浙江省杭州市八县区2021-2022学年高二数学上学期期末学业水平测试试题（Word版附解析）

2021学年第一学期期末学业水平测试

高二年级数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 全集，， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的基本运算求解即可.

【详解】由题,故.

故选：B

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题型.

2. 若复数z满足（其中i为虚数单位），则z的虚部是（    ）

A. 2i B.  C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的除法运算求出，再根据复数的概念可得结果.

【详解】因为，所以，

所以复数的虚部为.

故选：D

3. 已知与抛物线的准线相切．则（    ）

A.  B. 16 C.  D. 8

【答案】A

【解析】

【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得，求解即可.

【详解】抛物线的准线方程为

圆的方程，圆心，半径

由已知得，解得

故选：A

4. 下列命题中，不正确是（    ）

A. 若事件A，B互斥，则

B. 若事件A，B互为独立，则

C. 若事件A，B，C两两互斥，则

D. 若事件A，B，C两两独立，则

【答案】D

【解析】

【分析】根据互斥事件的概率加法公式即可判断AC；利用独立事件的概率公式可判断B；举反例可判断D.

【详解】对于A，根据互斥事件的概率加法公式即可判断A正确；

对于B，事件A，B互为独立，则，

，故B正确；

对于C，根据互斥事件的概率加法公式即可判断C正确；

对于D，例：从1,2,3,4中随机选出一个数字，记事件“取出的数字为1或2”，“取出的数字为1或3”，

“取出的数字为1或4”，则“取出的数字为1”，

显然，，

满足，，

所以事件A，B，C两两独立，但是，故D错误；

故选：D

5. 如图所示，是某厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，其中，圆锥的底面和球的直径都是0.2m，圆锥的高是0.24m．要对1000个这样的台灯表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，则共需胶（    ）克

A. 340π B. 440π C. 4600π D. 6600π

【答案】C

【解析】

【分析】求出圆锥的侧面积和半球面的面积后，然后乘以100，再乘以1000可得．

【详解】由题意圆锥的母线长为，

所以台灯表面积为，

需胶重量为（克）．

故选：C．

6. 已知函数（，），其图象关于点成中心对称，相邻两条对称轴的距离为，且对任意，都有，则在下列区间中，f(x)为单调递减函数的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由相邻对称轴距离得函数的最小正周期，由不等式恒成立得函数的最小值点，结合周期可得函数的增区间和减区间，比较各选项可得．

【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，所以函数的最小正周期为，所以，

对任意，都有，则是函数的最小值，

，，

因此在上函数单调递增，D错误；

在上单调递减，C正确；

是函数的一个最大值点，AB错误，

故选：C．

7. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，下列各式正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出函数，，，的图象，由图象可得的大小关系，再结合函数的单调性可判断各选项．

【详解】如图，作出函数，，，的图象，由图可知，

和的图象关于直线对称，，ABC均错；

，，，

只有，，D正确．

故选：D．

8. a为实数，函数在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当g（a）取得最小值时，（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】对a分类讨论，分别确定函数在每个区间内的最大值，得到g（a），然后结合函数的单调性确定最终的答案.

【详解】当时，函数 在[0，1]单调递增，故；

当时，函数 在[0，1]单调递减，此时；

当时，此时 ，

而 ，故；

当时，，，

由解得，

则时，；当时，，

综上所述，，

而 时，的最小值为 ，当时， ，

当时，，

综合上述：当g（a）取得最小值时， ，

故选：A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9. 若椭圆的焦点为，，长轴长为2a，则椭圆上的点（x，y）满足（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据椭圆的定义判断A，由圆锥曲线的统一下定义判断CD，由椭圆的标准方程判断B．

【详解】由椭圆的定义知A正确，由圆锥曲线的统一定义知D正确，因此C错误；

由椭圆标准方程得，

所以，点不满足该方程，B错误．

故选：AD．

10. 设α，β为两个平面，则的必要不充分条件是（    ）

A α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行．

C. α，β垂直于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面

【答案】AD

【解析】

【分析】要判断是否为的必要不充分条件，就要依据的是能推出该条件，但该条件不能推出，据此一一判断即可.

【详解】A，时α内一定有无数条直线与β平行，但α内有无数条直线与β平行时，除外，两平面还可能相交，故A是必要不充分条件；

B，α内有两条相交直线与β平行，那么根据线面平行的判定定理可知，故B不是必要不充分条件；

C, α，β垂直于同一条直线，则能得出，故C不是必要不充分条件；

D, α，β垂直于同一平面，两平面可能相交，推不出，但时，一定会有α，β垂直于同一平面，故D是必要不充分条件.

故选：AD.

11. 已知点A、B、P在上，则下列命题中正确的是（    ）

A. ，则的值是

B. ，则的值是

C. ，则的范围是

D. ，且，则的范围是

【答案】BCD

【解析】

【分析】由可判断AB，由可判断C，设方程为，，根据坐标运算结合三角恒等式可判断D．

【详解】由

当时， ，则A错，B正确；

由

因为，所以范围是，故C正确；

设方程为，

由得

则，得

所以，故D正确．

故选：BCD

12. 定义全集U的子集M的特征函数．已知，，则以下结论中正确的是（    ）

A. 若，则对于任意，都有

B. 对于任意，都有

C. 对于任意，都有

D. 对于任意，都有

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用集合的关系和运算，计算各条件下的函数值.

【详解】

，

对于A：

若 ，则，，，

当时， ；

当，.

所以，对任意 ，都有，故A正确.

对于B：

当时，，；

当时，，.

所以，，故B正确.

对于C：

当时，，；

当时，，或

所以，，故C正确.

对于D：

当时，，若，则，；若，则或，，故D错误.

故选：ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，16题第1空2分，第2空3分．

13. ______．

【答案】##-1.5

【解析】

【分析】根据对数的运算法则以及指数的运算，即可得答案.

【详解】,

故答案为： .

14. 已知，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据同角三角函数的基本关系：，解方程即可求解.

【详解】由，，所以，

又，解得，所以.

故答案为：

15. 某地现有耕地10000公顷．规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在至少提高．如果人口年增长率为（即千分之三），那么耕地平均每年至多只能减少______公顷（精确到小数点后一位，）．

（备注：粮食单产，人均粮食占有量）

【答案】3.9

【解析】

【分析】设耕地平均每年至多只能减少公顷，该地区现有人口为人，粮食单产为吨/公顷，依题意得不等式，解不等式得解.

【详解】设耕地平均每年至多只能减少公顷，该地区现有人口为人，粮食单产为吨/公顷，

依题意得不等式

化简得

故答案为：3.9

16. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则的最大值是______；若为正三角形，则其边长为______．

【答案】    ①. 90°    ②. 6p

【解析】

【分析】根据给定条件判断直线与以AB为直径的圆的位置关系即可；设出直线AB方程，与抛物线方程联立推理计算作答.

【详解】抛物线的准线为：，

令点A，B到直线的距离分别为，，弦中点到直线的距离为，

由抛物线定义知，，因此，以AB为直径的圆与准线相切于点N，

即直线上除点N外，其余各点都在以AB为直径的圆外，由圆的性质知，当点C与点N重合时，是直角，

当点C与点N不重合时，是锐角，

所以的最大值是；

若为正三角形，，设直线AB：，点，，弦AB中点，

由消去x并整理得：，则，，

，，，

，显然，，直线CM：，点，

由，得，解得，则，

所以正三角形边长为6p.

故答案为：；6p

【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，

可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．

四、解答题：本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）：

（1）求角A；

（2）若，，求BC边上的中线长．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)选①，利用正弦定理边化角计算作答；选②，利用正弦定理边化角并逆用和角的正弦计

算作答；选③，利用正弦定理角化边并利用余弦定理计算作答.

(2)在中，用余弦定理求出边a及角B，在中，用余弦定理计算作答.

【小问1详解】

选①，在中，由正弦定理及得：，

而，即，于是得，又，

所以.

选②，在中，由正弦定理及得：

，而，，则，

所以.

选③，在中，由正弦定理及得：，

即，由余弦定理得，而，

所以.

【小问2详解】

由(1)知，，在中，由余弦定理得：

，即，

，设BC的中点为D，则，

在中，由余弦定理得：，

解得，

所以BC边上的中线长.

18. 某城市为节能减排，提出了在保障生活必需的基础上，“低碳生活，节约用电”的倡议．以下是某社区随机提取的100户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以[160，180），[180，200），[200，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．

（1）求月平均用电量的25%分位数（精确到小数点后1位）；

（2）在月平均用电量最小组[160，180）和最大组[280，300]用户中，各随机抽取1户到社区做用电情况交流，其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率．

【答案】（1）201.8   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据百分位数的定义求解即可；

（2）先求出最小组中有4户，最大组有5户，再利用古典概型求概率即可.

【小问1详解】

由图可得月平均用电量在[160，180）的频率为0.002×20=0.04，[180，200）的频率为0.0095×20=0.19，[200，220）的频率为0.011×20=0.22，0.04+0.19=0.23<0.25，0.04+0.19+0.22>0.25，

所以25%分位数一定位于[200，220）内，

由，所以，月平均用电量的25%分位数约为201.8．

【小问2详解】

最小组中有4户，设为甲，

最大组有5户，设乙，，

各随机抽取1户，有（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），（甲，乙），

(,乙)，（），（），（），（），

（，乙），（），（），（），（），

（，乙），（），（），（），（），

共20种可能，

其中最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到有：（甲，），（甲，），（甲，），（甲，），(,乙)，（，乙），（，乙），共7种

甲、乙被选到的事件分别记为A、B，

所以最小组的甲与最大组的乙恰有一人被选到的概率为：．

19. 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，瑞士数学家），1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高线的交点）和外心（三条中垂线的交点）共线．这条线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，．

（1）求的欧拉线方程；

（2）记的外接圆的圆心为C，直线l：与圆C交于A，B两点，且，求的面积最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）判断为等腰直角三角形，三线合一，即可求解；

（2）结合（1）知外心是，利用圆的弦长公式求得，再利用面积公式结合二次函数的性质求最值.

【小问1详解】

的顶点，，

利用两点之间距离公式知，

又，所以为等腰直角三角形，

的中垂线方程是，也是的平分线，三线合一，

∴欧拉线方程是．

【小问2详解】

由（1）知为等腰直角三角形，故外心为斜边中点，

即外心是，

圆心C到直线l的距离，，

所以

利用二次函数性质知，当时，即时，

20. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，二面角P—BC—A的大小是45°，E、G分别是PC、PA的中点，交PB于点F．

（1）求证：D、E、F、G四点共面；

（2）设Q是直线AD的中点，求直线FQ与平面DFG所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）证明平面DEF，平面DFG，据此可知平面DFG与平面DEF是同一平面得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角公式计算即可.

【小问1详解】

（1）依题意，为二面角P—BC—A的平面角，即，

因E是PC中点，所以，

因平面ABCD，所以，

又且，所以平面PCD，

因平面PCD，所以，

又因，且，所以平面PBC，所以，同理，又，，∴平面DEF

所以且，，∴平面DFG，

∴平面DFG与平面DEF是同一平面，即D、E、F、G四点共面．

【小问2详解】

以DA、DC、DP为轴建立坐标系如图，

设，

则Q（1，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），G（1，0，1），

设，

则

由，得，所以，

，

由（1）知，是平面DFG的法向量，

设直线FQ与平面DFG所成角为θ，则，

所以直线FQ与平面DFG所成角的正弦值是．

21. 已知双曲线C的离心率，左焦点到其渐近线的距离为．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设T是y轴上的点，过T作两直线分别交双曲线C的左支于P、Q两点和A、B两点，若，P、Q两点的中点为M，A、B两点的中点为N，O为坐标原点，求两直线OM和ON的斜率之和．

【答案】（1）   

（2）0

【解析】

【分析】（1）由点到线的距离公式及离心率，结合即可求解；

（2）直线AB：，，，，，

联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得，

同理可得，由已知得，化简得，进而得解.

【小问1详解】

依题意，焦点在x轴上，设实半轴、虚半轴长分别为a，b，则渐近线为，

左焦点到其渐近线的距离，

∵，∴，解得，

所以双曲线方程是．

【小问2详解】

设，直线AB：，，，

直线PQ：，，，

联立，

依题意，

同理可得，，

∵，∴，

∴，化简得，

∵，∴．

∵，，

∴．

【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

22. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现了更一般结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，试根据此结论解答下列问题：

（1）若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数图象是否中心对称图形？若是，请求出对称中心坐标；

（2）若（1）中的函数还满足时，，求不等式的解集；

（3）若函数．若与的图象有3个不同的交点，，其中，且，求值．

【答案】（1），中心对称图形，其对称中心为   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）取，代入求得，取，，代入求得是奇函数，可判断是中心对称图形，进而求得对称中心为；

（2）证明是R上单调递增函数，利用单调性解不等式即可；

（3）证得，的图象都是以为中心的对称图形，可知，再结合，求得，进而得解.

【小问1详解】

取，得，所以，

取，，得，于是，

即是奇函数，所以是中心对称图形，其对称中心为．

【小问2详解】

若时，，则，

所以是R上单调递增函数，

由得，，解得或

所以不等式的解集为．

【小问3详解】

因为，于是．

所以的图象也是以为中心的对称图形，

又的图象也是以为中心的对称图形，

因此，，．

，

解得，∴，即

又，∴．

【点睛】方法点睛：本题考查了解抽象不等式，要设法把隐性划归为显性的不等式求解，方法是：

（1）把不等式转化为的模型；

（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性将不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组）来求解，但要注意奇偶函数的区别.