安徽省合肥市蜀山区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)

这是一份安徽省合肥市蜀山区2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则下列点也在此函数图象上的是（　　）
A．（1，6） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
3．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．y轴 D．直线x＝2
4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝17，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝8cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
6．（4分）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．45°
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tanB＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（　　）

A． B．2 C． D．
9．（4分）在同一坐标系中，直线y＝ax+a和抛物线y＝﹣ax2+3x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知x：y＝1：2，则（x+y）：y＝　 　．
12．（5分）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件：　 　，使△ACD∽△ABC．

13．（5分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 　 　m．

14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1）在抛物线y＝x2+2bx+c上．
（1）c＝　 　（用含b的式子表示）；
（2）若将该抛物线向右平移t个单位（t≥），平移后的抛物线仍经过A（﹣1，1），则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为 　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：cos30°+2sin45°﹣tan60°．
16．（8分）如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，若设DE＝x，PN＝y．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）直接写出当x取何值时，矩形PQMN面积最大．

四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）在给定的网格中，以点M为旋转中心将线段AB顺时针旋转90°，得到线段A1B1（点A、B的对应点分别为A1、B1），画出线段A1B1；
（2）在给定的网格中，以点N为位似中心将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．

18．（8分）如图，一航船在A处测到北偏东60°方向上有一小岛B，航船向正东方向以40海里/小时的速度航行1.5小时到达C处，又测到小岛B在北偏东15°方向上．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求A处到小岛B的距离AB（结果保留整数）；
（2）已知小岛B周围42海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？

五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB＝90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F．
（1）求证：△ABD∽△DBC；
（2）若BC：AB＝2：3，BD＝14，求BF的长．

20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标．

六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）某公司销售一种商品，进价为20元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与当天的销售单价x
（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
销售单件（元/件）
30
35
40
日销售量
500
450
400
（1）求y与x的关系式；
（2）水该商品每天获得的利润w（元）的最大值；
（3）若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为m元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该公司为了不亏本，至少需按30元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过52元/件，在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，则m的最小值为 　 　．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和BE，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．
（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；
（2）求证：△ACB∽△AED；
（3）若α＝30°，求的值．


2021-2022学年安徽省合肥市蜀山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则下列点也在此函数图象上的是（　　）
A．（1，6） B．（3，﹣2） C．（3，2） D．（﹣3，﹣2）
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，3），
∴k＝xy＝﹣2×3＝﹣6，
∴y＝，
故四个选项中，只有B（3，﹣2）在此函数上，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确同一反比例函数图象上点的坐标符合k＝xy是解题的关键．
3．（4分）抛物线y＝﹣2x2﹣1的对称轴是（　　）
A．直线x＝ B．直线x＝﹣ C．y轴 D．直线x＝2
【分析】由于a＝﹣2＜0，图象开口向下；由于b＝0，对称轴x＝﹣＝0．
【解答】解：因为a＝﹣2＜0，所以开口向下；
根据对称轴公式x＝﹣，可得对称轴x＝0．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣是解答此题的关键．
4．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝17，则cosA的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据勾股定理求出AC，然后再利用余弦的定义解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8，AB＝17，
∴AC＝＝＝15，
∴cosA＝＝，
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键．
5．（4分）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边BC＝8cm，内部△DEF的各边与△ABC的各边分别平行，且它的斜边EF＝4cm，则△DEF的面积与阴影部分的面积比为（　　）

A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
【分析】根据已知把EF向两边延长，交AB 于点G，交AC于点H，先证明△ABC∽△DEF，然后求出它们的面积比即可解答．
【解答】解：把EF向两边延长，交AB 于点G，交AC于点H，

∵GH∥BC，
∴∠B＝∠AGH，∠C＝∠AHG，
∵DE∥AB，
∴∠AGH＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∵DF∥AC，
∴∠AHG＝∠DFE，
∴∠C＝∠DFE，
∴△ABC∽△DEF，
∵BC＝8cm，EF＝4cm，
∴＝（）2＝，
∴△DEF的面积与阴影部分的面积比为：1：3，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，根据题目法已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
6．（4分）关于二次函数y＝﹣（x+2）2﹣1，下列说法错误的是（　　）
A．图象开口向下
B．图象顶点坐标是（﹣2，﹣1）
C．当x＞0时，y随x增大而减小
D．图象与x轴有两个交点
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
【解答】解：因为a＝﹣1＜0，所以图象开口向下，
故A正确；
顶点坐标是（﹣2，﹣1），
故B正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣2．
∴当x＞﹣2时，y随x增大而减小，
∴当x＞0时，y随x增大而减小，
故C正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，﹣1）
∴抛物线与x轴没有交点，
故D错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
7．（4分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B＝55°，则∠CAD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．45°
【分析】连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠ACD＝90°，∠D＝∠B＝55°，然后利用互余关系计算∠CAD的度数．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠B＝55°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣55°＝35°．
故选：C．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝45°，tanB＝，AD⊥BC于点D，AC＝2，若E、F分别为AC、BC的中点，则EF的长为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】根据已知可得∠B＝60°，先在RtACD中求出AD的长，再在Rt△ABD中求出AB的长，最后利用三角形的中位线定理即可解答．
【解答】解：在Rt△ACD中，AC＝2，∠C＝45°，
∴AD＝ACsin45°＝2×＝2，
∵tanB＝，
∴∠B＝60°，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝4，
∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．（4分）在同一坐标系中，直线y＝ax+a和抛物线y＝﹣ax2+3x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+a图象得到a的正负，再与二次函数y＝﹣ax2+3x+2（a是常数，且a≠0）的图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象应该开口向上，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项错误；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，则﹣a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，则﹣a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+3x+2的图象应该开口向上，对称轴在y轴的左侧，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10．（4分）如图，矩形ABCD中，∠BAC＝60°，点E在AB上，且BE：AB＝1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE＝CF，设AB＝m，根据BE：AB＝1：3，可得CF＝BE＝m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
【解答】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵O是EF的中点，
∴OB＝OE＝OF，
∵∠EGF＝90°，O是EF的中点，
∴OG＝OE＝OF，
∴OB＝OG＝OE＝OF，
∴B，E，G，F在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG＝∠EFG，
∵∠EGF＝90°，EG＝FG，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
∴∠EBG＝45°，
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
∴当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，

∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠GBC＝ABC＝45°，
∵CG⊥BG，
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC＝90°，
∴BG＝CG，
∵∠EGF＝∠BGC＝90°，
∴∠EGF﹣∠BGF＝∠BGC﹣∠BGF，
∴∠EGB＝∠FGC，
在△EGB和△FGC中，
，
∴△EGB≌△FGC（SAS），
∴BE＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，
设AB＝m，
∵BE：AB＝1：3，
∴CF＝BE＝m，
在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝2m，
∴BC＝＝m，
∴AD＝m，
∴＝＝．
故选：A．
【点评】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）已知x：y＝1：2，则（x+y）：y＝　3：2　．
【分析】首先根据已知条件x：y＝1：2，得出y＝2x，然后代入所求式子即可．
【解答】解：∵x：y＝1：2，
∴y＝2x，
∴（x+y）：y＝3x：2x＝3：2．
故答案为3：2．
【点评】解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
12．（5分）如图，D是△ABC边AB延长线上一点，请添加一个条件：　∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或　，使△ACD∽△ABC．

【分析】根据相似三角形的判定可得出结论．
【解答】解：添加：∠ACD＝∠ABC．
∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ABC∽△ACD．
添加：∠ACB＝∠D．
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠D，
∴△ABC∽△ACD．
添加：．
∵∠A＝∠A，，
∴△ABC∽△ACD．
故答案为：∠ACD＝∠ABC或∠ACB＝∠D或．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
13．（5分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 　12.5　m．

【分析】根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为rm，连接OA．根据垂径定理得AD＝10m，再由勾股定理求解即可．
【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是rm，连接OA．
根据垂径定理，得：AD＝AB＝10m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝102+（r﹣5）2，
解得：r＝12.5，
即该拱桥的半径为12.5m，
故答案为：12.5．

【点评】此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，1）在抛物线y＝x2+2bx+c上．
（1）c＝　2b　（用含b的式子表示）；
（2）若将该抛物线向右平移t个单位（t≥），平移后的抛物线仍经过A（﹣1，1），则平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为 　　．
【分析】（1）由点A（﹣1，1）在抛物线y＝x2+2bx+c上，即可得c＝2b；
（2）将该抛物线向右平移t个单位得y＝（x+b﹣t）2﹣b2+2b，而平移后的抛物线仍经过A（﹣1，1），可解得t＝2b﹣2，故平移后抛物线为y＝（x﹣b+2）2﹣b2+2b，顶点为（b﹣2，﹣b2+2b），由t≥即得即b≥，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，1）在抛物线y＝x2+2bx+c上，
∴1＝1﹣2b+c，
∴c＝2b；
（2）由（1）得c＝2b，
∴抛物线为y＝x2+2bx+2b＝（x+b）2﹣b2+2b，
将该抛物线向右平移t个单位得y＝（x+b﹣t）2﹣b2+2b，
∵平移后的抛物线仍经过A（﹣1，1），
∴1＝（﹣1+b﹣t）2﹣b2+2b，
解得t＝0（舍去）或t＝2b﹣2，
∴平移后抛物线为y＝（x﹣b+2）2﹣b2+2b，顶点为（b﹣2，﹣b2+2b），
∴平移后抛物线的顶点纵坐标为﹣b2+2b＝﹣（b﹣1）2+1，
∵t≥，
∴2b﹣2≥，即b≥，
∴b＝时，平移后抛物线的顶点纵坐标的最大值为﹣（﹣1）2+1＝，
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是用含b的代数式表示平移后抛物线的顶点坐标..
三、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
15．（8分）计算：cos30°+2sin45°﹣tan60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：cos30°+2sin45°﹣tan60°
＝+2×﹣×
＝+﹣
＝．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16．（8分）如图，在△ABC中，BC＝10，BC边上的高AD＝10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，若设DE＝x，PN＝y．
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）直接写出当x取何值时，矩形PQMN面积最大．

【分析】（1）根据矩形的性质证明△APN∽△ABC，对应边成比例即可得y与x之间的函数表达式；
（2）根据矩形面积列出二次函数，然后根据二次函数的性质即可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形PQMN是矩形，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴y＝10﹣x（0＜x＜10），
（2）S矩形PQMN＝DE•PN＝x（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+25，
∴当x＝5时，S矩形pqmn最大＝25．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、二次函数的最值等知识；得到△APN∽△ABC是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，总计16分）
17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10的网格中，给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．
（1）在给定的网格中，以点M为旋转中心将线段AB顺时针旋转90°，得到线段A1B1（点A、B的对应点分别为A1、B1），画出线段A1B1；
（2）在给定的网格中，以点N为位似中心将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2（点A、B、C的对应点分别为A2、B2、C2），画出△A2B2C2．

【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，线段A1B1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求．

【点评】本题考查作图﹣位似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质，属于中考常考题型．
18．（8分）如图，一航船在A处测到北偏东60°方向上有一小岛B，航船向正东方向以40海里/小时的速度航行1.5小时到达C处，又测到小岛B在北偏东15°方向上．（参考数据：≈1.414，≈1.732）
（1）求A处到小岛B的距离AB（结果保留整数）；
（2）已知小岛B周围42海里内有暗礁，问：航船继续向正东方向航行，有无触礁危险？

【分析】（1）过C作CD⊥AB，垂足为D，在直角△ACD中，根据三角函数求得CD的长，再在直角△BCD中运用三角函数即可求解；
（2）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，根据三角形的面积公式出BE，与42海里比较即可．
【解答】解：（1）作CD⊥AB，垂足为点D．
根据题意可得，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°+15°＝105°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝45°，
∵AC＝40×1.5＝60（海里），
在Rt△ACD中，
∵sin∠CAD＝，cos∠CAD＝，
∴DC＝AC•sin30°＝60×＝30（海里），AD＝AC•cos30°＝60×＝30≈52（海里），
在Rt△BCD中，
∵tan∠B＝，
∴BD＝＝＝30（海里），
∴AB＝AD+BD＝82（海里）．
答：A处到小岛B的距离AB约82海里；
（2）过点B作BE⊥AC，垂足为点E，
∵S△ABC＝AC•BE＝AB•CD，
∴BE＝≈＝41（海里）＜42海里，
答：航船继续向正东方向航行，有触礁危险．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．（10分）如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB＝∠DCB＝90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F．
（1）求证：△ABD∽△DBC；
（2）若BC：AB＝2：3，BD＝14，求BF的长．

【分析】（1）由BD平分∠ABC得到∠ABD＝∠CBD，然后结合∠ADB＝∠DCB得证△ABD∽△DBC；
（2）先由相似三角形的性质得到AB与BC的长，然后由点E是AB的中点得到DE＝BE，从而有∠EDB＝∠EBD，再结合∠EBD+∠A＝90°、∠A＝∠CDB得到∠EDC＝90°，即有DE∥BC，进而得到△FDE∽△FBC，最后由相似三角形的性质求得BF的长．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠DCB＝90°，
∴△ABD∽△DBC；
（2）解：∵△ABD∽△DBC，
∴，∠CDB＝∠A，
∵BC：AB＝2：3，BD＝14，
∴BC•AB＝BD2，即142＝AB•AB，
∴AB＝7，
∴BC＝AB＝×7＝，
∵点E是AB的中点，
∴DE＝BE＝AB＝，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠EDB+∠CDB＝∠EBD+∠A＝180°﹣∠ADB＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EDC＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴ED∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴＝＝，
∴BF＝BD＝×14＝8．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理．
20．（10分）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且△ABP的面积为6，求出点P的坐标．

【分析】（1）由一次函数y＝﹣x+1求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的表达式；
（2）由一次函数y＝﹣x+1求得C的坐标，然后根据三角形面积公式求得PC，进一步即可求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y＝的图象分别交于点A、B，且点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为4，
把x＝﹣2代入y＝﹣x+1得，y＝﹣（﹣2）+1＝2，
∴A（﹣2，2），
把x＝4代入y＝﹣x+1得，y＝﹣+1＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∴k＝﹣2×2＝﹣4，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，
∴C（0，1），
∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝CP（4+2）＝6，
∴CP＝2，
∵P（0，3）或（0，﹣1）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
六、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
21．（12分）如图，以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，点D、E在⊙O上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长交AC于点C，AE与BC交于点F．
（1）求证：∠DAC＝∠DEA；
（2）若点E是BD的中点，⊙O的半径为3，BF＝2，求AC的长．

【分析】（1）由AB为⊙O的直径得到∠DAB+∠DBA＝90°，由AC与⊙O相切于点A得∠DAC+∠DAB＝90°，进而得到∠DAC＝∠DBA，然后由圆周角定理得到∠DEA＝∠DBA，最后得到∠DAC＝∠DEA；
（2）先由点E是弧BD的中点得到∠DAE＝∠BAE，然后由∠CAD＝∠DBA得到∠CAF＝∠CFA，进而得到CA＝CF，然后设CA＝CF＝x，最后用勾股定理列出方程求得x的值，即可得到AC的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵AC与⊙O相切于点A，
∴∠DAC+∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠DBA，
∵∠DEA＝∠DBA，
∴∠DAC＝∠DEA；
（2）解：∵点E是弧BD的中点，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵∠CAD＝∠DBA，∠CAF＝∠CAD+∠DAF，∠CFA＝∠EAB+∠DBA，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴CA＝CF，
设CA＝CF＝x，则BC＝BF+CF＝2+x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，
∴62+x2＝（2+x）2，
解得：x＝8，
∴AC＝8．
【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得∠CAD＝∠DBA．
七、（本大题共1小题，每小题12分，总计12分）
22．（12分）某公司销售一种商品，进价为20元/件，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与当天的销售单价x
（元/件）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如表：
销售单件（元/件）
30
35
40
日销售量
500
450
400
（1）求y与x的关系式；
（2）水该商品每天获得的利润w（元）的最大值；
（3）若因批发商调整进货价格，该商品的进价变为m元，该公司每天的销量与当天的销售单价的关系不变，该公司为了不亏本，至少需按30元/件销售，而物价部门规定，销售单价不超过52元/件，在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，则m的最小值为 　24元/件　．
【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；
（3）根据日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）列出函数解析式，求出函数对称轴为x＝40+，再根据在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，30≤x≤52，得出40+≥52，解得m≥24，从而得出结论．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b，
将（30，500）和（35，450）代入，
可得：，
解得：，
∴y与x的关系式为y＝﹣10x+800；
（2）由题意得：w＝（x﹣20）y
＝（x﹣20）（﹣10x+800）
＝﹣10x2+1000x﹣16000
＝﹣10（x﹣50）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝50时，w有最大值，最大值为9000，
∴该商品每天获得的利润w的最大值为9000元；
（3）由题意得：w＝（x﹣m）（﹣10x+800）
＝﹣10x2+（800+10m）x﹣800m，
∵﹣10＜0，
∴抛物线开口向下，
对称轴为直线x＝40+，
∵在实际销售过程中，发现该商品每天获得的利润随x的增大而增大，30≤x≤52，
∴40+≥52，
解得：m≥24，
∴m最小值为24，
故答案为：24元/件．
【点评】本题考查一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
八、（本大题共1小题，每小题14分，总计14分）
23．（14分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为边BC上一动点（不与B、C重合），BD和AD的垂直平分线交于点E，连接AD、AE、DE和BE，ED与AB相交于点F，设∠BAE＝α．
（1）请用含α的代数式表示∠BED的度数；
（2）求证：△ACB∽△AED；
（3）若α＝30°，求的值．

【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得出AE＝DE，DE＝BE，由等腰三角形的性质得出结论；
（2）证出∠C＝∠AED＝90°，由相似三角形的判定可得出结论；
（3）设EF＝x，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得出AE＝x，CD＝x，则可得出答案．
【解答】（1）解：∵BD和AD的垂直平分线交于点E，
∴AE＝DE，DE＝BE，
∴AE＝BE，
∴∠EBA＝∠EAB＝α，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠DBE＝45°+α，
∴∠BDE＝∠DBE＝45°+α，
∴∠BED＝180°﹣2∠DBE＝90°﹣2α；
（2）证明：

∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠3+∠DAB＝∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵BD和AD的垂直平分线交于点E，
∴AE＝ED＝BE，
∴∠1＝∠2，∠1+∠CBA＝∠EDB，
∴∠CAB+∠2＝∠1+∠CBA，
即∠EDB＝∠CAE，
∵∠EDB+∠CDE＝180°，
∴∠CAE+∠CDE＝180°，
∵∠CAE+∠C+∠CDE+∠A ED＝360°，
∴∠C+∠AED＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴∠C＝∠AED＝90°，
∵AC：BC＝AE：ED＝1，
∴△ACB∽△AED；
（3）解：当α＝30°时，∠BED＝90°﹣60°＝30°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠BED＝120°﹣30°＝90°，
∵AE＝ED，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝75°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDE＝60°，
设EF＝x，则AE＝x，
∴AD＝AE＝x，
∴CD＝x，
∴＝．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，证明△ACB∽△AED是解题的关键．