2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破04 用向量法求空间距离

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常考题型04 用向量法求空间距离

定义：一个点与它在平面内的正射影的距离叫做点到这个平面的距离

考法一：点面距离
如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d=

考法二：线面距离
当直线与平面平行时，才能求线面距离，此时直线上任一点到平面的距离相等，且等于直线到平面的距离，故可转化为求点面距离问题。
考法三：面面距离
当两个平面平行时，两平面的距离可以转化为点面距离求解。

探究一：点面距离
在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G，则点到平面ABD的距离为（    ）
A． B． C． D．
思路分析：
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，求出，利用空间向量的数量积转化求解点到平面的距离。

【解析】解：如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
设，则，0，，，，，，，0，，
可得，，，，
因为点在平面上的射影是的重心，
所以平面，所以，
即，解得，
即，
则点到平面的距离为，是的中点，
所以．
故选：A.

【答案】A

【变式练习】
1．正方体的棱长为，、、分别为、、的中点，则（    ）
A．直线与直线垂直
B．直线与平面相交
C．平面截正方体所得的截面面积为
D．点与点到平面的距离相等
【答案】C
【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系.

对于A选项，、、、，
所以，，，则，故A错；
对于B选项，、、，则，，
设平面的法向量为，由，取，则，
所以，，则，即直线与平面AEF平行，故B错；
对于C选项，，则，故平面，
所以，平面截正方体所得截面为梯形，
所以，，
，，则，
，，所以，，
因此，，C对；
对于D选项，，，
所以，点到平面的距离为，
点到平面的距离为，D错.
故选：C.
2．在平面向量中，我们用表示在方向上的投影，换个角度，向量在直线OB的法向量方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离（如图1），如果利用类比的方法，那么图2中点A到平面BCD的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，，
设为平面BCD的一个法向量，则
，即，令，则，
所以，
因为，所以点A到平面BCD的距离为
.
故选：B.
探究二：异面直线距离的向量求法
如图正四棱柱中，，.动点，分别在线段，上，则线段长度的最小值是（    ）

A． B．
C． D．
思路分析：
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算出异面直线、的公垂线的长度，即为所求。

【解析】由题意可知，线段长度的最小值为异面直线、的公垂线的长度.
如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则点、、、，
所以，，，，
设向量满足，，
由题意可得，解得，取，则，，
可得，
因此，.
故选：.
【答案】B
【变式练习】
1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体中，直线与之间的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

设为直线上任意一点， 过作，垂足为，可知此时到直线距离最短
设，，
则，
，
，，
即，
，即，
，
，
，
当时，取得最小值，
故直线与之间的距离是.
故选：B.
2．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】

如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则

设直线与的公垂线的方向向量为
则
不妨令
又
则异面直线与之间的距离
故选：D
探究三：平行平面距离的向量求法
在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为
A． B．
C． D．

思路分析：
建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，
利用向量的距离公式，即可求解。

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，
即，解得，故，
显然平面平面，
所以平面与平面之间的距离．

【答案】B
【变式练习】
1．两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，，且两平面的一个法向量两平面间的距离，故选B.
2．空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则
，即，取，，
又平面平面，则平面与平面间的距离为，
故选：A.

一、单选题
1．已知，，，则点C到直线的距离为（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，
所以在方向上的投影数量为．
设点C到直线的距离为d，则．
故选：B.
2．已知空间三点，，，则到直线的距离为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】解：因为，，，所以，
，
则，，，
所以，则，
所以到直线的距离为.
故选：B
3．已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（    ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为，点在平面内，点平面外，
所以点到平面的距离，
故选：B
4．已知平面的一个法向量为，点在平面内，若点到平面的距离，则（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意，所以，
即，
解得或．
故选：C
5．给出以下命题，其中正确的是（       ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面､的法向量分别为，，则
D．已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为
【答案】D
【解析】对于A，，
与不平行.
对于B，，
与不平行；
对于C，，
与不垂直；
对于D，直线过点，且方向向量为
直线的标准方程为
过点作与已知直线垂直相交的平面，
且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离；
方向向量为平面的方程为：
即：
设垂足，点在平面上，则
解得：

故选：D.
6．已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法错误的是（     ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
【答案】D
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所，．设，则，．故A到直线BE的距离，故A对；
易知，平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对；
，，．设平面的法向量为，则，所以，令，得，，所以，所以点到平面的距离．因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C对；
因为，所以，，则，所以点P到AB的距离，故D错．
故选：D

7．设正方体的棱长为，则点到平面的距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如下图所示空间直角坐标系，以为坐标原点，
所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴.
因为正方体的边长为4，所以，，，，
，所以，，，
设平面的法向量，所以，，
即，设，所以，，即，
设点到平面的距离为，所以，

故选：D.
8．已知四面体的所有棱长均为，分别为棱的中点，为棱上异于的动点．有下列结论：
①线段的长度为；                ②点到面的距离范围为；
③周长的最小值为；        ④的余弦值的取值范围为．
其中正确结论的个数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四面体所有棱长均为，四面体为正四面体；
对于①，作平面，垂足为，
四面体为正四面体，为的中心，且；
取中点，连接，则，且平面；

，，；
平面，平面，，，①正确；
对于②，在上取点，使得，则，，
则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
设，，
，，，，，
，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
，
点到平面的距离，
令，则，，
，，即点到平面的距离的取值范围为，②正确；
对于③，将等边三角形与沿展开，可得展开图如下图所示，

则（当且仅当为中点时取等号），
四边形为菱形，分别为中点，，
，
则在四面体中，周长的最小值为，③正确；
对于④，设为中点，若点在线段上，设，则，其中，

在中，；
在中，同理可得：，
；
当时，；
当时，，，
，；
的取值范围为；
同理可得：当在线段上时，的取值范围为；
综上所述：的余弦值的取值范围为，④正确.
故选：D.
二、多选题
9．在空间直角坐标系中，，，，则（    ）
A．
B． 点到平面的距离是
C． 异面直线与所成角的余弦值为
D． 与平面所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】因为，，所以，A错误．
在空间直角坐标系中，结合与两点的坐标可知轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点到平面的距离是，B正确．
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．
设与平面所成的角为，，则，D正确．
故选：BD
10．已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（    ）
A．点到直线的距离是
B．点到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为
D．点到直线的距离为
【答案】AB
【解析】如图，建立空间直角坐标系，

则，
，
所以.
设，则，
.
故到直线的距离，故A对.
易知，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B对.
.
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，
所以.
所以点到平面的距离.
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C错.
因为，
所以
又，则，
所以点到的距离，故D错.
故选：AB.
11．已知空间直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，则下列说法错误的是（    ）
A．点到原点的距离是 B．点到轴的距离是
C．点到平面的距离是3 D．点到平面的距离是3
【答案】AD
【解析】由题可知，，A中说法错误；
由点的坐标可知，点到轴的距离为，B中说法正确；
由点的坐标可知，点到平面距离为3，C中说法正确；
由点的坐标可知，点到平面的距离为1，D中说法错误.
故选：AD.
12．如图，在棱长为1的正方体中（    ）

A．与的夹角为 B．二面角的平面角的正切值为
C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为
【答案】BCD
【解析】如图建立空间直角坐标系，

则，
∴，，即，与的夹角为，故A错误；
设平面的法向量为，，
所以，令，则，
平面的法向量可取，二面角的平面角为，
则，所以，故B正确；
因为，设与平面所成角为，
则，故C正确；
因为，设点到平面的距离为，则
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为分别是异面直线和上的任意一点，则间距离的最小值为___________.
【答案】
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则、，，，
所以，，，
设且，即，令，则，，所以，
所以异面直线和的距离，
所以、间距离的最小值为；

故答案为：
14．如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．

【答案】
【解析】解：以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，

由题意得，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，则，即，令，得，
∴点到平面的距离．
故答案为：
15．如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.

【答案】
【解析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

由题，则，，
因为､､分别是､､的中点，
所以，，，
则，所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，则，
因为，所以，取，则，，
所以是平面的一个法向量，
又向量，所以点E到平面的距离为，
即直线到平面的距离为.
故答案为：
16．长方体中，，已知点与三点共线且，则点到平面的距离为________
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，

因为点与三点共线且，，
设，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴点到平面的距离为.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，在边长为2的正方体中，分别为的中点.

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）建立以为坐标原点，，，分别为，，轴的空间直角坐标系如图：

则，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，0，
，分别为，的中点，
，1，，，1，，
，0，，，2，，
设平面的法向量为，
则,即，令，则
因为，，所以
平面．
（2）,,
设点到平面的距离为，所以
18．如图，已知长方体＝＝1，直线BD与平面所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为的中点．

(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在长方体中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．
由已知AB＝＝1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．
又AD⊥平面从而BD与平面所成的角即为∠DBA＝30°，
又AB＝2，AE⊥BD，AE＝1，AD＝
从而易得
∵＝＝（－1，0，1）．
设异面直线AE与BF所成的角为，
则．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为

（2）设＝（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
＝，＝（－1，0，1），＝（2，0，0）．
由 ∴ ，即
取＝
所以点A到平面BDF的距离
19．如图，在四棱柱中，平面，底面满足且，.

(1)求证：平面；
(2)求二面角所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】（1）证明：在四棱柱中，
平面，平面,
，又，
，，得，
，平面；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，0，，，0，，，0，，，4，，，2，，
，4，，，0，，，，，，，，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，，，
则，取，得，1，，
设二面角为，
则；
∴钝二面角的余弦值为；

（3）由（2）可知，平面的法向量为，1，，
，则点到平面的距离．
20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：

(1)直线与平面的距离；
(2)平面与平面的距离．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）解：因为平面，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、，
因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，平面，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，，
平面，平面，平面，
，、平面，平面平面，
平面，平面，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，，
所以，直线与平面的距离为.
（2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为.