浙江省湖州市2021-2022学年高二数学上学期期末调研测试试题（Word版附解析）

2021学年第一学期期末调研测试卷

高二数学

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据空间里面点关于面对称的性质即可求解.

【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是.

故选：C.

2. 已知等比数列的公比为正数，且，，则（    ）

A. 4 B. 2 C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列的公比为（），则由已知条件列方程组可求出

【详解】设等比数列的公比为（），

由题意得，且，即，

，

因为，所以，，

故选：D

3. 已知椭圆的右焦点为，则正数的值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 9 D. 21

【答案】A

【解析】

分析】由直接可得.

【详解】由题知，

所以，因为，所以.

故选：A

4. 已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（    ）.

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】向量的垂直用坐标表示为，代入即可求出答案.

【详解】，，

因为与互相垂直，

所以，

所以，

所以.

故选：D.

5. 设是数列的前项和，已知，则数列（    ）

A. 是等比数列，但不是等差数列 B. 是等差数列，但不是等比数列

C. 是等比数列，也是等差数列 D. 既不是等差数列，也不是等比数列

【答案】B

【解析】

【分析】根据与的关系求出通项，然后可知答案.

【详解】当时，，当时，，

综上，的通项公式为，

数列等差数列

同理，由等比数列定义可判断数列不是等比数列.

故选：B

6. 已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆心到直线的距离即可判断.

【详解】由得，

则圆的圆心为，半径，

由，

则圆心到直线的距离，

∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.

故选：B.

7. 在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当和的长度都为最短时，的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件确定点M，N的位置，再借助空间向量数量积计算作答.

【详解】因，则，即，

而，则共面，点M在平面内，

又，即，于得点N在直线上，

棱长为1的正四面体中，当长最短时，点M是点A在平面上的射影，即正的中心，

因此，，当长最短时，点N是点D在直线AC上的射影，即正边AC的中点，

，而，，

所以.

故选：A

8. 已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点A.已知为原点，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】画出图象，结合渐近线方程得到，，进而得到，结合渐近线的斜率及角度关系，列出方程，求出，从而求出.

【详解】渐近线为，如图，过点F作FB垂直于点B，交于点A，则到渐近线距离为，则，又，由勾股定理得：，则，又，，所以，解得：，所以.

故选：C

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知直线，其中，下列说法正确的是（    ）

A. 若直线与直线平行，则

B. 当时，直线与直线垂直

C. 直线过定点

D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等

【答案】BC

【解析】

【分析】根据直线方程的相关性质即可逐项求解.

【详解】对于A项，若直线与直线平行，则或1，故A错误；

对于B项，当时，直线为，斜率为1，而直线斜率为－1，∴两条直线垂直，故B正确；

对于C项，恒成立时，令y＝0，得x＝1，即直线过定点(1，0)，故C正确；

对于D项，当时，直线为，令，令，所以横截距和纵截距互为相反数，故D错误.

故选：BC.

10. 已知圆的半径为定长，A是圆所在平面内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.当点在圆上运动时，下列判断正确的是（    ）

A. 点的轨迹可能是椭圆 B. 点的轨迹可能是双曲线的一支

C. 点的轨迹可能是抛物线 D. 点的轨迹可能是一个定点

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据点A的位置分类讨论其轨迹.

【详解】①当点A在圆内时，且不为圆心

连接，由已知得.∴.又∵点在圆内，∴，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆，故A正确；

②当点A在圆上时，

点与圆心重合，轨迹为定点，故D正确；

③点在圆外时，

连接QA，由已知得.∴|，又∵A在圆外，∴|，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，为实轴长的双曲线的一支(靠近O)，故B正确；

④当点与圆心重合时，点的轨迹为圆；

故选：ABD.

11. 如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱彼此的夹角都是60°，且棱长均为1，则下列选项中正确的是（    ）

A.

B.

C. 直线与直线所成角的正该值是

D. 直线与平面所成角的正弦值是

【答案】AB

【解析】

【分析】根据空间向量基本定理，将所求转化为基底进行运算即可.

【详解】记，则

因为，所以，故A正确；

因为，故B正确；

因为，，，

所以，所以，故C不正确；

易知，又，所以为平面的法向量，记直线与平面所成角为，则，故D不正确.

故选：AB

12. 设是等差数列的前项和，若，且，则下列选项中正确的是（    ）

A.  B. 和均为的最大值

C. 存在正整数，使得 D. 存在正整数，使得

【答案】ACD

【解析】

【分析】设数列公差为d，根据已知条件和判断公差正负，求出和d关系，逐项验证即可.

【详解】设等差数列公差为d，由得，化简得；

∵，

∴，即，∴，

∴，，∴d＜0，故数列为减数列，故A正确；

，，，故为的最大值，故B错误；

，故，故C正确；

时，，即，

又由得，

∴，解得，故D正确.

故选：ACD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则___________.

【答案】或##或

【解析】

【分析】根据向量平行时坐标的关系和向量的模公式即可求解.

【详解】，且，

设，

，解得，

或.

故答案为：或.

14. 若抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是___________.

【答案】5

【解析】

【分析】根据抛物线的定义知点P到焦点距离等于到准线的距离即可求解.

【详解】因为抛物线方程为，

所以准线方程为，

所以点到准线的距离为，

故点到该抛物线焦点的距离.

故答案为：

15. 已知数列中，，且数列为等差数列，则_____________.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：由题意得:

考点：等差数列通项

16. 已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由二次函数求最值即可求得最小值.

【详解】以，方向为轴，垂直于，方向为轴建立空间直角坐标系，则 ，由可设，由是单位空间向量可得，由可设，

，当，的最小值是2，所以 ，取，

，

，

当时，最小值为.

故答案为：.

四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数等比数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2），.

【解析】

【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；

（2）利用分组求和的方法结合等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出.

【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，

依题意有，

由，又，

解得，

∴，

即，

 ；

（2）∵，

∴前项和

.

∴前项和，.

18. 如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路，湖上有桥（是圆的直径）.规划在公路上选两个点､，并修建两段直线型道路､.规划要求，线段､上的所有点到点的距离均不小于圆的半径.已知点到直线的距离分别为和（为垂足），测得，，（单位：百米）.

（1）若道路与桥垂直，求道路的长；

（2）在规划要求下，点能否选在处？并说明理由.

【答案】（1）15（百米）   

（2）点选在处不满足规划要求，理由见解析

【解析】

【分析】（1）建立适当的坐标系，得圆及直线的方程，进而得解.

（2）不妨点选在处，求方程并求其与圆的交点，在线段上取点不符合条件，得结论.

【小问1详解】

如图，过作，垂足为.

以为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系.

因为为圆的直径，，所以圆的方程为.

因为，，所以，故直线的方程为，

则点，的纵坐标分别为3，

从而，，

直线的斜率为.

因为，所以直线的斜率为，

直线的方程为.令，得，，

所以.

因此道路的长为15（百米）.

【小问2详解】

若点选在处，连结，可求出点，又，

所以线段.

由解得或，

故不妨取，得到在线段上的点，

因为，

所以线段上存在点到点的距离小于圆的半径5.

因此点选在处不满足规划要求.

19. 已知抛物线的准线与轴的交点为.

（1）求的方程；

（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.请判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）是定值，定值为

【解析】

【分析】(1)由抛物线的准线求标准方程；

(2)直线与抛物线相交求定值，解联立方程消未知数，利用韦达定理，求线段长，再求它们的倒数的平方和.

【小问1详解】

由题意，可得，即，

故抛物线的方程为.

【小问2详解】

为定值，且定值是.下面给出证明.

证明：设直线的方程为，，，

联立抛物线有，消去得，

则，

又，.

得

因此为定值，且定值是.

20. 如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，是的中点，且满足．

（1）求证：平面；

（2）已知，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）分别证明出和，利用线面垂直的判定定理即可证明；

（2）以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求二面角的平面角.

【小问1详解】

因为点在底面内的射影恰好是点，

所以面.

因为面,所以.

因为是的中点，且满足．所以，所以.

因为，

所以，即,所以.

因为,面,面,

所以平面.

【小问2详解】

∵面，∴直线与底面所成角为，即.

因为，所以

由（1）知，，因为，所以，.

如图示，以C为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

则,,,,所以，

设，由得，，即.

则.

设平面BDC1的一个法向量为，则

，不妨令，则.

因为面，所以面的一个法向量为

记二面角的平面角为，由图知，为锐角.

所以,即.

所以二面角的大小为.

21. 某企业为响应“安全生产”号召，将全部生产设备按设备安全系数分为A，两个等级，其中等设备安全系数低于A等设备.企业定时对生产设备进行检修，并将部分等设备更新成A等设备.据统计，2020年底该企业A等设备量已占全体设备总量的30%.从2021年开始，企业决定加大更新力度，预计今后每年将16%的等设备更新成A等设备，与此同时，4%的A等设备由于设备老化将降级成等设备.

（1）在这种更新制度下，在将来的某一年该企业的A等设备占全体设备的比例能否超过80%？请说明理由；

（2）至少在哪一年底，该企业的A等设备占全体设备的比例超过60%.（参考数据：，，）

【答案】（1）A等设备量不可能超过生产设备总量的80%，理由见解析；   

（2）在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.

【解析】

【分析】(1)根据题意表示出2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，求出，根据的范围进行判断；

(2)令＞即可求解.

【小问1详解】

记该企业全部生产设备总量为“1”，

2020年开始，经过年后A等设备量占总设备量的百分比为，

则经过1年即2021年底该企业A等设备量，

，

可得，又

所以数列是以为首项，公比为的等比数列，

可得，所以，

显然有，所以A等设备量不可能超过生产设备总量的80%.

【小问2详解】

由，得.

因单调递减，又，，

所以在2025年底实现A等设备量超过生产设备总量的60%.

22. 已知椭圆的离心率是，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于A、B两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.

【答案】（1）；   

（2）2.

【解析】

【分析】(1)根据已知条件列出关于a、b、c的方程组即可求得椭圆标准方程；

(2)直线l和x轴垂直时，根据已知条件求出此时△AOB面积；直线l和x轴不垂直时，设直线方程为点斜式y＝kx＋t，代入椭圆方程得二次方程，结合韦达定理和弦长得k和t的关系，表示出△AOB的面积，结合基本不等式即可求解三角形面积最值.

【小问1详解】

由题知，解得，

∴椭圆的标准方程为.

【小问2详解】

当轴时，位于轴上，且，

由可得，此时；

当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，，

由，得.

得，，

从而

已知，可得.

∵

.

设到直线的距离为，则，

结合化简得

此时的面积最大，最大值为2.

当且仅当即时取等号，

综上，的面积的最大值为2.