北京市平谷区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

平谷区2021～2022学年度第一学期期末质量监控试卷初三数学

一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1. 如果3x=5y，则下列比例式成立的是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 如图，在△ABC中，DE//BC，=2， 若AE=6，则EC的值为（   ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 9

3. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（    ）.

A. ； B. ；

C. ； D. .

4. 如图，角在边长为1的正方形网格中，则的值是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，若 ⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（   ）

A. 3 B. 2 C. 1 D.

6. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，作∠CAD=30°，CD⊥AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（   ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

7. 为了解不等式“”，明明绘制了如图所示的函数图象，通过观察图象，该不等式的解集为（   ）

A.  B.  C. 或 D. 或

8. 用长为2米的绳子围成一个矩形，它的一边长为x米，设它的面积为S平方米，则S与x的函数关系为（   ）

A. 正比例函数关系 B. 反比例函数关系

C. 一次函数关系 D. 二次函数关系

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9. 函数中，自变量x的取值范围是____．

10. 如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB=70º，那么∠C的度数为_______．

11. 如图，若点P在反比例函数y＝﹣（x＜0）的图象上，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则矩形PMON的面积为_____．

12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，AC=2，那么AB的长为________．

13. 如图，小明在地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明与平面镜的水平距离为2m，旗杆底部与平面镜的水平距离为12m．若小明的眼睛与地面的距离为1.5m，则旗杆的高度为________．（单位：m）

14. 若二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______．

15. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．

16. 某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1-8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如下表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断_____ 月份出售这种药材获利最大．

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分，第23~26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17. 计算：．

18. 如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠ABC=∠ACD，

（1）求证：△ABC∽△ACD

（2）若AD=2，AB=5.求AC的长．

19 已知二次函数．

（1）求该二次函数图象的顶点坐标；

（2）求该二次函数图象与x轴、y轴交点；

（3）在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数的图象；

（4）结合函数图象，直接写出当时，x的取值范围．

20. 如图，A是上一点，过点A作的切线．

（1）①连接OA并延长，使AB=OA；

②作线段OB的垂直平分线；使用直尺和圆规，在图中作OB的垂直平分线l（保留作图痕迹）．

（2）直线l即为所求作的切线，完成如下证明．

证明：在中，∵直线l垂直平分OB

∴直线l经过半径OA的外端，且__________，

∴直线l是的切线（____________）（填推理的依据）．

21. 如图，二次函数的图象过点A（0，3），B（2，3），C（-1，0）则

（1）该抛物线的对称轴为_________；

（2）该抛物线与x轴的另一个交点为_______；

（3）求该抛物线的表达式．

22. 因为一条湖的阻断，无法测量AC两地之间的距离，在湖的一侧取点B，使得点A恰好位于点B北偏东70°方向处，点C恰好位于点B的西北方向上，若经过测量，AB=10千米．你能否经过计算得出AC之间的距离．（精确到0.1，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）

23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点．

（1）求a、的值；

（2）已知点，过点作垂直于轴的直线，与反比例函数图象交于点，与直线交于点．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点，之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为Ｗ．

①当时，直接写出区域Ｗ内的整点个数；

②若区域Ｗ内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出的取值范围．

24. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，半径OD弦BC．

（1）求证：弧AD=弧CD；

（2）连接AC、BD相交于点F，AC与OD相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，BC=6，求CD和EF的长．

25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，过点C作CE∥AB，过点A作AE∥CD，两线相交于点E，连接DE．

（1）求证：四边形AECD是矩形；

（2）若，求DE的长．

26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的对称轴是直线x＝1．

（1）用含a的式子表示b；

（2）若当－2≤x≤3时，y最大值是7，求a的值；

（3）若点A（-2，m），B（3，n）为抛物线上两点，且mn<0，求a的取值范围．

27. 如图，∠MAN=45°，B是射线AN上一点，过B作BC⊥AM于点C，点D是BC上一点，作射线AD，过B作BE⊥AD于点E，连接CE．

（1）依题意补全图形；

（2）求证：∠CAE=∠DBE；

（3）用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明．

28. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，-1），以O为圆心，OA长为半径画圆，P为平面上一点，若存在⊙O上一点B，使得点P关于直线AB的对称点在⊙O上，则称点P是⊙O的以A为中心的“关联点”．

（1）如图，点，，中，⊙O以点A为中心的“关联点”是________；

（2）已知点P（m，0）为x轴上一点，若点P是⊙O的以A为中心的“关联点”，直接写出m的取值范围；

（3）C为坐标轴上一点，以OC为一边作等边△OCD，若CD边上至少有一个点是⊙O的以点A为中心的“关联点”，求CD长的最大值．