北京市昌平区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

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昌平区2021-2022学年初三年级第一学期期末质量监控
数学试卷
本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后将答题卡交回．
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的
1. 已知∠A为锐角，且sinA＝，那么∠A等于（　　）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：∵∠A为锐角，sinA=，∴∠A=30°．故选B．
考点：特殊角的三角函数值．
2. 已知，则下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用分式的基本性质即可得到的值，再进行选择即可．
【详解】，等式两边同时除以3b．
得：．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行变形是解答本题关键．
3. 抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标是（　　）
A. （0，﹣2） B. （﹣2，0） C. （0，2） D. （2，0）
【答案】A
【解析】
【分析】已知抛物线的解析式满足顶点坐标式的形式，直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是（0，-2），
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
4. 已知反比例函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将（2，3）代入解析式中即可.
【详解】解：将点（2，3）代入解析式得，
，k＝6．
故选:D
【点睛】此题考查的是求反比例系数解析式,掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解决此题的关键.
5. 如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠BAD＝（　　）

A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对圆周角为直角、同圆中等弧所对圆周角相等即可得到结论．
【详解】解：是的外接圆的直径，
点，，，在上，
，
，
是的外接圆的直径，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，由圆周角定理得到，是解题的关键．
6. 如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则⊙O的半径为（ ）

A. B.
C. 3 D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA、OB，则为等腰直角三角形，由正方形面积为18，可求边长为，进而通过勾股定理，可得半径为3．
【详解】解：如图，连接OA，OB，则OA=OB，

∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵正方形ABCD的面积是18，
∴，
∴，即：
∴
故选C．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识，构造等腰直角三角形是解题的关键．
7. 关于二次函数y=-（x -2）2＋3，以下说法正确的是（ ）
A. 当x＞-2时，y随x增大而减小 B. 当x＞-2时，y随x增大而增大
C. 当x＞2时，y随x增大而减小 D. 当x＞2时，y随x增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），
∵二次函数的图象为一条抛物线，当x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x增大而增大
∴C正确，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
8. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）

A. 在上 B. 在上 C. 在上 D. 在上
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理确定出各点坐标，再利用m＜n＜m判断即可.
【详解】点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故选：B
【点睛】此题考查勾股定理和圆的基本性质，掌握相应的定理和性质是解答此题的关键.
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9. 请写出一个 开口向下，并且与y轴交于点（0,1）的抛物线的表达式_________
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，抛物线开口向下a<0，与y轴交点的纵坐标即为常数项，然后写出即可．
【详解】∵抛物线开口向下，并且与y轴交于点（0,1）
∴二次函数的一般表达式中，a<0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：（答案不唯一）.
【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握开口方向、与y轴的交点与二次函数二次项系数、常数项的关系是解题的关键.
10. 已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，那么直线l与⊙O的位置关系是__．
【答案】相交
【解析】
【分析】由题意得d 【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为4cm，
∴d ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故答案为相交．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系．已知⊙O的半径为r，如果圆心O到直线l的距离是d，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d 11. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．
【详解】解：依题意，n=，r=2，
∴扇形的弧长=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．
12. 点A（-1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x－1）2图象上的两个点，则y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数y＝（x－1）2的对称轴为，则时的函数值和的函数值相等，进而根据抛物线开口朝上，在对称轴的右侧随的增大而增大即可判断
【详解】解：二次函数y＝（x－1）2的对称轴为，
时的函数值和的函数值相等，在对称轴的右侧随的增大而增大


故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象的性质是解题的关键．
13. 如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．

【答案】3
【解析】
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】连接OC，

Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
14. 已知反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质，结合图像所在的象限，求出m的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数y＝图像在第二、四象限，
∴
∴
故答案：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，关键是根据图像所在的象限得到m的取值范围．
15. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB
【详解】解：连接，如图，

PA，PB分别与⊙O相切




故答案为：
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．
16. 点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1·x2≥0）是y=ax2（a≠0）图象上的点，存在=1时，=1成立，写出一个满足条件a的值______________
【答案】
【解析】
【分析】由可知图像一定过，令，，由=1时，=1成立，取，，代入中解出即可．
【详解】∵一定过，
∴令，，
∵=1时，=1成立，
∴取，,
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像上点的坐标特点是解题的关键．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）
17. 计算： 2sin60°+tan45°－cos30°tan60°
【答案】
【解析】
【分析】根据特殊角的锐角三角形函数值进行混合运算即可．
【详解】解：原式

【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角形函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，点D在AC上且AD=3，DE⊥AB于点E，求AE的长

【答案】
【解析】
【分析】先证明，由相似三角形的性质即可求出AE．
【详解】∵DE⊥AB于点E，∠C=90°，
∴∠AED＝∠C，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
，
AE＝．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理以及性质是解题的关键．
19. 已知：二次函数y=x2－4x+3
（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x轴交点坐标；
（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y＜0时，自变量x的取值范围

【答案】（1）顶点坐标为，与x轴交点坐标为，；（2）
【解析】
【分析】（1）把二次函数化为顶点式和交点式即可得出答案；
（2）根据（1）画出图像，由图像即可得出时，自变量x的取值范围．
【详解】（1），
∴顶点坐标为
与x轴交点坐标为，；
（2）如图所示：

当时，自变量x的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AD⊥BC于点D且tan∠CAD＝，求BC的长

【答案】
【解析】
【分析】在中求出，，在中，由求出，即可得出的长．
【详解】∵于点D，
∴，为直角三角形，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形，掌握直角三角形中，角所对的边是斜边的一半是解题的关键．
21. 已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC
求作：一点P，使得∠APC＝∠BAC
作法：①以点A为圆心， AB长为半径画圆；
②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C，D两点；
③连接DA并延长交⊙A于点P
点P即为所求

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明
证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠_________＝∠_________
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（______________________） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
【答案】（1）见解析；（2）BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【解析】
【分析】（1）根据按步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理进行证明即可
【详解】解：（1）如图所示，

（2）证明：连接PC，BD
∵AB＝AC，
∴点C在⊙A上
∵BC＝BD，
∴∠BAC=∠BAD
∴∠BAC＝∠CAD
∵点D，P在⊙A上，
∴∠CPD＝∠CAD（圆周角定理） （填推理的依据）
∴∠APC＝∠BAC
故答案为：BAC=BAD，圆周角定理或同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【点睛】本题考查了尺规作图作圆，圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，2）是一次函数的图象与反比例函数的图象的交点
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点P（n，0）且垂直于x轴的直线与一次函数图象，反比例函数图象的交点分别为M，N，当S△OPM＞S△OPN时，直接写出n的取值范围

【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】把代入求出的值，再把点A的坐标代入求出，即可求出反比例表达式；
（2）当时，故，由图像即可确定的取值范围．
【详解】（1）把代入，得，
∴点A坐标为，
把代入，得，
∴反比例函数表达式为；
（2）

如图，当时，解得：或，
∵，
∴，
∴或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
23. 居庸关位于距北京市区50余公里外的昌平区境内，是京北长城沿线上的著名古关城，有“天下第一雄关”的美誉某校数学社团的同学们使用皮尺和测角仪等工具，测量南关主城门上城楼顶端距地面的高度，下表是小强填写的实践活动报告的部分内容：请你帮他计算出城楼的高度AD（结果精确到0.1m，sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）
题目
测量城楼顶端到地面的高度
测量目标示意图


相关数据
BM=16m, BC=13m，∠ABC=35°，∠ACE=45°

【答案】城楼顶端距地面约为31.9m
【解析】
【分析】根据题意，设AE为x m，在Rt△ACE中，tan∠ABE=，进而列出方程，求得,根据 AD=AE+ED即可求解
【详解】解：根据题意，得BM=ED=16m，∠AEC=90°
设AE为x m，在Rt△ACE中，
∵∠ACE=45°，
∴∠CAE=45°，
∴AE=CE
在Rt△ABE中，
∵tan∠ABE=，
又∵∠ABE=35°，
∴tan35°=
即
解得x≈30.3
∴AD=AE+ED≈30.3+16≈31.9（m）
答：城楼顶端距地面约为31.9m

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键．
24. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，P是AB延长线上一点，且∠BCP＝∠BCD
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）连接DO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长

【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）连接OC，由已知可得∠OCB＋∠BCD＝90°，进而根据∠BCP＝∠BCD，等量代换可得∠OCB＋∠BCP＝90°，即可证明CP是⊙O的切线；
（2）证明OE为△DCG的中位线，由，证明△GCF∽△OAF，进而列出比例式代入数值进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接OC

∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB
∵AB⊥CD于点E，
∴∠CEB＝90°
∴∠OBC＋∠BCD＝90°
∴∠OCB＋∠BCD＝90°
∵∠BCP＝∠BCD，
∴∠OCB＋∠BCP＝90°
∴OC⊥CP
∴CP是⊙O的切线
（2）∵AB⊥CD于点E，
∴E为CD中点
∵O为GD中点，
∴OE为△DCG的中位线
∴GC＝2OE＝6，
∵
∴△GCF∽△OAF
∴
即
∵GF＋OF＝5，
∴OF＝
【点睛】本题考查了切线的性质判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
25. 随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）
（1）求出w与x的关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元
【解析】
【分析】（1）由公式利润=（售价−成本）×数量即可列出关系式；
（2）把化为，由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）由题可得：；
（2），
∵，且，
∴当时，．
答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．
【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上
（1）当m＝-3时
①求这个二次函数的顶点坐标；
②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是____；
（2）当mn＜0时，求b的取值范围
【答案】（1）①；②或；（2）
【解析】
【分析】（1）①将点（1，-3）代入y＝x2＋bx求出b的值，得出函数关系式，再进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；②根据函数的图象，结合函数性质可得出a的取值；
（2）用含有b的代数式分别表示出m，n，根据mn＜0分类讨论即可．
【详解】解：（1）当m＝-3时
①把点（1，-3）代入y＝x2＋bx，得b＝-4，
二次函数表达式y＝x2 -4x＝（x-2）2 -4
所以顶点坐标为（2，-4）
②根据题意得抛物线y＝x2 -4x开口向上，对称轴为直线x=2，
∵y2＞y1，
∴i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧时，有；
ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知；
所以a的取值范围是：a＜-1或a＞5
故答案为：a＜-1或a＞5
（2）将点（1，m），（3，n）代入y＝x2＋bx，可得m＝1＋b ，n＝9＋3b
当mn＜0时，有两种情况：
①若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得 此时不等式组无解
②若 把m＝1＋b ，n＝9＋3b代入可得解得-3＜b＜-1
所以-3＜b＜-1
【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的特点，能结合题意确定b的取值范围是解题的关键．
27. 已知∠POQ=120°，点A，B分别在OP，OQ上，OA＜OB，连接AB，在AB上方作等边△ABC，点D是BO延长线上一点，且AB=AD，连接AD
（1）补全图形；
（2）连接OC，求证：∠COP=∠COQ；
（3）连接CD，CD交OP于点F，请你写出一个∠DAB的值，使CD=OB+OC一定成立，并证明


【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DAB=150°，见解析
【解析】
【分析】（1）依据题意作出相应图形即可；
（2）在BQ上截取BE=AO，连接CE，由等边三角形的性质得，CA=CB，∠ACB=60°
由同角的补角相等得∠CAO=∠CBE，由SAS证得△CAO和△CBE全等，即可得证；
（3）由∠DAB=150°， DA=AB，得∠ADB=∠ABD=15°，由等边三角形性质，可得∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，故∠CAD=150°，由等边对等角得∠ADC=∠ACD=15°，由此∠DBC=∠DCB=75°，由等角对等边得DB=DC 再由∠POQ=120°，∠BDC=30°，得∠DFO=90°，等量代换即可得证.
【详解】解：（1）如图所示：

（2）证明如下：
在BQ上截取BE=AO，连接CE，

∵△ABC为等边三角形，
∴CA=CB，∠ACB=60°
∵∠POQ=120°，
∴∠CAO+∠CBO=180°
∵∠CBO+∠CBE=180°，
∴∠CAO=∠CBE，
在△CAO和△CBE中，，
∴△CAO≌△CBE（SAS），
∴CO=CE，∠COA=∠CEB，
∴∠COE=∠CEB，
∴∠COP=∠COQ；
（3）∠DAB=150°，
如图：

∵∠DAB=150°， DA=AB，
∴∠ADB=∠ABD=15°
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=∠CBA=∠ACB =60°，
∴∠CAD=150°，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=15°，
∴∠DBC=∠DCB=75°，
∴DB=DC，
∵∠POQ=120°，∠BDC=30°，
∴∠DFO=90°
∵AD=AC，
∴DF=FC
∴DO=OC
∵DB=DO+OB，
∴DB=CO+OB，
∴CD= OB + OC.
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及添加辅助线构造全等三角形，掌握相应的判定和性质是解答此题的关键.
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于点P，O，Q给出如下定义：若OQ＜PO＜PQ且PO≤2，我们称点P是线段OQ的“潜力点”
已知点O（0，0），Q（1，0）
（1）在P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）中是线段OQ的“潜力点”是_____________；
（2）若点P在直线y＝x上，且为线段OQ的“潜力点”，求点P横坐标的取值范围；
（3）直线y＝2x＋b与x轴交于点M，与y轴交于点N，当线段MN上存在线段OQ 的“潜力点”时，直接写出b的取值范围

【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）分别计算出OQ、PO和PQ的长度，比较即可得出答案；
（2）先判断点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在线段OQ垂直平分线的左侧，结合PO≤2，点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，可得点P在如图所示的线段AB上（不包含点B），过作轴，过作轴，垂足分别为 再根据图形的性质求解 从而可得答案；
（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，再分两种情况讨论：当时，当时，分别画出两种情况下的临界直线 再根据临界直线经过的特殊点求解的值，再确定范围即可.
【详解】解：（1） O（0，0），Q（1，0），

P1（0，-1），P2（，），P3（-1，1）
不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以不是线段OQ的“潜力点”，
同理：
所以不满足OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以不是线段OQ的“潜力点”，
同理：

所以满足：OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
所以是线段OQ的“潜力点”，
故答案为：P3
（2）∵点P为线段OQ的“潜力点”，
∴OQ＜PO＜PQ且PO≤2，
∵OQ＜PO，
∴点P在以O为圆心，1为半径的圆外
∵PO＜PQ，
∴点P在线段OQ垂直平分线的左侧，而的垂直平分线为：
∵PO≤2，
∴点P在以O为圆心，2为半径圆上或圆内
又∵点P直线y＝x上，
∴点P在如图所示线段AB上（不包含点B）
过作轴，过作轴，垂足分别为

由题意可知△BOC和 △AOD是等腰三角形，
∴
∴-≤xp＜-
（3）由（2）得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧
当时，过时，
即函数解析式为：
此时 则

当与半径为2的圆相切于时，则
由
而


当时，如图，同理可得：点P在以O为圆心，1为半径的圆外且点P在以O为圆心，2为半径的圆上或圆内，
而PO＜PQ，点P在线段OQ垂直平分线的左侧，

同理：当过 则 直线为
在直线上，
此时
当过时， 则

所以此时：
综上：的范围为：1＜b≤或＜b＜-1
【点睛】本题考查的是新定义情境下的知识运用，圆的基本性质，圆的切线的性质，一次函数的综合应用，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，数形结合是解本题的关键.