2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破06 直线的交点与距离问题

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常考题型06 直线的交点与距离问题

1．两直线的交点
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．
(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0 .
(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有
2．两直线的位置关系
方程组的解
一组
无数组
无解
直线l1与l2的公共点的个数
一个
无数个
零个
直线l1与l2的位置关系
相交
重合
平行
3.两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝.
4.点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的垂线段的长度
夹在两条平行直线间公垂线段的长
图示


公式(或求法)
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝


考法一：直线的交点问题
已知两直线：x+y+=0，：x+y+=0.若两直线方程组成的方程组，有唯一解，则两直线相交，交点坐标为(，).
考法二：对称问题
1.点关于点的对称
若点M(，)关于点P(a，b)的对称点为M'(x，y)，则由中点坐标公式得，即M(，)关于点P(a，b)的对称点为M'(，).
2.点关于线的对称
(1)点关于特殊直线的对称点
①点P(，)关于x轴的对称点为P'(，-)；
②点P(，)关于y轴的对称点为P′(-，)；
③点P(，)关于直线y=x的对称点为P'(，)；
④点P(，)关于直线y=-x的对称点为P'(-，-)；
⑤点P(，)关于直线y=x+b的对称点为P'(，)；
⑥点P(，)关于直线y=-x+b的对称点为P'(，).
(2)点关于一般直线的对称点
若两点(，)，(，)关于直线l:Ax+By+C=0对称，则由方程组可得到点关于直线l对称的点的坐标(，)(其中B≠0，≠).
3.线关于点的对称
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点的对称点的坐标，再由两点式求出直线方程；
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.
4.线关于线的对称
(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点的坐标，然后用点斜式求解（斜率存在）.
(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点坐标，然后取直线上一点，求该点关于对称轴的对称点坐标，最后由两点式求解（不包含与坐标轴平行的直线）.
考法三：距离问题
1.求两点间的距离：关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等.
2.求点到直线的距离：应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑用待定系数法，此时必须讨论斜率是否存在.
3.求两条平行线间的距离：要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.

探究一：直线的交点问题
已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（    ）
A．无论，，如何，方程组总有解
B．无论，，如何，方程组总有唯一解
C．存在，，，方程组无解
D．存在，，，方程组无穷多解
思路分析：
通过与是直线上，推出的关系，然后解方程组即可。

【解析】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以,即,并且，.
所以
得：即,
所以方程组有唯一解.
故选：B
【答案】B
【变式练习】
1．经过两直线与的交点，且平行于直线的直线方程是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：由，解得，所以直线与的交点为，设与直线平行的直线为，所以解得，所以直线方程为；
故选：D
2．若直线：ax＋4y－2＝0与直线：2x－5y＋b＝0垂直于点(1，c)，则a＋b＋c＝(    )
A．2 B．4 C．－2 D．－4
【答案】D
【解析】∵直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，
∴－＝－1，∴a＝10，∴直线ax＋4y－2＝0的方程即为5x＋2y－1＝0．
将点(1，c)的坐标代入上式，可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．
将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0，得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12．
故a＋b＋c＝10－12－2＝－4．
故选：D.
探究二：对称问题
在直角坐标系中，已知和直线，试在直线上找一点，在轴上找一点，使三角形的周长最小，最小值为__．
思路分析：
如图，作出关于直线的对称点，作出关于轴的对称点，则连结，交直线于，交轴于，则的周长的最小值等于。

【解析】解：如图，作出关于直线的对称点，
作出关于轴的对称点，
连结，交直线于，交轴于，
，，
三角形的周长为线段的长，
由两点间线段最短得此时三角形的周长最小，
三角形的周长最小时，最小值为：．
故答案为：．

【答案】
【变式练习】
1．在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为___________.
【答案】
【解析】设关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当三点共线时等号成立.

而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为：.
2．将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，且点与点重合，则______．
【答案】1
【解析】与的中点坐标为，即，
与连线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的斜率为-1，
所以线段的垂直平分线方程为，
即，
因为关于的对称点为，
所以，解得：，
故
故答案为：1
探究三：距离问题
过定点A的直线与过定点B的直线交于点，则的值为（    ）
A． B．10 C． D．20
思路分析：
求出定点，的坐标，再分和两种情况讨论，可判断两直线垂直，由即可求解。

【解析】直线过定点，
直线可化为，
由可得，所以定点，
当时，直线方程为，，此时两直线垂直，
当时，由两直线的斜率之积为可知两直线垂直，
所以，所以，
故选：B.
【答案】B
【变式练习】
1．以，，为顶点的三角形的面积等于（    ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为，
故三角形的面积为.
故选：A.
2．已知梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，过点E作与AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是与，则直线l与CD所在直线的距离为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】梯形ABCD中，，，且对角线交于点E，
则有△与△相似，相似比为，
则，点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的
又AB和CD所在直线的距离为，
则直线l与CD所在直线的距离为2
故选：B

一、单选题
1．已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于：和：的交点情况是（    ）
A．存在、、使之无交点
B．存在、、使之有无穷多交点
C．无论、、如何，总是无交点
D．无论、、如何，总是唯一交点
【答案】D
【解析】解：因为与是直线上两个不同的点，直线斜率存在，
所以，即，
并且，
则，
联立，消得，
即，
所以，
所以方程组有唯一解，
即无论、、如何，总是唯一交点.
故选：D.
2．已知平面上三点坐标为、、，小明在点处休息，一只小狗沿所在直线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，直线的方程为，即，
设小狗的位置为点，当时，小狗距离小明最近，
此时直线的方程为，联立，解得，
因此，小狗距离小明最近时所在位置的坐标为.
故选：C.
3．点关于直线的对称点的坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得.
所以点的坐标为
故选：A.
4．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】依题意可知，
关于直线的对称点为，，
即求的最大值，
，
当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，
也即的最大值是.
故选：A
5．直线l的倾斜角为135°，且过点(1,1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是（    ）
A． B．2
C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题设，直线，整理得，
所以，直线l与坐标轴交点为，
故直线被坐标轴所截得的线段长是.
故选：C
6．已知直线过定点，直线过定点，与相交于点，则（    ）
A．10 B．13 C．16 D．20
【答案】B
【解析】解：因为，所以直线与直线互相垂直且垂足为点，
又因为直线过定点，直线，即过定点，
所以在中，，
故选：B.
7．已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故选：C

8．已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．8
【答案】C
【解析】因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：，
由得点，由得点，而，，
于是得，
而表示动点到定点与的距离的和，
显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，，
当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0，
从而得取最小值，
所以，当直线l3方程为：时，取最小值.
故选：C
二、多选题
9．若直线m被两平行直线：x－y＋1＝0与：x－y＋3＝0所截得的线段长为，则直线m的倾斜角可以是（    ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
【答案】AD
【解析】因为，所以直线，间的距离．
设直线m与直线，分别相交于点B，A，则，
过点A作直线l垂直于直线，垂足为C，则，
则在Rt△ABC中，，所以∠ABC＝30°，
又直线的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角为45°＋30°＝75°或45°－30°＝15°．
故选：AD．

10．已知平面上一点，若直线上存在点，使，则称该直线为“点相关直线”，下列直线中是“点相关直线”的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】根据题意，可得当点到直线的的距离时，该直线上存在点，设，此时该直线为“点相关直线”.
选项A：点到直线的距离为2，满足题意；
选项B：点到直线的距离为，不满足题意；
选项C：点到直线的距离为，满足题意；
选项D：点到直线的距离为，不满足题意.
故选：AC.
11．已知直线：，：，，以下结论正确的是（    ）
A．不论为何值时，与都互相垂直
B．当变化时，与分别经过定点和
C．不论为何值时，与都关于直线对称
D．设为坐标原点，如果与交于点，则的最大值是
【答案】ABD
【解析】由于1×a+-a×1=0，所以与互相垂直，故不论为何值时，与都互相垂直；A正确；
直线：，当时，，所以恒过点，：，当时，，所以恒过点，故B正确；
设直线：上任意一点，则点P关于直线的对称点为，将点代入直线，可得：，与在直线：上矛盾，故C错误；
联立方程组：x-ay+2=0ax+y-2=0，解得：x=2a-2a2+1y=2a+2a2+1故M点坐标为2a-2a2+1,2a+2a2+1，则
MO=2a-2a2+12+2a+2a2+12=8a2+1≤22，则的最大值是，D正确.
故选：ABD
12．若，分别为，上的动点，且，下面说法正确的有（    ）
A．直线的斜率为定值 B．当时，的最小值为
C．当的最小值为1时， D．
【答案】ABD
【解析】解：且，
，，故A、D选项正确；
分别为上的动点，且∥，
的最小值为两平行直线间的距离，
当时，的最小值为，故B选项正确；
由，得出，则，
又可化为
，
当的最小值为时，，或，故C选项错误；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知直线，，则直线与之间的距离最大值为______.
【答案】5
【解析】直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，
直线化简为：，
令且，解得，，
所以直线过定点，，
当与直线，垂直时，直线，的距离最大，
且最大值为，
故答案为：5．
14．直线关于点对称的直线的方程是______．
【答案】
【解析】记直线l关于点P对称的直线为，则由题意可知，
所以设的方程为，即
又点点P到两直线的距离相等，所以
整理可得，解得或
当时，即为直线l，故
所以所求方程为：.
故答案为：

15．已知直线与x轴的交点为F，A，B是直线l上的两个动点，点P是线段AB上的任意一点，点P到直线的距离为d.若恒成立，则线段AB的最大长度为___________.
【答案】8
【解析】设，则，
对于，由，得，所以，
所以，
因为，所以，
所以，得，
解得，
将代入，得，
将代入，得，
所以，
所以线段AB的最大长度为8，
故答案为：8.
16．在直角坐标系中，若、、，则的最小值是______．
【答案】
【解析】由题意可知，点在轴上，点关于轴的对称点为，由对称性可得，

所以，，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知点和，P为直线上的动点.
(1)求关于直线的对称点，，
(2)求的最小值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）关于直线的对称点设为，，
则，解得，，
所以的坐标为.
（2）由（1）及已知得：，
当且仅当三点共线时，取等号，
则的最小值为：．
18．求适合下列条件的直线方程：
(1)求经过点并且和直线垂直的l直线方程；
(2)已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于3的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）解：设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为；
（2）解：当直线的斜率不存在时，方程为，
原点到直线的距离为3，符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，
则原点到直线l的距离为，解得，
此时直线方程为，
综上直线的方程为或.
19．直线，在上求一点，使得．
(1)到和的距离之差的绝对值最大；
(2)到，的距离之和最小．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）在直线上求一点，使得：到和的距离之差的绝对值最大，
显然、位于直线两侧，作关于直线的对称点，连接，
则 所在直线与直线l交点即为，如图所示：

此时，的值最大，最大值就是，
设B点关于l对称点，
由，得，即，
由线段的中点坐标为，，且中点在直线上，
，即，
联立方程组，解得，，即
所以的直线方程为
联立方程组，解得，，
与直线的交点坐标为，
点到点和点的距离之差的绝对值最大时，点坐标为．
（2）到和的距离之和最小，
显然，A、C位于直线l同侧，
作点关于直线l对称点，连接，则与直线l的交点就是点，
此时，之和最小，最小值为，如图所示：

设关于的对称点为，求出的坐标为．
所在直线的方程为．
和交点的坐标为．
当点到点，的距离之和最小时，点的坐标为．
20．已知点，点B，直线：其中．
（1）求直线所经过的定点P的坐标；
（2）若分别过A，B且斜率为的两条平行直线截直线所得线段的长为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：由题意，其中，
则，
，
，
解得，
直线l所经过的定点P的坐标；
分别过A，B且斜率为的两条平行直线，分别为，
由知，l恒过点，
当斜率存在时，设直线l为，
设直线l与分别交于点E，F，
联立方程组可得，
所以，
即，
所以，
所以直线l：，
当直线l的斜率不存在时，
直线l：时，检验此时不符合题意，
综上，直线l的方程为．