湖北省荆州市荆州中学2021-2022学年高二数学上学期期末试题（Word版附解析）

荆州中学2020级高二年级上学期期末考试

数学试题

一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1. 设是等差数列的前项和，已知，，则等于（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：依题意有，解得，所以.

考点：等差数列的基本概念.

【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．

2. 双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ）

A.  B. 2 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据点到直线距离公式进行求解即可.

【详解】由双曲线的标准方程可知：，

该双曲线的焦点坐标为：，

双曲线的渐近线方程为：，

所以焦点到渐近线的距离为：，

故选：A

3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】B

【解析】

【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断即可.

【详解】选项A.  一条直线垂直于一平面内的，两条相交直线，则改直线与平面垂直

则由，不能得出，故选项A不正确.

选项B.   ,则正确，故选项B正确.

选项C  若，则与可能相交，可能异面，也可能平行，故选项C不正确.

选项D.  若，则与可能相交，可能平行，故选项D不正确.

故选：B

4. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线，分别交双曲线的左，右支于另一点，，若，且，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B. 3 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值．

【详解】由双曲线的定义可得，

由，可得，，

结合双曲线性质可以得到，

而，

结合四边形对角线平分，

可得四边形为平行四边形，

结合，故，

对三角形，用余弦定理，得到，

结合，可得，

，，代入上式子中，

得到，即，

结合离心率满足，即可得出，

故选：D．

【点睛】本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

5. 已知是等差数列的前项和，，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，可得，再根据，得，从而可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

又，所以，

所以的最小值为.

故选：C.

6. 抛物线的焦点为，准线为，焦点在准线上的射影为点，过任作一条直线交抛物线于两点，则为（    ）

A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 锐角或直角

【答案】D

【解析】

【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，求得，根据其结果即可判断和选择.

【详解】为说明问题，不妨设抛物线方程，则，

直线斜率显然不为零，故可设直线方程为，联立，

可得，设坐标为，则，

故

，

当时，，；当时，，；

故为锐角或直角.

故选：D.

7. 设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】由题，为可导函数，

，即曲线在点处的切线的斜率是 ，选D

【点睛】本题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，本题解题的关键是对所给的极限式进行整理，得到符合导数定义的形式．

8. 已知是等比数列，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由，，可求出公比，从而可求出等比数的通项公式，则可求出，得数列是一个等比数列，然后利用等比数的求和公式可求得答案

【详解】由题得.

所以，

所以.

所以，所以数列是一个等比数列.

所以=.

故选：D

二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）

9. 直线和圆的位置关系是（    ）

A. 相离​ B. 相切或相离 C. 相交​ D. 相切

【答案】CD

【解析】

【分析】直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上，直线的斜率不存在或存在且不为0，结合图形判断直线和圆的关系．

【详解】∵  圆可化为

∴  圆心为（0，1），半径为1，

∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上

当时，直线与圆相切，

当时，直线与圆相交，

∴直线和圆的关系是相交或相切，

故选：CD．

10. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则下列说法正确的是（    ）

A. 此数列的第20项是200 B. 此数列的第19项是180

C. 此数列偶数项的通项公式为 D. 此数列的前项和为

【答案】ABC

【解析】

【分析】首先寻找出数列的规律，归纳出通项公式，然后判断各选项即可．

【详解】观察此数列，偶数项通项公式为，

奇数项是后一项减去后一项的项数，，故C正确；

由此可得，故A正确；

，故B正确；

是一个等差数列的前项，而题中数列不是等差数列，

不可能有，故D错误．

故选：ABC．

11. 如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面所成的角为的平面所截，截面是一个椭圆，则（    ）

A. 椭圆长轴长为4

B. 椭圆的离心率为

C. 椭圆的方程可以为

D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的，由此判断各选项.

【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由图象可得， ∴ ，

又，，

∴  ，

∴ 椭圆的长轴长为4，A对，

椭圆的离心率为，B错，

圆的方程可以为，C对，

椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，D对，

故选：ABD.

12. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第次得到数列1，，2；…记，数列的前项为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.

【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时

第2次得到数列1,4,3,5,2，此时

第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时

第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时

第次得到数列1，，2 此时

所以，故A项正确；

结合A项中列出的数列可得：

用等比数列求和可得

则

又

所以 ，故B项正确；

由B项分析可知

即，故C项错误.

，故D项正确.

故选：ABD.

【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知函数，若，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

求出导函数，确定导函数奇函数，然后可求值．

【详解】由已知，它是奇函数，∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查导数的运算，考查函数的奇偶性，确定函数的奇偶性是解题关键．

14. 已知数列满足，且．则数列的通项公式为_______．

【答案】

【解析】

分析】倒数型求数列通项公式，第一步求倒数，第二步构造数列，求通项.

【详解】因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1 的等差数列，所以

故答案为：.

15. 平行六面体中，底面是边长为1的正方形， ，则对角线的长度为___.

【答案】2

【解析】

【分析】利用，两边平方后，利用向量数量积计算公式，计算得.

【详解】对两边平方并化简得,故.

【点睛】本小题主要考查空间向量的加法和减法运算，考查空间向量数量积的表示，属于中档题.

16. 若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.

【答案】

【解析】

【分析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.

【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.

【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.

四、解答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．

（1）求圆A的方程．

（2）当时，求直线l方程．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】

（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；

（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．

【详解】（1）由题意知到直线的距离为圆A半径r，

所以，

所以圆A的方程为．    

（2）设的中点为Q，则由垂径定理可知，且，

在中由勾股定理易知，      

设动直线l方程为：或，显然符合题意．  

由到直线l距离为1知得．    

所以或为所求直线方程．

【点睛】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

18. 在公差为的等差数列中,已知，且成等比数列.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若,求.

【答案】(Ⅰ)或 (Ⅱ)

【解析】

【详解】试题分析：

(Ⅰ)由题意求得数列的公差后可得通项公式．(Ⅱ)结合条件可得，分和两种情况去掉中的绝对值后，利用数列的前n项和公式求解．

试题解析：

（Ⅰ）∵成等比数列，

∴，

整理得，

解得或，

当时，;

当时，．

所以或 ．

（Ⅱ）设数列 前项和为 ，

∵ ，

∴ ，

当 时，，

∴；

当时，

．

综上

19. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，点M在线段PD上，且DM＝2MP，平面．

（1）求证：平面MAC平面PAD；

（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成锐二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】(1)连接BD交AC于点E，连接ME，由所给条件推理出CA⊥AD，进而得CA⊥平面PAD，证得结论．

(2)首先以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，再利用向量法求解二面角即可．

【小问1详解】

(1) 连接BD交AC于点E，连接ME，如图所示：

∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，

∴，，则BC=1，而AB=2，，

，

∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90º，∠CAD=90º，即CA⊥AD，

又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD．

【小问2详解】

（2）如图所示：以A为原点，射线AC，AD，AP分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面PAB和平面MAC的一个法向量分别为，

平面PAB和平面MAC所成锐二面角为，

∴，

 ，

 ∴.

20. 已知数列的前项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用与的关系求数列的通项公式；

（2）利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

因为，故当时，，

两式相减得，

又由题设可得，

从而的通项公式为：；

【小问2详解】

因为，

，

两式相减得：

所以.

21. 已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于两点．

（1）求△OAB面积的最小值（为坐标原点）；

（2）是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

【答案】（1）；   

（2）是，该定值.

【解析】

【分析】（1）根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可；

（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.

【小问1详解】

显然直线存在斜率，设直线的方程为：，

所以有，设，

则有，

，

原点到直线的距离为：，

△OAB的面积为：，

当时，有最小值，最小值为；

【小问2详解】

是定值，理由如下：

由（1）可知：，，

【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系是解题的关键.

22. 已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左，右焦点，为椭圆上一点，的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为圆上任意一点，过作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，判断是否为定值?若是，求出定值：若不是，说明理由，

【答案】（1）   

（2）是；

【解析】

【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出，结合关系式得出，即可得出椭圆的方程；

（2）由平行于轴特殊情况求出，即；当平行于轴时，设过的直线为，联立椭圆方程，令化简得关于的二次方程，由韦达定理即可求解.

【小问1详解】

由题可知，，解得，又，解得，故椭圆的标准方程为：；

【小问2详解】

如图所示，当平行于轴时，恰好平行于轴，，，；

当不平行于轴时，设，设过点的直线为，

联立得，

令得，化简得

，设，则，又，

故，即.

综上所述，.