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人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布获奖ppt课件
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第三册7.5 正态分布获奖ppt课件，共31页。PPT课件主要包含了学习目标，连续型随机变量，正态分布的性质，常考题型，正态分布的概率等内容，欢迎下载使用。
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解变量落在区间［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］的概率大小，会根据正态曲线的特点求随机变量在某一区间内的概率.4.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.重点：正态分布的意义和特点.难点：借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题.
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
二、正态密度函数与正态分布
若X~N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积.
对参数μ，σ的理解(1)正态分布由参数μ，σ唯一确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2）.(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.
服从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P（X＝a）＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P（X
图（1） 图（2）
观察图（1）和图（2）可以发现，参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.实际上，我们有若X~N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2.
六、正态分布的3σ原则
假设X~N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ-kσ≤X≤μ+kσ）是一个只与k有关的定值.特别地，P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞，+∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间［μ-3σ，μ+3σ］内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值，这在统计学中称为3σ原则.
一、正态曲线的概念、性质
【解析】根据正态分布，μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，分析图象可得μ3>μ1＝μ2.σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，所以σ1最大，故选D.【答案】D
2.［2020·江西宜丰中学高二月考］随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ<2）＝0.2，P（2≤ξ≤6）＝0.6，则μ＝（ ）A.3 B.4 C.5 D.6
1.计算正态分布的概率例2 ［2020·重庆南开中学高考模拟］据统计，某脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则果实横径在［75，90]内的概率为（ ） 附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 7 3 6 5
◆正态分布下两类常见的概率计算1.利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.2.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ-σ，μ+σ］，[μ-2σ，μ+2σ］，[μ-3σ，μ+3σ］中的哪一个.
2.求参数例3 ［2020·重庆高三月考］已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（ ）A.0B.1C.2D.4【解析】因为P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，所以P（X≤1+2a）＝1-P（X≤1-a）＝P（X>1-a）.因为X～N（2，σ2），所以1+2a+1-a＝2×2，所以a＝2.【答案】C
◆正态分布下根据概率问题求参数的方法1.解决此类问题的关键是利用正态密度曲线的性质，充分利用数形结合思想和化归思想.2.利用以下结论（1）3σ原则；（2）正态密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的区域的面积为1；（3）正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同；（4）P（X≤a）＝1-P（X≥a），P（X≤μ-a）＝P（X≥μ+a）.
训练题 ［2020·新疆实验中学高三月考］已知随机变量X服从正态分布N（100，4），若P（m≤X≤104）＝0.135 9，则m等于 （ ）（附：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5）A.100 B.101 C.102 D.103
三、3σ原则在实际问题中的应用
【方法总结】 本题的解题关键是掌握正态密度曲线的对称性，即若X～N（μ，σ2），则P（X> μ）＝P（X<μ），P（X>μ+m）＝P（X<μ-m）（m>0）.
训练题1.［2020·重庆大学城第一中学高二期中］某市一次高三年级数学测试中，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78
◆“小概率事件”的含义及应用1.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则X在（μ-2σ，μ+2σ）以外取值的概率约只有4.6%，在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值的概率约只有0.3%.由于这些概率值很小（一般不超过5%），通常称这些情况发生为小概率事件.2.一般认为，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.
训练题 某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ （单位：cm）服从正态分布N（4，0.52），质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于外直径ξ服从正态分布N（4，0.52），故ξ在[4-3×0.5，4+3×0.5]，即[2.5，5.5]之外取值的概率约为0.002 7，而5.7[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的.
四、正态分布与二项分布的综合应用
例6 ［2020·江西新余一中期末］九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.（1）计算联考成绩在137分以上的人数.（结果保留整数）（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.①求成绩低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的分布列，并求出数学期望E（X）.参考数据：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤ X≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.
（1）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品，从设备M的生产流水线上任意抽取3件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）.（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P（μ-σ≤X≤μ+σ）≥0.682 7；②P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≥0.954 5；③P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≥0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级并说明理由.
1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解变量落在区间［μ-σ，μ+σ］，［μ-2σ，μ+2σ］，［μ-3σ，μ+3σ］的概率大小，会根据正态曲线的特点求随机变量在某一区间内的概率.4.了解正态分布的均值、方差及其含义，会用正态分布解决实际问题.重点：正态分布的意义和特点.难点：借助正态分布密度曲线的对称性，利用数形结合求解正态分布的问题.
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量.
二、正态密度函数与正态分布
若X~N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积.
对参数μ，σ的理解(1)正态分布由参数μ，σ唯一确定，因此正态分布常记作N（μ，σ2）.(2)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.
服从正态分布的随机变量X的概率特点若随机变量X服从正态分布，则X在一点上的取值概率为0，即P（X＝a）＝0，而{X＝a}并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而P（X
图（1） 图（2）
观察图（1）和图（2）可以发现，参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.实际上，我们有若X~N（μ，σ2），则E（X）＝μ，D（X）＝σ2.
六、正态分布的3σ原则
假设X~N（μ，σ2），可以证明：对给定的k∈N*，P（μ-kσ≤X≤μ+kσ）是一个只与k有关的定值.特别地，P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.上述结果可用右图表示.由此看到，尽管正态变量的取值范围是（-∞，+∞），但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间［μ-3σ，μ+3σ］内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取［μ-3σ，μ+3σ］中的值，这在统计学中称为3σ原则.
一、正态曲线的概念、性质
【解析】根据正态分布，μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，分析图象可得μ3>μ1＝μ2.σ越小，曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，表示取值越分散，所以σ1最大，故选D.【答案】D
2.［2020·江西宜丰中学高二月考］随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ<2）＝0.2，P（2≤ξ≤6）＝0.6，则μ＝（ ）A.3 B.4 C.5 D.6
1.计算正态分布的概率例2 ［2020·重庆南开中学高考模拟］据统计，某脐橙的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（80，52），则果实横径在［75，90]内的概率为（ ） 附：若X～N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 7 3 6 5
◆正态分布下两类常见的概率计算1.利用正态密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的区域的面积为1.2.利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与μ，σ进行对比联系，确定它们属于[μ-σ，μ+σ］，[μ-2σ，μ+2σ］，[μ-3σ，μ+3σ］中的哪一个.
2.求参数例3 ［2020·重庆高三月考］已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（ ）A.0B.1C.2D.4【解析】因为P（X≤1-a）+P（X≤1+2a）＝1，所以P（X≤1+2a）＝1-P（X≤1-a）＝P（X>1-a）.因为X～N（2，σ2），所以1+2a+1-a＝2×2，所以a＝2.【答案】C
◆正态分布下根据概率问题求参数的方法1.解决此类问题的关键是利用正态密度曲线的性质，充分利用数形结合思想和化归思想.2.利用以下结论（1）3σ原则；（2）正态密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的区域的面积为1；（3）正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相同；（4）P（X≤a）＝1-P（X≥a），P（X≤μ-a）＝P（X≥μ+a）.
训练题 ［2020·新疆实验中学高三月考］已知随机变量X服从正态分布N（100，4），若P（m≤X≤104）＝0.135 9，则m等于 （ ）（附：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.954 5）A.100 B.101 C.102 D.103
三、3σ原则在实际问题中的应用
【方法总结】 本题的解题关键是掌握正态密度曲线的对称性，即若X～N（μ，σ2），则P（X> μ）＝P（X<μ），P（X>μ+m）＝P（X<μ-m）（m>0）.
训练题1.［2020·重庆大学城第一中学高二期中］某市一次高三年级数学测试中，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78
◆“小概率事件”的含义及应用1.若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则X在（μ-2σ，μ+2σ）以外取值的概率约只有4.6%，在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值的概率约只有0.3%.由于这些概率值很小（一般不超过5%），通常称这些情况发生为小概率事件.2.一般认为，小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.
训练题 某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ （单位：cm）服从正态分布N（4，0.52），质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于外直径ξ服从正态分布N（4，0.52），故ξ在[4-3×0.5，4+3×0.5]，即[2.5，5.5]之外取值的概率约为0.002 7，而5.7[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该厂生产的这批零件是不合格的.
四、正态分布与二项分布的综合应用
例6 ［2020·江西新余一中期末］九所学校参加联考，参加人数约5 000，经计算得数学平均分为113分.已知本次联考的成绩服从正态分布，且标准差为12.（1）计算联考成绩在137分以上的人数.（结果保留整数）（2）从所有试卷中任意抽取1份，已知成绩不超过123分的概率为0.8.①求成绩低于103分的概率.②从所有试卷中任意抽取5份，由于试卷数量较大，可以把每份试卷被抽到的概率视为相同，X表示抽到成绩低于103分的试卷的份数，写出X的分布列，并求出数学期望E（X）.参考数据：若X~N（μ，σ2），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.682 7，P（μ-2σ≤ X≤μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.997 3.
（1）将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品，从设备M的生产流水线上任意抽取3件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）.（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P（μ-σ≤X≤μ+σ）≥0.682 7；②P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≥0.954 5；③P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≥0.997 3.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级并说明理由.
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