浙江省绍兴市诸暨市2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

诸暨市2021-2022学年第一学期期末考试试题高二数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知等比数列的前项和为，首项为，公比为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据求解即可.

【详解】因为等比数列，，

所以.

故选：D

2. 下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ）

A. 开口向上，焦点为 B. 开口向右，焦点为

C. 开口向上，焦点为 D. 开口向右，焦点为

【答案】A

【解析】

【分析】把化成抛物线标准方程，依据抛物线几何性质看开口方向，求其焦点坐标即可解决.

【详解】，即.则，即

故此抛物线开口向上，焦点为

故选：A

3. 若直线与直线平行，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件列式计算，再进行验证即可作答.

【详解】因直线与直线平行，则，解得，

当时，直线与直线平行，

所以.

故选：A

4. 在空间直角坐标系中，已知点，，则线段的中点坐标与向量的模长分别是（    ）

A. ；5 B. ；

C. ； D. ；

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.

【详解】因点，，所以线段的中点坐标为，

.

故选：B

5. 已知公差为的等差数列满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列前n项和，即可得到答案.

【详解】∵数列是公差为的等差数列，

∴，

∴.

故选：C

6. 惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所完成的，建筑师的设计灵感源于想法：“你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下庇护”.若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据双曲线的渐近线方程得到，从而得到，，，再求离心率即可.

详解】双曲线，，，

因为双曲线的一条渐近线方程为，即，

所以，解得，

所以，，，.

故选：B

7. 已知直线与圆相交于两点，当的面积最大时，的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，即可求出答案.

【详解】圆心到直线的距离，弦长为.

. 

当，即时，取得最大值.

故选：C.

8. 已知数列的前项和为，满足，，，则（    ）

A.  B.

C. ,,成等差数列 D. ,,成等比数列

【答案】C

【解析】

【分析】写出数列前几项，观察规律，找到数列变化的周期，再依次去判断各项的说法即可解决.

【详解】数列中，，，，

则此数列为1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…

即数列的各项是周期为6数值循环重复的一列数，

选项A：，，则.判断错误；

选项B：由，可知当时，.判断错误；

选项C：，

则，即,,成等差数列.判断正确；

选项D：,

,

则，,即,,不能构成等比数列. 判断错误.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列直线方程中斜率的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】把所给直线方程化成斜截式直线方程，直接读取斜率，与1进行比较即可.

【详解】选项A：可化为，斜率，则有.判断正确；

选项B：可化为，斜率.判断错误；

选项C：，斜率，则有.判断正确；

选项D：，斜率，则有.判断正确.

故选：ACD

10. 已知曲线方程为，则（    ）

A. 曲线关于直线对称

B. 曲线围成的图形面积为

C. 若点在曲线上，则

D. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件逐一分析每一个选项，推理、计算判断作答.

【详解】对于A，曲线上任意点有：，该点关于直线的对称点有，

即曲线上任意点关于直线的对称点仍在曲线上，A正确；

对于B，因点在曲线上，点，也都在曲线上，则曲线关于x轴，y轴对称，

当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)，

因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，

所以曲线围成的图形面积是，B正确；

对于C，点在曲线上，则，

则有，即，解得，而，C正确；

对于D，曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，D不正确.

故选：ABC

11. 小冰家向银行贷款万元，贷款时间为年，如果贷款月利率为，那么按照等额本金方式还款，她家从起始月开始，每月应还本金万元，每月支付给银行的利息（单位：万元）依次为 若小冰家完全按照合同还款（银行利率保持不变，也未提前还贷），则小冰家的还款情况下列叙述正确的是（    ）

A. 小冰家每月的还款额是相等的

B. 小冰家总共还款次数是次

C. 小冰家最后一个月应还款是万元

D. 小冰家还完款，付的利息总额是万元

【答案】BCD

【解析】

【分析】小冰家每月还款分二种金额，固定的本金和变动的利息.

【详解】对于A：

由于利息是变动的，所以每月还款额不相等，故A错误；

对于B：

贷款时间为n年，所以还款次数为12n，故B正确；

对于C：

最后一个月，还款额为 ，故C正确；

对于D：

小冰家还完款，付的利息总额为

，故D正确.

故选：BCD

12. 如图所示，已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的面积为，的内切圆的面积为，则（    ）

A. 圆和圆外切 B. 圆心一定不在直线上

C.  D. 的取值范围是

【答案】ABC

【解析】

【分析】由双曲线定义及圆的切线长定理，数形结合可以顺利求得的横坐标，同样由数形结合可得到直线的倾斜角取值范围为，接下来再去求值、证明即可解决.

【详解】双曲线的，渐近线方程为、，

两渐近线倾斜角分别为和，设圆与x轴切点为G

过的直线与双曲线的右支交于两点，可知直线的倾斜角取值范围为

由双曲线定义和圆的切线长定理可知、的横坐标均为，即与x轴垂直.

故圆和圆均与x轴相切于，圆和圆两圆外切.选项A判断正确；

由双曲线定义知，中，，则AO只能是的中线，不能成为

的角平分线，则圆心一定不在直线上. 选项B判断正确；

在中，，，

则由直角三角形的射影定理可知，即

则，故.选项C判断正确；

由直线的倾斜角取值范围为，可知的取值范围为，

则的取值范围为，

故

则

令，则在单调递减，在单调递增.

，，，值域为

故的值域为.选项D判断错误.

故选：ABC

【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：

（1）实数与数轴上的点的对应关系；

（2）函数与图象的对应关系；

（3）曲线与方程的对应关系；

（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如复数、三角函数等；

（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知空间向量，，若，则______.

【答案】2

【解析】

【分析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.

【详解】空间向量，，

由，可知，即，解之得

故答案为：2

14. 已知数列满足，，则 ______.

【答案】1023

【解析】

【分析】由数列递推公式求特定项，依次求下去即可解决.

【详解】数列中，

则，，

，，

，

，

故答案为：1023

15. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为坐标原点，记直线的斜率分别为，则______.

【答案】

【解析】

【分析】过焦点作直线要分为有斜率和斜率不存在两种情况进行分类讨论.

【详解】抛物线的焦点

当过焦点的直线斜率不存在时，直线方程可设为，不妨令

则，故

当过焦点的直线斜率存在时，直线方程可设为，令

由整理得

则，

综上，

故答案为：

16. 参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为，影子椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则这个影子椭圆的离心率______.

【答案】

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率.

【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为

设,

由到直线PR的距离为1，得，解之得或（舍）

则，

又设直线PN的方程为

由到直线PN的距离为1，得，整理得

则，又，故

则直线PN的方程为，

故，

由，解得，故椭圆的离心率

故答案为：

【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知等差数列的前项和为，满足，.

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）求的值.

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)设出等差数列的公差，借助前项和公式列式计算作答.

(2)由(1)的结论借助裂项相消去求解作答.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，因，，则，解得，

于是得，，

所以数列的通项公式为，前项和.

【小问2详解】

由(1)知，，

所以.

18. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，过点 的直线与抛物线只有一个公共点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求直线的方程.

【答案】（1）；   

（2）或或.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件结合p的几何意义，直接求出p写出方程作答.

(2)直线l的斜率存在设出其方程，再与抛物线C的方程联立，再讨论计算，l斜率不存在时验证作答.

【小问1详解】

因抛物线的焦点到准线的距离为，于是得，

所以抛物线方程为.

【小问2详解】

当直线的斜率存在时，设直线为，由消去y并整理得：，

当时，，点是直线与抛物线唯一公共点，因此，，直线方程为，

当时，，此时直线与抛物线相切，直线方程为，

当直线的斜率不存在时，y轴与抛物线有唯一公共点，直线方程为，

所以直线方程为为或或.

19. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内（圆形区域的边界上无暗礁），已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.

（1）若，轮船直线返港，没有触礁危险，求的取值范围?

（2）若轮船直线返港，且必须经过小岛中心东北方向处补水，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）120

【解析】

【分析】（1）建立平面直角坐标系设直线方程，根据点到直线的距离公式可得；

（2）先求补水点的坐标，根据直线过该点，结合所求，根据基本不等式可得.

【小问1详解】

根据题意，以小岛中心为原点，建立平面直角坐标系，

当时，则轮船返港的直线为，

因为没有触礁危险，所以原点到的距离，

解得.

【小问2详解】

根据题意可得，，点C在直线上，故点C，

设轮船返港的直线是，则，

所以. 当且仅当时取到最小值.

20. 如图，在四棱锥中，底面，，是的中点，，.

（1）证明：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）建立空间直角坐标系，分别求出向量和，证明即可；

（2）先求出和平面的法向量，然后利用公式求出，则直线与平面所成角的正弦值即为.

【小问1详解】

证明：∵，，∴△≌△, ∴,

设，

在△中，由余弦定理得，即，

则, 即，，

连接交于点，分别以，为轴、轴，过作轴，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，，的中点，

则，，

∵，∴.

【小问2详解】

由（1）可知，，，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，即，

则，

记直线与平面所成角为，.

21. 已知数列的前项和分别是，满足，，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列对任意都有恒成立，求.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，由等差数列、等比数列的定义即可求解；

（2）根据已知递推关系式再写一式，然后两式相减，求出，最后利用错位相减法即可得答案.

【小问1详解】

解：因为，，所以，

，得，

所以是以2为首项2为公差的等差数列，是以1为首项2为公差的等差数列，

所以，，

所以；

因为，所以，

又由得，

所以是以2为首项2为公比的等比数列，

所以.

【小问2详解】

解：当时，，

当时，，得，即，

记，

则,

,

则.

22. 如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）记,的面积分别为，求的取值范围；

（3）若的重心在圆上，求直线的斜率.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据已知条件得到，，即可得到椭圆的方程.

（2）首先设直线为，与椭圆联立得到，根据得到的范围，从而得到的范围.

（3）设重心，根据重心性质得到，，再代入求解即可.

【小问1详解】

因为左顶点，所以，

根据，可得，解得，所以；

【小问2详解】

设直线，

则，

则，，   

那么，

根据解得，

所以.

【小问3详解】

设重心，则：，

，

所以，

所以，即所求直线斜率为.