概率。为简单起见，假设E0  = 0 ， 在循环过程中激发态与基态的能量差是一个可调参量。该原子处于能量为E 的能态的概率满 足玻尔兹曼分布一E(kBT)其中T 为热力学温度， kB 为玻尔兹曼常量。 在准静态过程中， 平均能量的变化为d〈E〉= p1dE1 + E1dp1，其中p1dE1 为能级变化引起的能量变化，对应外界对二能级原子系统所做的功dW ；E1dp1 为 概率变化引起的能量变化，对应外界对二能级原子系统的传热dQ 。(1) 将二能级原子系统与一个温度为T 的热源接触， 求热平衡时二能级原子系统处在基态的概率p0 和激发态的概率p1 。(2) 经典奥托循环的P- V 图如图 2a 所示， 其中 A →B 和 C →D是等容过程，B →C 和 D→A 是绝热过程。试画出量子奥托循环过程中二能级的能量差E1 与激发态概率p1 的关系示意图，并计算量子奥托循环四个过程中的传热、内能增量和对外做功。(3) 类似地， 计算量子卡诺循环各个过程中的传热、内能增量和对外做功。假设量子卡诺 循环中高温热源温度Th  和低温热源温度Tl  分别与量子奥托循环的最高温度和最低温度相同， 试比较量子奥托热机和量子卡诺热机的工作效率。 四、(40 分)自 1964 年 Yeh 和 Cummins 观察到水流中粒子的散射光多普勒频移至今，激光 多普勒测速技术已获得了广泛应用。为了得到足够的散射光强，通常在流体中散播尺寸和浓 度适当的示踪散射粒子，激光照射到运动粒子上时发生散射， 从而获得粒子 (和流体) 的速 度信息。设粒子速度v 与竖直方向的夹角为 。(1) 如图 4a 所示， 一束频率为f  的光被流体中的运动粒子所 散射。光在流体中的传播速率为c /n   (n 为流体的折射率)，粒子以速度v 运动 ( v<< c /n )。入射光和观测到的散射光的传播方向与粒子速度的夹角分别为1 和2  。求散射光相对于入射光的频移量编f  与散射光方向的关系。设粒子的速率v = 1 m/s ，光 
的频率f = 1014 Hz ，编f  能否可以直接用分辨率为 5MHz 的光谱
图 4a
仪进行检测？(2) 如图 4b  所示， 用频率为f  的两束相干平行光 (其传播方向在同一竖直平面内) 照射 流体中同一粒子，两束光与水平面的夹角均为 /2  ( 比较小)。两束光的散射光到达光电 探测器的相位分别为1 和2  ，散射光的电场矢量方向近似相同且振幅均为E0  。光电探测器 输出的电流强度正比于它接收到的光强，比例常量为k 。假设光电探测器的频率响应范围为 102  ~ 107 Hz ，求光电探测器的输出电流表达式。为简单起见，假设粒子速度处于照射在粒 子上的两束入射光所在平面内。图 4b(3) 设XOZ 平面内两束相干平行光相对于X 轴对称入射到达相交区域 (见图 4c)，求干涉 条纹间距；粒子 (其速度在XOZ 平面内) 经过明暗相间的干涉条纹区将散射出光脉冲， 求 光脉冲的频率。 图 4c 五、(40 分) 在恒星之间的广阔宇宙空间中存在星际介质。在宇宙射线的作用下， 星际介质 中的分子失去部分电子成为正离子， 电子则游离在外， 成为等离子态。脉冲星是高速旋转、 具有超强磁场的中子星，地球上所观测到其发出的电磁辐射是脉冲信号。脉冲星信号可用于 星际导航和高精度计时，为此需要获得脉冲信号到达地球的精确时间，研究其电磁辐射的相 位变化与色散。一脉冲星到地球的距离为d ，星际介质中的电子平均数密度为ne  (数量级为104 m3  )； 假设介质中存在匀强静磁场B  (数量级为1010 T )，其方向平行于电磁波的传播方向。已知电子质量为me ，电荷为e  ( e 0 )，真空介电常量为0  ，真空中光速为c 。(1)取该脉冲星到地球的电磁辐射方向为 z轴正向，对于频率为的电磁波，其电场为 Ex =E0 cos(kz 2πft) ，Ey =E0cos(kz 2πft ) ，式中 E0 和 分别为电磁波的振幅和波数。为
简单起见，设E0 为常量、且电磁波本身的磁场对电子的作用可忽略，求电子运动的回旋半 径Re  。(2) 脉冲星信号在星际介质中传播时会发生色散， 其传播速度大小 (群速度的大小vg  )依赖于电磁波频率相对于波数的变化率：vg  2π 。求能通过介质到达地球的脉冲星信号电磁波的最低频率fc  。(3) 假设在脉冲星信号的传播路径上，星际介质中的电子平均数密度ne 保持不变， 问脉冲 星信号中频率为f  的电磁波到达地球的时间比其在真空中传播的时间延迟了多少？(4) 观测发现， 从脉冲星同时出发的频率为f  的电磁波到达地球时出现了相位差，求该相位差(可取近似：  e      ne       f ,   eB   f  )。2π 0 me                       2πme(5)  如果在传播途中长度为a 的区间内电子数密度出现涨落 ne ，求脉冲星信号中频率为 f  的电磁波通过该区间后由电子数密度涨落引起的相位移动。 六、(40 分) 反粒子最早由狄拉克的理论所预言。1932 年， 安德森研究宇宙射线时发现了电 子的反粒子——正电子。此后， 人类又陆续发现了反质子等反粒子。用单粒子能量为 6.8 GeV 的高能质子束轰击静止的质子靶，可产生反质子， 其反应式为p p p p p pπ 质子和反质子湮灭时可产生 π 介子，因此在反质子束流中还伴随有大量 π 介子。 图 6a  是 探测反质子的实验装置原理图。反质子 p 和 π 介子流依次通过闪烁计数器S1  、S2 和S3 ，  S1与S2 相距l 12m ，在 S2 和S3 之间放置有切伦科夫计数器C1 和C2  。切伦科夫计数器通过探 测切伦科夫辐射(带电粒子在介质中的运动速度超过介质中光速时所激发的电磁辐射) 而确 定带电粒子的运动速度。 C1 仅记录速度较快的 π 介子， C2 仅记录速度较慢的反质子。实验中S3 的作用是检验前面的计数结果是否真实。(1) 在上述反应中， 假设末态质子和反质子速度相同， 求反质子从S1 运动到S2  所需的时间tp  。若 π 介子与反质子动能相同，求 π 介子从S1 运动到S2  所需的时间tπ   。图 6a(2) 运动速率为v  ( v>c / n )的带电粒子通过折射率为n 的介质，求所产生的切伦科夫辐
射传播方向与带电粒子的运动方向的夹角。(3) 微分式切伦科夫计数器可以记录速率在某一个区间的粒子数。图 6b 是其关于轴线(图 中虚线)旋转对称的原理剖面图。光收集系统包括半径为 R  的球面镜和半径可调的环状光 阑。当切伦科夫辐射传播方向与带电粒子运动方向的夹角很小时，球面镜将带电粒子激发 的切伦科夫辐射会聚在其焦平面上， 形成半径为 r 的辐射光环，投射在计数器上。对于速率 为 v 的带电粒子激发的辐射，求光环的半径。图 6b(4) 反质子与质子相遇会发生湮灭反应p p 3π0  。反应末态粒子的总动能与反应初态粒 子的总动能之差即为反应能 Q。为简单起见，假设质子和反质子的动能可忽略。末态三个π 0  介子的总动能是一个常量，可用 Dalitz 图表示总动能在三个 π0 介子之间的分配。如图 6c 所 示， Dalitz 图是一个高为 1 的等边三角形， P 点到三边的距离等于三个 π0 介子的动能占反应 能的比率，即di  Ek ,i  / Q ，Ek ,i 表示第 i 个 π0 介子的动能，i 1, 2,3 。以底边为X 轴，底边 中点为原点，底边上的中垂线为 Y 轴建立坐标系。求 P 点可能的分布范围边界的表达式， 用反应能 Q 、π 0 介子质量mπ0   和真空中的光速 c 表示。并讨论若mπ0    0 时，P 点的分布范围 边界的表达式。图 6c 已知：真空中的光速c 2.998108 m/s ，质子质量Mp  938.2720 MeV/c2 ，中性 π 介子 质量mπ0    134.9766 MeV/c2  ，带电 π 介子质量mπ  139.5702 MeV/c2  。
七、(40 分) 据《荀子·宥坐篇》 记载，孔子观于鲁桓 公之庙，有欹(qī)器焉。欹器者，  “虚则欹，中则 正，满则覆。” 悬挂式欹器实物如图7a 所示： 欹器空时， 器身倾斜； 注水适中，器身正立； 注水过满，器身倾覆。图 7b 为悬挂式欹器的正视剖面图。整个欹器的外轮廓是相对于Z 轴的回转面， Zp 轴为内部镗腔的对称轴,  容器内壁与外壁的半球壳半径分别为 R1 =R                              图 7aZ   Zp    Q  点，其坐标为 (xQ  =一R / 10, zQ  = 2  R / 11) 。欹器            Q                        l材质均匀， 其密度 1 为水的密度 2  的 3 倍。不计摩                 O  Op                X     (2)求空欹器绕一对悬挂点所在轴的转动惯量及              图 7b其在平衡位置附近微振动的角频率(已知密度为 、半径为 R  的匀质球体绕过其质心的轴的转动惯量为I1 = πR5 ；半径为R 、长度为 L 的匀质圆柱体绕过其质心且平行于圆柱底 面的轴的转动惯量为I2  = )。(3) 让空欹器自由悬挂，并开始往欹器内缓慢注水，问欹器内水面到底部的距离h 为 多少时器身正立？(4) 简述“满则覆”的临界条件。