湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高二数学上学期期末调研试题（Word版附解析）

2021年下学期期末调研考试试卷

高二数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若两直线与平行，则的值为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】根据两直线平行的充要条件可得，即可求的值.

【详解】由题意知：，整理得，

∴，

故选：A

2. 若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】把点代入抛物线方程可得，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标．

【详解】抛物线经过点，

，

抛物线标准方程为，

抛物线焦点坐标为．

故选：．

3. 若曲线在处的切线，也是的切线，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数求得曲线在处的切线方程，并设该切线与曲线切于点，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数的值.

【详解】对于函数，，则，又，

所以，曲线在处的切线方程为，即，

设直线与曲线相切于点，

对于函数，其导数为，由导数的几何意义可得，得，

所以，切点坐标为，代入切线方程得.

故选：C.

【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.

4. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为 ，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

结合椭圆定义可知的周长为，由此求得；利用离心率可求得；根据椭圆可求得，进而得到椭圆方程.

【详解】设椭圆方程为

由椭圆定义知：    的周长为

即，解得：

椭圆的方程为

故选：

【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.

5. 在等比数列中，是函数的极值点，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】∵，

∴由可知，

∵ 等比数列中且

∴，故选B.

6. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.

【详解】由题知，圆的圆心，半径.

因为，所以点在圆上，

所以过点的圆的切线与直线垂直，

设切线的斜率，则有，

即，解得.

因为直线与切线垂直，

所以，解得.

故选：B.

7. 已知矩形，为平面外一点，且平面，，分别为，上的点，且，，，则（    ）

A.  B.

C. 1 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由，，得，然后利用向量的加减法法则把向量用向量表示出来，可求出的值，从而可得答案

【详解】解：因为，，

所以

所以

,

因为，所以，

所以，

故选：B

8. 已知函数是定义在上的奇函数，是的导函数，且，当时，则使得成立的的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】构造函数，根据题意可得的奇偶性与单调性，结合的图象即可求解．

【详解】解：由题意可知，函数是奇函数，

令函数，则函数为偶函数，

又当时，，

所以函数在上单调递减，

根据对称性可知，函数在上单调递增，

又，所以，所以，

函数的大致图象如图所示：

数形结合可知，使得成立的的取值范围是，，．

故选：B．

【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于中档题．

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（    ）

A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的方程是

C. 的最小值为2 D. 直线与有两个公共点

【答案】AB

【解析】

【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.

【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，即双曲线的方程是，故B正确；

可化为，则，，故A正确；

由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值，故C错误；

由，解得，即直线与只有一个交点，故D错误；

故选：AB

10. 已知递减的等差数列的前项和为，，则（    ）

A.  B. 最大 C.  D.

【答案】ABD

【解析】

分析】

根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD.

【详解】因为，故，所以，

因为等差数列为递减数列，故公差，

所以，故AB正确.

又，，故C错误，D正确.

故选：ABD.

11. 下列说法错误的是（    ）

A. 若直线与直线互相垂直，则

B. 直线的倾斜角的取值范围是

C. 过，两点的所有直线的方程为

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

【答案】ACD

【解析】

【分析】

．根据直线垂直的等价条件进行判断，

．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，

．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．

．过原点的直线也满足条件．

【详解】解：．当，两直线方程分别为和，此时也满足直线垂直，故错误，

．直线斜率，则，即，则，故正确，

．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，

．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，

故选：．

12. 已知函数，若区间的最小值为且最大值为1，则的值可以是（    ）

A. 0 B. 4 C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解

【详解】，

令，解得或.

①当时，可知在上单调递增，

所以在区间的最小值为，最大值为.

此时，满足题设条件当且仅当，，

即，.故A正确.

②当时，可知在上单调递减，

所以在区间的最大值为，最小值为.

此时，满足题设条件当且仅当，，

即，.故B正确.

③当时，可知在的最小值为，

最大值为b或或，，

则，与矛盾.

若，，

则或或，与矛盾.故C､D错误.

故选：AB

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”，在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下5个环所需的最少移动次数为______.

【答案】16

【解析】

【分析】根据递推关系可以得到奇数项的递推关系式，判断奇数项为等比数列，写出奇数项构成的数列的通项公式，由此可得的值，即为所求.

【详解】由已知可得，当时，,

所以是以为首项，以为公比的等比数列，

∴,

∴,

故答案为：16

14. 已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】求出函数的导数，问题转化为，结合二次函数的性质求出的取值范围即可．

【详解】解：若在上是单调递增函数，

则在上恒成立，

即，，

故，

故答案为：

15. 如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为，，，则______.

【答案】1.

【解析】

【分析】根据，利用等体积法即可求得答案.

【详解】如图，设点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的投影点分别为，连接,则.

而，，所以.

故答案为：1.

16. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，A1，A2分别为左､右顶点，B1，B2分别为上､下顶点，F1，F2分别为左､右焦点，P为椭圆上一点，现给出以下四个条件：①；②；③轴，且；④四边形的的内切圆过焦点，.其中能使椭圆C为“黄金椭圆”的条件是______和______.

【答案】    ①. ②##④    ②. ④##②

【解析】

【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断①；根据勾股定理以及离心率公式判断②；根据结合斜率公式以及离心率公式判断③；由四边形的一个内角即三角形是等边三角形，得到，结合离心率公式判断④.

【详解】由条件得到，即或（舍，

解得：，所以①不正确；

若，则由射影定理可得：，

即，所以，即，，

解得；所以②正确；

若轴，如图可得，又，

则斜率相等，所以，即，或，显然不符合，

所以，所以③不正确；

因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，

圆心到直线的距离等于，

因为直线的方程为：，即，所以原点到直线的距离，

由题意知：，又，

整理得：，，，

解得，

所以，所以④正确，

故答案为：②，④．

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 解答下列各题：

（1）求两条平行直线与间的距离.

（2）求曲线在点处的切线方程.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由两条平行直线之间的距离公式可到的答案；

（2）求出曲线在点处的切线的斜率，再由直线点斜式方程可得答案..

【小问1详解】

可化为，

所以两条平行线间的距离.

【小问2详解】

因为，所以在曲线上，

因为，所以，

所以切线的斜率为，

所以切线方程为，

即.

18. 已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

【分析】（1）先得到数列是以2为公差的等差数列，由求出首项，可得的通项公式，由求出等比数列的首项与公比，从而可得的通项公式；（2）利用（1）得，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.

【详解】（1）由已知得：，

数列是以2为公差的等差数列. 

，，， 

.

设等比数列的公比为，

，，，

. 

（2）由题意，得，

，

. 

上述两式相减，得

  ,

  .

【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.

19. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（结果保留两位小数）

【答案】支柱A2P2的高度约为3.86 m

【解析】

【分析】以O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52,将x=–2代入圆方程,可得到A2P2的高度.

【详解】以O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，如图，

则圆心在y轴，设圆心坐标（0，a）．

由题意，P（0，4），A（–10，0），

所以有（a–4）2=a2+100，解得a=–10.5，

所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52，

将x=–2代入圆方程，得4+（y+10.5）2=14.52，

整理，得，

解得y=或y=（舍去）．

所以A2P2=≈3.86（m），

即支柱A2P2的高度约为3.86 m．

【点睛】直线与圆方程的实际应用．解决直线与圆的实际应用题的步骤：（1）审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；（2）建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；（3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去．

20. 在如图所示的多面体中，且.，且，且，平面ABCD，.

（1）求点F到直线EC的距离；

（2）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质可得，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，代入即可；

（2）求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解.

【小问1详解】

因为平面，

平面，平面，

所以，且，

因为，

如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

所以，，

所以求点F到直线EC的距离为

.

【小问2详解】

，

设平面的法向量为，

则，即，

令，有，

设平面的法向量为，

则，即，

令，有，

设平面和平面的夹角为，

，

所以平面和平面的夹角的余弦值为．

21. 已知椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点P作倾斜角分别为的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）直线AB的斜率是定值，为

【解析】

【分析】（1）由题意得，再结合可求出，从而可求出椭圆C的方程；

（2）由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，设直线为，则直线为，设，然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出，再求直线AB的斜率化简可得结果

【小问1详解】

因为椭圆（）离心率等于，且椭圆C经过点，

所以且，

解得，

所以椭圆C的方程为

小问2详解】

由题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，

设直线为，则直线为，

设，

将代入，

得，

所以，所以，

同理可得，

所以

所以直线AB的斜率是定值，等于

22. 已知函数，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2） ．

【解析】

【分析】(1)由给定成立的不等式分离参数，再构造新函数并探讨其最大值即可得解；

(2)构造函数，探求其单调性并确定函数值的取值情况即可作答.

【详解】（1）函数的定义域为，，

设函数，则，

由得，由得，即函数在递增，在递减，

从而得时，函数取最大值，

所以实数的取值范围是；

（2）由题意：在上恰有2个不相等的实数根，

设函数，则，

由得， 由得，则在上递减，在上递增，

，，，

而()在上恰有2个不相等的实数根，

则有，解得，

所以实数的取值范围.