江西省赣州市寻乌县2022届九年级上学期期末检测数学试卷(含答案)

2021-2022学年江西省赣州市寻乌县九年级第一学期期末

数学试卷

一、选择题（每题3分，共18分）

1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

2．方程（x﹣1）（x+2）＝x﹣1的解是（　　）

A．﹣2 B．1，﹣2 C．﹣1，1 D．﹣1，3

3．已知点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，2），则点P的坐标为（　　）

A．（2，1） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（﹣1，﹣2）

4．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）

A．40° B．30° C．45° D．50°

6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（x1，0）与（x2，0），其中x1＜x2，方程ax2+bx+c﹣a＝0的两根为m，n（m＜n），则下列判断正确的是（　　）

A．m＜n＜x1＜x2 B．b2﹣4ac≤0 C．x1+x2＞m+n D．m＜x1＜x2＜n

二、填空题（每题3分，共18分）

7．“清明时节雨纷纷”是 　   　事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）

8．抛物线y＝x2﹣2x+2的对称轴为直线 　   　．

9．已知圆锥的母线长为10，侧面积为30π，则其侧面展开图的圆心角度数为 　   　度．

10．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　   　．

11．如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于E，若∠A＝30°，则CD＝　   　．

12．如图，已知⊙P的半径是1，圆心P在抛物线y＝x2﹣x﹣上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 　   　．

三、解答题（每题6分，共30分）

13．（1）解方程：x2﹣4x﹣5＝0．

（2）如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，若∠A＝100°，求证：A1C1∥BC．

14．先化简，再求值：，其中实数m可使关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根．

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．

（1）求证：∠A＝∠BCD；

（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．

16．某同学报名参加校运动会，有以下5个项目可供选择：

径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；

田赛项目：跳远，跳高（分别用B1、B2表示）．

（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为 　   　；

（2）该同学从5个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．

17．等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD．（保留作图痕迹，不写作法）

（1）如图1，∠A＜90°；

（2）如图2，∠A＞90°．

四、解答题（每题8分，共24分）

18．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）

（1）画出△ABC关于原点对称的△A′B′C′；

（2）将△A′B′C′绕点C′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此过程中点A′运动的路径长度（结果保留π）．

19．如图1，在Rt△ABC中，D为AB的中点，P是BC边上一动点，连接PD，PA．若BC＝4，AC＝3，设PC＝x（当点P与点C重合时，x的0），PA+PD＝y．

小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）通过取点、画图、计算，得到了x与y的几组值，如下表：

说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．

（参考数据：≈1.414，≈3.162，≈3.606）

（2）如图2，描出剩余的点，并用光滑的曲线画出该函数的图象．

（3）观察图象，下列结论正确的有 　   　．

①函数有最小值，没有最大值

②函数有最小值，也有最大值

③当x＞时，y随着x的增大而增大

④当y＞5.5时，x的取值范围是x＞2.5

20．某超市对进货价位20元/千克的某种苹果的销售情况进行统计，发现每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）存在一次函数关系，如图所示．

（1）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）应怎样确定销售价，使该品种苹果的每天销售利润最大？最大利润是多少？

五、解答题（每题9分，共18分）

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．

（1）证明：AB是⊙O的直径；

（2）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（3）若DE的长为3，∠BAC＝60°，求⊙O的半径．

22．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整

原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．

（1）思路梳理

∵AB＝AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．

∵∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．

根据 　   　，易证△AFE≌　   　，得EF＝BE+DF．

（2）类比引申

如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 　   　时，仍有EF＝BE+DF．

（3）联想拓展

如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．

六、解答题（共12分）

23．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴只有一个公共点．

（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；

（2）已知点P1（﹣2，1），P2（2，﹣1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上．

①求抛物线的解析式；

②设直线l：y＝kx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y＝﹣1上，且∠MAN＝90°，过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C．求证：△MAB与△MBC的面积相等．

参考答案

一、选择题（每题3分，共18分）

1．B

2．C

3．D

4．C

5．A

6．D

二、填空题（每题3分，共18分）

7．随机

8．x＝1

9．108

10．2020

11．2

12．（3，1）或（﹣1，1）或（1，﹣1）

三、解答题（每题6分，共30分）

13．（1）解：∵x2﹣4x﹣5＝0，

∴（x﹣5）（x+1）＝0，

则x﹣5＝0或x+1＝0，

解得x1＝5，x2＝﹣1；

（2）证明：∵∠A＝100°，∠ABC＝30°，

∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝50°，

∵△ABC绕点B逆时针旋转50°后得到△A1BC1，

∴∠CBC1＝∠C1＝50°，

∴A1C1∥BC．

14．解：原式＝•，

＝，

∵一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝16+4m＝0，

解得：m＝﹣4，

当m＝﹣4时，原式＝＝．

15．（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，

∴弧BC＝弧BD．

∴∠A＝∠BCD；

（2）连接OC

∵直径AB⊥弦CD，CD＝6，

∴CE＝ED＝3．

∵直径AB＝10，

∴CO＝OB＝5．

在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝3，

∴OE＝＝4，

∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1．

16．解：（1）∵5个项目中田赛项目有2个，

∴该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率为：；

故答案为：；

（2）画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的12种情况，

∴恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率为：＝．

17．解：（1）如图1，DE为所作：

（2）如图2，DE为所作：

四、解答题（每题8分，共24分）

18．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）如图，△A″B″C″即为所求，

∵A′C′＝＝3，

∴点A′运动的路径长度＝＝π．

19．解：（1）当x＝1时，作出图形如图1，

过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝，EC＝BC＝2，

∵CP＝1，

∴EP＝1，AP＝＝，

∴PD＝＝＝，

∴PA+PD＝+≈0.50，即y≈0.50，

当x＝3时，图形如图2，

过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝，EC＝BC＝2，

∵CP＝3，

∴EP＝1，AP＝＝＝3，

∴PD＝＝＝，

∴PA+PD＝3+≈0.60，即y≈0.60，

故答案为：0.50，0.60．

（2）通过描点﹣连线，作出函数图象如下，

．

（3）由图象可知，有最小值，也有最大值；当y＞5.5时，x的取值范围是x＞2.5，

∴正确的有②③，

故答案为：②③．

20．解：（1）设y＝kx+b，由图象可知，

，

解得：，

则y＝﹣4x+160；

（2）设销售利润为P，根据题意，

得：P＝（x﹣20）（﹣4x+160）

＝﹣4x2+240x﹣3200，

＝﹣4（x﹣30）2+400，

则当x＝30时，P最大值＝400，

答：当售价为30元/千克时，该品种苹果的每天销售利润最大，最大利润是400元．

五、解答题（每题9分，共18分）

21．（1）证明：连接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥BC，

即∠ADB＝90°，

∴AB是⊙O的直径；

（2）解：DE与⊙O相切，理由如下：

连接OD，

∵OB＝OA，BD＝DC，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

即∠ODE＝90°，

∵OD是半径，

∴DE与⊙O相切；

（3）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠DAE＝30°，

∵DE⊥AC，AD⊥BD，

∴AD＝2DE＝6，AB＝2BD，

在△ABD中，BD2+AD2＝AB2，

∴BD2+62＝（2BD）2，

解得：BD＝2，

∴AB＝2BD＝4，

∴⊙O的半径为2．

22．解：（1）SAS；△AFG；

（2）∠B+∠ADC＝180°；

（3）联想拓展

猜想：DE2＝BD2+EC2．理由如下：

把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE＝90°，

∴∠FAB＝∠CAE．BF＝CE，∠ABF＝∠C，

∴∠FAE＝∠BAC＝90°，

∵∠DAE＝45°，

∴∠FAD＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FAD＝∠DAE＝45°，

在△ADF和△ADE中，，

∴△ADF≌△ADE（SAS），

∴DF＝DE，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

∴∠C＝∠ABF＝45°，

∴∠DBF＝∠ABF+∠ABC＝90°，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2+BF2＝DF2，

∴BD2+EC2＝DE2．

六、解答题（共12分）

23．解：（1）把P（0，1）代入解析式得：c＝1，

∴y＝ax2+bx+1，

又∵抛物线与x轴只有一个公共点，

∴△＝b2﹣4a＝0，即，

∴，

当b＝﹣2时，a+b有最小值为﹣1；

（2）①∵抛物线与x轴只有一个公共点，

∴抛物线上的点在x轴的同一侧或x轴上，

∴抛物线上的点为P1，P3，

又∵P1，P3关于y轴对称，

∴顶点为原点（0，0），

设解析式为y＝ax2，

代入点P1得：，

②证明：

联立直线l和抛物线得：

，

即：x2﹣4kx﹣4＝0，

设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），

由韦达定理得：x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，

设线段MN的中点为T，设A的坐标为（m，﹣1），

则T的坐标为（2k，2k2+1），

∴AT2＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，

由题意得：，

∵△MAN是直角三角形，且MN是斜边，

∴，即：，

∴×16（k4+2k2+1）＝（2k﹣m）2+（2k2+2）2，

解得m＝2k，

∴A（2k，﹣1），

∴B（2k，k2），

∴C（2k，2k2+1），

∵，

∴B是AC的中点，

∴AB＝BC，

又∵△MAB与△MBC的高都是点M到直线AC的距离，

∴△MAB与△MBC的高相等，

∴△MAB与△MBC的面积相等．