2022-2023学年高二数学上学期期末常考题型重点突破11 抛物线的标准方程及最值问题

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常考题型11 抛物线的标准方程及最值问题 1.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)x＝－y2＝－2px(p>0)x＝x2＝2py(p>0)y＝－x2＝－2py(p>0)y＝2.抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标FFFF准线方程x＝－x＝y＝－y＝顶点坐标O(0,0)离心率e＝1通径长2p  考法一：求抛物线的标准方程1.定义法和待定系数法若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可；若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论.2.3个注意点(1)当坐标系已建立时，应先确定抛物线方程属于哪种类型；(2)注意抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离.考法二：利用抛物线的定义解最值问题与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.探究一：求抛物线的标准方程已知抛物线C的顶点与坐标原点重合，焦点为.过F且斜率为正的直线l与C交于A，B两点，若，则l的方程为（    ）A． B．C． D．【解析】依题意，抛物线C的方程：，显然直线l不垂直于y轴，设其方程为：，由消去x并整理得：，设， 于是得，而直线l的斜率为正，且，即，有，即有，则，解得，因此，解得，所以直线l的方程为：，即.故选：D【答案】D【变式练习】1．如图，正方形和正方形的边长分别为，（），原点为边的中点，抛物线经过，两点，则（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由题意，得点的坐标为，点的坐标为，∵，两点都在抛物线上，∴，即，即，解得或，又，∴,故选:A2．已知双曲线的离心率，且双曲线C的两条渐近线与抛物线的准线围成的三角形的面积为3，则p的值为（    ）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【解析】解：根据题意，，可得，所以双曲线的渐近线方程为，抛物线的准线方程为，设准线与抛物线的交点分别为M，N，则，可解得，同理，所以，解得.故选：D．探究二：利用抛物线的定义解最值问题已知抛物线：，点为抛物线上任意一点，过点向圆：作切线，切点分别为，，则四边形的面积的最小值为（    ）A．1 B．2 C． D．【解析】如图，连接，圆：，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则．又，所以当四边形的面积最小时，最小．过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则，当点与坐标原点重合时，最小，此时．故．故选：C【答案】C【变式练习】1．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点.则最大值的为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知：，；，，；令，则，，则当，即时，取最大值，此时.故选：C.2．已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（    ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，设圆心C到直线距离为d，，当时，，故选：D．一、单选题1．在抛物线y2＝16x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】抛物线的顶点为，焦点为，设符合题意，则有，即，解得，所以符合条件的点为，故选：D2．我们知道，二次函数的图象是抛物线，有同学发现经过抛物线这一节的学习，结合函数图象平移的性质可求出该抛物线的焦点坐标.则二次函数的图象的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线知可以看做时抛物线(焦点坐标)先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，故的焦点坐标为故选：C3．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】设抛物线的焦点为，则抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为，因为点在抛物线上，所以，得，所以，由题意得，双曲线的渐近线方程为，因为离心率为，所以，所以，得，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，所以，得，所以由，得，所以双曲线的方程为，即，故选：C4．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为，则（    ）A．4 B．3 C． D．【答案】D【解析】由题意，抛物线的准线方程为，根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于到准线的距离，可得，解得故选：D.5．抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故选：A.6．直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】抛物线的焦点为，由于直线平分圆，故直线经过圆心，所以可得直线经过点和，故斜率，由斜截式可得方程为：，故选：B7．已知抛物线:（其中为常数）过点（1，3），则抛物线的焦点到准线的距离等于（    ）A． B． C． D．3【答案】B【解析】由抛物线y＝px2(其中p为常数)过点A(1,3)，可得p＝3，则抛物线的标准方程为x2＝y，则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选：B8．已知点F为抛物线的焦点，，点M为抛物线上一动点，当最小时，点M恰好在以A，F为焦点的双曲线C上，则双曲线C的渐近线斜率的平方是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则，则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，，又，则，故渐近线斜率的平方为故选：B二、多选题9．设抛物线：（）的焦点为，准线为，A为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点．若，且的面积为，则（    ）A．是等边三角形 B．C．点到准线的距离为3 D．抛物线的方程为【答案】ACD【解析】根据题意作图，如图所示:因为以为圆心，为半径的圆交于，两点，所以，又，故，A在抛物线上，所以，所以为等边三角形，故A正确；因为，则轴，过作于点，则点为的中点，点的横坐标为，点的横坐标为，所以点A的横坐标为，则，所以，解得，则，故B错误；焦点到准线的距离为，故C正确；抛物线的方程为，故D正确．故选：ACD．10．已知抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的可能取值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BD【解析】因为抛物线（）上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，所以 ，即 ，代入抛物线方程可得，整理得，解得或,故选:BD．11．已知：的焦点为，斜率为且经过点的直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则（    ）A． B．为线段的中点C． D．【答案】AB【解析】解：易知，由题意可得直线的方程为．由，消去并整理，得，解得，．由，得，∴．过点作垂直准线于点，易知，∴，∴．.∵，∴为线段的中点．故选：AB．12．已知点是抛物线C：上一动点，则（    ）A．C的焦点坐标为 B．C的准线方程为C． D．的最小值为【答案】BCD【解析】由抛物线的方程知，焦点坐标为，准线方程为．故A错误，B正确．根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即，故C正确．因为，所以（当且仅当，即时，等号成立），故的最小值为，故D正确．故选：BCD.三、填空题13．与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．【答案】【解析】解：因为抛物线的焦点为，设点关于直线对称的点为，则有，解得，所以点关于直线对称的点为.故答案为：.14．设抛物线的焦点弦被焦点分为长是的两部分，请写出一个必然满足的恒等式______．【答案】【解析】若斜率存在，设为，则过焦点的直线方程为，联立，可得，，由抛物线定义可得．．所以．若斜率不存在，则，符合．故答案为：15．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上在第一象限的一点，垂直于点，，分别为，的中点，直线与轴相交于点，若，则______.【答案】2【解析】解：如图所示，连接，，设准线与轴交于点，由题意得，.∵，分别为，的中点，∴.∵垂直于点，∴，∴四边形为平行四边形，∴，，又∵，∴为等边三角形，∴，则四边形为矩形，∴，∴.故答案为：16．已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】如图，作垂直于准线于H，∵，∴，根据抛物线的定义有，∴，当m最小时，最小.故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为，联立，，．此时，椭圆中，椭圆离心率．故答案为：.四、解答题17．已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点相同，为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设不过点F2的直线l：y＝kx+m（m≠0）交椭圆C于A，B两点．若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点坐标为【解析】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则，当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，所以，故椭圆的方程为.（2）联立得，，， 设，，则，，，由题意可得，，即，，解得，所以直线的方程为，故直线恒过定点，该定点坐标为18．已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4．(1)求p的值；(2)过焦点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，求．【答案】(1)；(2)【解析】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，又因为抛物线的焦点到其准线的距离为，所以；（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点，则直线的方程为设，联立，整理可得，所以，由抛物线的性质可得．19．已知一个半径为的圆的圆心在抛物线上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切.过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线，与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点.(1)求抛物线C的方程；(2)当时，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）设圆的圆心坐标为，可得.易知抛物线的焦点为，准线方程为，由题意得，解得（负值舍去），则抛物线C的方程为.（2）由（1）知，设直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，，，则，，，则AB的中点M的坐标为，易知，故，直线OA的方程为，即，直线OB的方程为，即，令，可得，，则，即，解得，所以直线AB的方程为，即或.20．已知抛物线上的点到其焦点的距离为．(1)求和的值；(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．【答案】(1)，；(2)证明见解析【解析】（1）解：抛物线的焦点为，准线方程为，点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.（2）解：由中垂线的性质可得，，，，所以，，设、，联立消去并整理，得，则，，且，即，则．设线段的中点为，则点的纵坐标为，所以，点的横坐标为，则．直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．设、，联立，消去并整理得，，可得，则，，故．设线段的中点为，则．，，，故，所以，，，故，故，所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．