2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破01 求解平面的法向量

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常考题型01 求解平面的法向量

1.所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量.
2.在空间中，给定一个点A和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A的平面是唯一的
1.所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量.
2.在空间中，给定一个点A和一个向量，那么以向量为法向量且经过点A的平面是唯一的.
3.求平面法向量的一般步骤
(1)选向量：求平面的法向量时，要选取平面上两个相交向量，；
(2)设坐标：设平面的法向量为=(x，y，z).
(3)列方程组
(4)将方程组中的向量用坐标表示，令x(或y或z)取一个固定值，即得到平面的一个法向量.
4.由于列出的三元方程组中只有两个方程，因而有无数多组解，求法向量时，只需给x，y，z中的某个未知数先赋值(如z=1)，求出一个法向量即可。

探究一：平面法向量的概念
已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（    ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．①②

思路分析：
求出判断①不正确；根据 判断②正确；由，判断③正确；假设存在使得，由无解，判断④不正确


【解析】由，，，，2，，，2，，知：
在①中，，故①不正确；
在②中，，，，故②正确；
在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；
在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；
综上可得：②③正确．
故选：B．
【答案】B
【变式练习】
1．设，是不重合的两个平面，，的法向量分别为，，和是不重合的两条直线，，的方向向量分别为，，那么的一个充分条件是（    ）
A．，，且，
B．，，且
C．，，且
D．，，且
【答案】C
【解析】对于A，，，且，，则与相交或平行，故A错误；
对于B，，，且，则与相交或平行，故B错误；
对于C，，，且，则，故C正确；
对于D，，，且，则与相交或平行，故D错误.
故选：C.
2．下列四个命题中，正确命题的个数是（    ）
①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】①若是空间的一个基底，则对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得，由空间向量基本定理知，正确；
②若两条不同直线l，m的方向向量分别是，，则l∥m，由方向向量的定义知，正确；
③若是空间的一个基底，且，则A，B，C，D四点共面，由空间向量共面定理知，正确；
④若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，，则α∥β．由法向量的定义知，正确.故选：D
探究二：求平面法向量
如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）

A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
思路分析：
以点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可。

【解析】

以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.，.
设平面的一个法向量为，则取，
因为与不平行，所以与平面不垂直，错误；
因为与不平行，所以与平面不垂直，B错误；
因为，且线在面外，所以平面，C正确；
因为，所以与平面不平行，D错误
【答案】C
【变式练习】
1．已知空间中三点，，，则下列说法错误的是（    ）
A．与不是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】C
【解析】对于A，，，由于，
所以与不是共线向量，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，，，
，故C错误；
对于D，，，设平面的法向量，
则，取，得，故D正确，
故选：C.
2．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线，
又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段.
设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，．
易知平面APD的一个法向量为，
设平面PDG的法向量为，
则，即，
令，得，，所以是平面PDG的一个法向量，
则二面角的平面角的余弦值为
，
解得或（舍去），
所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为．
故选：B．

一、单选题
1．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则．
由题可设，则．
设平面AEF的法向量，则，
令，则，
得．
由，得，
则，，
即．
故选：A
2．已知，则平面的一个单位法向量是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，设平面的一个法向量为，
则，令，得，
于是得与同向的单位向量为，
与反向的单位向量为，D满足，
显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.
故选：D
3．有以下命题：
①一个平面的单位法向量是唯一的
②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行
③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交
④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直
其中真命题的个数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】因为一个平面的单位法向量方向不同，所以有2个，故①错误；
当一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行时，则这条直线和这个平面垂直，故② 错误；
因为两个平面的法向量平行时，平面平行，所以法向量不平行，则这两个平面相交，③正确；
若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条相交直线的方向向量，则直线和平面垂直，故④ 错误.
故选：A
4．空间三点，，，则（    ）
A．与是共线向量 B．的单位向量是
C．平面的一个法向量是 D．与夹角的余弦值
【答案】C
【解析】解：空间中三点，，，所以，，，
对于A：，与不是共线向量，故A错误；
对于B，，的单位向量是，故B错误；
对于C，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，故C正确．
对于D，，，
与夹角的余弦值是：，故D错误；
故选：C．
5．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（    ）

A．若，则直线平面
B．若，则直线平面
C．若，则直线平面
D．若，则直线平面
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1，则，,，，，，,则，，，，，,
当时，，
设平面的法向量为，
则取，则，，
则为平面的一个法向量，因为，所以，又因为平面，所以直线平面，故A正确，B不正确．
当时，，
设平面的一个法向量为，
则，取则，，
则为平面的一个法向量，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
当时，，
因为与不共线，所以直线与平面不垂直，故D不正确．
故选：A．
6．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）
A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是
C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】C
【解析】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.
向量方向相同的单位向量是，B选项错误.
，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.
，所以不是平面的法向量，D选项错误.
故选：C
7．给出以下命题，其中正确的是（    ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面､的法向量分别为，，则
D．平面经过三个点，，，向量是平面的法向量，则
【答案】D
【解析】对于A，因为，所以与不垂直，A错误；
对于B，因为，不成立，所以B错误；
对于C，因为与不平行，所以不成立，C错误；
对于D，，，由，，解得，，所以，D正确.
故选：D.
8．在四面体ABCD中，为等边三角形，，二面角的大小为，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系:

因为为等边三角形，不妨设,
由于,所以
因为当时四点共面,不能构成空间四边形,所以
则,,
由空间向量的坐标运算可得
设平面的法向量为
则代入可得
令,则,所以
设平面的法向量为
则,代入可得
令,则,所以
二面角的大小为
则由图可知,二面角为锐二面角
所以

因为
所以
即
所以
故选:C
二、多选题
9．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】设正方体的棱长为2，则易得，
则，
设平面AEF的法向量为，
则有，即，
令得平面AEF的法向量为，
令得平面AEF的法向量为，
令得平面AEF的法向量为.
故选：AB.
10．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（    ）
A．与是共线向量
B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C．与夹角的余弦值是
D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）
【答案】BC
【解析】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；
对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确.
对C，，，C正确；
对D，方向相同的单位向量，即，D错误；
故选：BC
11．给定下列命题，其中正确的命题是（    ）
A．若是平面的法向量，且向量是平面内的直线的方向向量，则
B．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
C．若，分别是不重合的两平面的法向量，则
D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由线面垂直的定义若一条直线和一个平面内所有的直线都垂直，我们称直线和平面垂直，所以，∴，A正确；
对于B选项，两平面平行，则它们的法向量平行，所以B错误；
对于C选项，两平面平行，则它们的法向量平行，∴或∴，C正确；
对于D选项，两平面垂直它们的法向量垂直，所以两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直，D正确.
故选：ACD.
12．如图，正方体的棱长为1，则（    ）

A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为
【答案】ABC
【解析】由题可得，，，，，.因为，，所以A正确；
因为，，所以B正确；
因为平面，且，所以平面的一个法向量为，所以C正确；
因为，，，所以不是平面的法向量，所以D错误.
故选：ABC
三、填空题
13．已知平面，则与平面所成的角为___________.
【答案】
【解析】因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以与平面所成角的正弦值为，
因为线面角的范围是 ，
故与平面所成的角为，
故答案为：
14．如图，在四棱锥中，平面平面，O，M分别为AD，DE的中点，四边形BCDO是边长为1的正方形，，．点N在直线AD上，若平面平面，则线段AN的长为_________．

【答案】
【解析】连接EO，因，则，而平面，且平面平面，
平面平面，于是得平面，又平面，平面，
即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，
以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，

因，，则，
则，
设，，，
设平面BMN的一个法向量，则，令，得，
设平面ABE的一个法向量，则，令，得，
因为平面平面ABE，则有，即，解得，
所以线段AN的长为．
故答案为：
15．如图所示，在三棱柱中，平面ABC，，，E是的中点．则直线AB与平面所成角的正弦值为______．

【答案】
【解析】由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
从而为平面的一个法向量，
不妨设直线AB与平面所成角为，
从而，
故直线AB与平面所成角的正弦值为．
故答案为：.
16．如图，直三棱柱ABC一中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，DF交于点E，要使平面，则线段的长为____.

【答案】
【解析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

由题意，，，，，，设，，
∴，，，
平面，
∴，即，
，解得
线段的长为
故答案为：
四、解答题
17．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．

(1)求证：平面EAC；
(2)求直线DM到平面EAC的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，
由于平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，故E为PB的靠近B的三等分点，

则，，，，，
所以，，，
设平面EAC的法向量为，
则,取，则，，
则为平面EAC的一个法向量，
因为，所以，
又因为平面EAC，所以平面EAC．
（2）由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．
由（1）知，平面EAC的一个法向量为，
所以点D到平面EAC的距离,
故直线DM到平面EAC的距离为．
18．如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC=1，．以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．

(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面与平面夹角θ的余弦值．
【答案】(1)(答案不唯一)；(2)
【分析】（1）∵A（0，0，0），，B（1，0，0），C（0，1，0），
∴，．
设平面的法向量为，
∴，取，则，，
∴，
∴为平面的一个法向量，
（2）由已知可得AC⊥平面，∴平面的一个法向量为．
∵，
又夹角是锐角
∴平面与平面夹角的余弦值为．
19．如图，在直三棱柱中，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）在直三棱柱中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，，，
，，，
则，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，则平面
（2），，
设平面的一个法向量，
则，取，得，
又平面的法向量，则，则
平面平面．
20．如图所示，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，，，，，平面平面BCEF.

(1)求证：平面CDE；
(2)平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，求出平面CDE的一个法向量，计算，即可证明结论；
（2）求得平面ADE的一个法向量，再求得平面BCEF一个法向量，根据向量的夹角公式求得答案.
【解析】(1)证明：
∵四边形BCEF为直角梯形，四边形ABCD为矩形，
∴，，
又∵平面平面BCEF，且平面平面，
∴平面BCEF．
以C为原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系．

根据题意可得以下点的坐标：
，，，，，，
则，．
∵，，，CD、平面CDE，
∴平面CDE，
∴为平面CDE的一个法向量．
又，且平面CDE，
∴平面CDE．
(2)设平面ADE的一个法向量为，
则，，
，
令，可取得，
∵平面BCEF，
∴平面BCEF一个法向量为，
设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为，
则，
因此，平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为．