湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高一数学上学期期末试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
雅礼教育集团2021-2022学年高一上学期期末考试试卷数学时量：120分钟    分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设，集合，，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】首先求出，再根据交集的定义计算可得.【详解】∵，集合，∴，则.故选：A.2. 命题“”的否定为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定，即可选择.【详解】命题“”的否定为“” .故选：.3. 设，则（    ）A  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合指数、对数函数的单调性，分别比较、、与0和1的大小关系，即可求解.【详解】根据题意，因为，且，，所以.故选：A.4. 已知角顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，将的终边逆时针旋转，这时终边所对应的角是，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先根据已知条件求解出的值，然后根据之间的关系结合诱导公式求解出的值.【详解】因为，且，所以，故选：B.【点睛】结论点睛：三角函数定义有如下推广：设点为角终边上任意一点且不与原点重合，，则.5. 的值是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由诱导公式和两角差的余弦公式化简计算.【详解】故选：C6. 函数的图象大致为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除选项A，B；根据函数在上的单调性可排除选项C，进而可得正确选项.【详解】函数的定义域为且，关于原点对称，因，所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项A，B，当时，，由在上单调递增，在上单调递减，可得在上单调递增，排除选项C，故选：D.7. 在中，已知，，则C的大小为（    ）A. 90° B. 45° C. 135° D. 60°【答案】C【解析】【分析】利用两角和正切公式及三角形内角和定理可得结果.【详解】∵，，∴，∴，又，∴.故选：C.8. 近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的猪肉价格分别为a元/斤、b元/斤，甲和乙购买猪肉的方式不同，甲每周购买20元钱的猪肉，乙每周购买6斤猪肉，甲、乙两次平均单价为分别记为，，则下列结论正确的是（    ）A.  B.  C.  D. ，的大小无法确定【答案】C【解析】【分析】根据题意结合基本不等式可得，即可判断.【详解】根据题意可得，当且仅当等号成立，，当且仅当等号成立，由题意可得，所以，，则.故选：C.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9. 若是的充分不必要条件，则实数a的值可以是（　　）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】CD【解析】【分析】先根据充分不必要条件求解出的取值范围，由此确定出的可取值.【详解】因为是的充分不必要条件，所以，所以的可取值有，故选：CD.10. 已知不等式的解集是，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据已知条件，利用二次不等式的解集与二次函数的的图象的对应关系，借助韦达定理和不等式的基本性质作出判断.【详解】由已知得的两根为和2，∴ ∴ ∴ ∴ ,故选：BCD.11. 已知函数，则下列说法中正确的是（    ）A. 的最小正周期为B. 在上单调递增C. 是的一个对称中心D. 当时，的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数最小正周期、单调区间、对称中心、最值的求法，确定正确选项.【详解】对于A选项，，故A选项正确.对于B选项，由，解得，所以的单调递增区间是，，所以B选项错误.对于C选项，，所以C选项正确.对于D选项，，所以，当时，函数取得最大值，即，所以D选项正确故选：ACD.【点睛】方法点睛：求函数在区间上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围；第三步：求出所求函数的最值.12. 定义在实数集R上的奇函数满足，且当时，，下列正确的是（    ）A.  B. 函数的最小正周期为2C. 函数的值域为 D. 方程有5个根【答案】ACD【解析】【分析】由题设可得最小正周期为4且值域为，根据已知区间解析式画出图象判断A、B、C的正误，再画出的图象判断交点情况即知D的正误.【详解】定义在实数集R上的奇函数满足，∴，即的最小正周期为4且的值域为，作出的图象，∴，故A、C正确，B错误；由图知：共有5个交点，可得方程有5个根，则D正确；故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 幂函数的图象经过点，则的值为________.【答案】【解析】【分析】运用待定系数法，结合代入法进行求解即可.【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，因此，故答案为：14. 已知扇形AOB的面积为，圆心角为120°，则该扇形所在圆的半径为______．【答案】2【解析】【分析】利用扇形的面积公式即可求解.【详解】，扇形AOB的面积为，所以，解得．故答案为：215. 的单调递增区间是________．【答案】．【解析】【分析】利用正切函数的单调性列出不等式直接求解即可.【详解】∵，∴令，，解得，，所以函数的单调递增区间为．故答案：．16. 若,,则x的取值范围是________；若,则x的取值范围是________.【答案】    ①.     ②. ,【解析】【分析】根据,又因为,结合特殊的三角函数值,即可就出解;利用换元法令,则转化为,解得,结合即可求出不等式的的解.【详解】解：由,又因为,解得：;令,则,,,,解得,,故答案为：（1）;（2）,.【点睛】本题考查特殊角的三角函数值,以及根据三角函数的值域求参数,属于简单题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知函数，且为偶函数，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的解析式．条件①：函数在区间上的最大值为5；条件②：方程有两根，，且．【答案】【解析】【分析】先由为偶函数，求出的值，若选①：根据二次函数的单调性得出其最值的可求，得出答案；若选②：由题意可得，，则从而可得答案.【详解】因为为偶函数，且定义域为R关于原点对称，所以，所以，所以，又因为x不恒为0，所以，所以，所以，若选①：因为，对称轴为，所以在上递减，在上递增，所以，又因为，，则，所以，所以，所以；若选②：因为的两根为，且，所以，，所以，所以，所以．18. 已知函数的部分图象如图所示：（1）求的解析式；（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在的实数解.【答案】（1）；（2）或或.【解析】【分析】（1）先根据函数图象确定出的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式求解出的值，然后代入点结合的范围求解出的值，从而的解析式可求；（2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据得到关于的方程，结合，求解出的值即为方程的实数解.【详解】（1）因为由图象可知，所以且，所以，所以，代入点，所以且，所以，所以；（2）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的后得到的函数解析式为：，因为，所以，又因为，所以，所以或或，所以或或，所以方程在的实数解为：或或.【点睛】思路点睛：根据的图象求解函数解析式的步骤：（1）根据图象的最高点可直接确定出的值；（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出的值；（3）代入图象中非平衡位置的点，结合的范围求解出，则函数解析式可求.19. 已知，均为锐角，且，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先由求出cosα的值，再利用正弦的二倍角公式求解即可，（2）由条件求出，由，则，然后利用两角差的正弦公式化简计算即可【小问1详解】因为，且为锐角，所以，所以．【小问2详解】因为，均为锐角，所以，又，所以，由（1）知，，所以20. 已知函数的最小值为．（1）求m的值；（2），，求实数a的取值范围．【答案】（1）；    （2）．【解析】【分析】（1）先对函数化简得，再由函数的最小值为，得，从而可求出m的值，（2）先将原不等式转化为对恒成立，由，得，所以对恒成立，所以且，再利用基本不等式求出即可【小问1详解】因为，所以，所以当时，有最小值，所以，所以，【小问2详解】因为对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，所以对恒成立，又因为，所以，所以对恒成立，所以且，又因为，取等号时，即，即或，所以．21. 2021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯《人口论》的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究．根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为①（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万．该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得①式人口增长模型．（1）请求出该小组同学①式人口增长模型；（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）．（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人．①求满足的正整数k的最小值．②按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由．参考数据：，，，．【答案】（1）    （2）①24 ；②不能；理由见解析【解析】【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得①式的人口增长模型，（2）①由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，②由①当时，，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论【小问1详解】由题意可得，则，，所以，所以，所以．【小问2详解】①由，得，所以，化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，②由①当时，，所以当时，最大，，即，所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克．22. 已知函数（）．（1）若在上的最大值为，求a的值；（2）证明：函数有且只有一个零点，且．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由在上递增，可得，从而可求出a的值，（2）由函数的单调性和零点存在性定理可证得函数有且只有一个零点，方法一：由，可得，再由，可得，则，再结合可证得结论，方法二：由得，再结单调性可得，从而可证得，由在单调递增，可得，从而可得结论【小问1详解】因为函数和在上递增，所以在上递增，又因为在上的最大值为，所以，因为，所以解得；【小问2详解】证明：因为，所以，所以在上不存在零点．由（1）得在上单调递增，且，所以在上有唯一零点，且方法一：因为，所以，，因为，所以，所以， ，由于，所以因为，所以，得证．方法二：因为，有所以 因为在单调递减，所以当时，有，所以有，即因为在单调递增，所以所以