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    福建省宁德市2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(含答案)

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    福建省宁德市2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(含答案)

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    这是一份福建省宁德市2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(含答案),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022学年福建省宁德市九年级(上)期末数学试卷
    一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.(4分)若=,则的值为(  )
    A.1 B. C. D.
    2.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,若AB=12,则CD的长是(  )

    A.12 B.6 C.4 D.3
    3.(4分)已知一个几何体如图所示,则该几何体的俯视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    4.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=(  )
    A.30° B.45° C.60° D.90°
    5.(4分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长为(  )

    A.4 B.5 C.6 D.7
    6.(4分)关于二次函数y=(x﹣1)2﹣2,下列说法正确的是(  )
    A.有最大值1 B.有最小值﹣1 C.有最大值2 D.有最小值﹣2
    7.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是(  )
    A.8 B.9 C.10 D.11
    8.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心是点P,其位似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比是(  )

    A.1:2 B.1:4 C.1: D.1:8
    9.(4分)已知点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )
    A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
    10.(4分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表示,则下列判断正确的是(  )

    A.S1=4S2 B.S4=3S2 C.S1=S3 D.S3=S4
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分
    11.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA=   .
    12.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是   .
    13.(4分)若抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),则k的值是    .
    14.(4分)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点C的坐标是(3,2),则点A的坐标是    .

    15.(4分)如图,已知在电线杆AB上有一个光源,身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处,其影长CE=1m,若他沿AC方向走3m到达点F处,此时他的影长是    m.(图中CD,FG均表示小明身高)

    16.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣2,y1),(m﹣3,n),(﹣1,0),(3,y2),(7﹣m,n).则下列四个结论①y1>y2;②5a+c=0;③方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5;④对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣3a中,正确结论是    (填写序号).
    三、解答题:本题共9小题,共86分。
    17.(8分)解方程:x2+4x﹣2=0.
    18.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.求证:AE=AF.

    19.(8分)已知变量y与x成反比例函数关系,其部分对应数值如表格所示:
    x

    1
    2
    3
    4
    6

    y

    6
    a
    2
    1.5
    1

    (1)求y与x的函数关系式,及表中a的值;
    (2)根据表格中对应数值,在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象.

    20.(8分)为杜绝家禽散养,美化环境,乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地,围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所,并用隔栏隔成两个等宽的矩形,圈养场一边利用长为8m的墙,另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成.已知该场所的总面积为18m2,求与墙平行的边BC的长.

    21.(8分)自卸式货车可以实现自动卸货,其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度,如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图,其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO=2.4m,伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO=2m,当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB=37°时,求液压臂AB的长.(结果保留根号,参考数据sin37°=,cos37°=,tan37°=)

    22.(10分)某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩,吸引了大量学生参与.规则是:付3元钱摸彩一次,每次从奖箱中摸出两个球,若两个球中一个是红球,则奖励3元;若两个球都是红球则奖励10元;若摸到的两个球都是白球则无奖金.为了揭示摸彩的危害性,经打探得知奖箱中共有6个球,其中4个是白球,2个是红球.
    (1)若花3元钱摸一次彩,求能获奖的概率;
    (2)从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算.
    23.(10分)如图,已知▱ABCD,点F在AB延长线上,CF⊥AB.
    (1)尺规作图:在BC边上找一点E,使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹,不写作法,不必证明);
    (2)在(1)条件下,若点E为BC中点,AD=8,BF=3,求AB的长.

    24.(13分)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,点E是AD边上的动点,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在点F处,连接FC,FD.
    (1)当点E是AD中点时,求证:∠AEB=∠EDF;
    (2)当AB=6,BC=10时,求sin∠FCB的最大值;
    (3)当AB2=AE•BC时,求证:点F在线段AC上.

    25.(13分)已知抛物线G1:y=﹣x2+2mx+m和G2:y=﹣x2+2nx+n(n>m)相交于点A,过点A的直线l:y=kx+b与抛物线G1交于另一点B,与抛物线G2交于另一点C,抛物线G1的顶点为点M,抛物线G2的顶点为点N.
    (1)直接写出顶点M的坐标;(用含m的式子表示)
    (2)当m=﹣3,n=2,且直线l∥x轴时,求证:MB=NA;
    (3)当k≠0时,若AB=AC,求直线l的表达式.(用含m,n的式子表示)


    2021-2022学年福建省宁德市九年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
    1.(4分)若=,则的值为(  )
    A.1 B. C. D.
    【分析】根据合分比性质求解.
    【解答】解:∵=,
    ∴==.
    故选:D.
    【点评】考查了比例性质:常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.
    2.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,若AB=12,则CD的长是(  )

    A.12 B.6 C.4 D.3
    【分析】根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
    【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,AB=12,
    则CD=AB=×12=6,
    故选:B.
    【点评】本题考查的是直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
    3.(4分)已知一个几何体如图所示,则该几何体的俯视图是(  )

    A. B.
    C. D.
    【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
    【解答】解:从上面可看,是一个矩形,矩形的中间有一条纵向的实线,实线的两侧分别有一条纵向的虚线.
    故选:A.
    【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
    4.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=(  )
    A.30° B.45° C.60° D.90°
    【分析】根据特殊角的三角函数值解答.
    【解答】解:∵∠α为锐角,且sinα=,
    ∴∠α=30°.
    故选:A.
    【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值,属较简单题目.
    5.(4分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长为(  )

    A.4 B.5 C.6 D.7
    【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解即可得到答案.
    【解答】解:∵DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,
    ∴,
    ∴,
    解得:AE=6,
    故选:C.
    【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用,熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键.
    6.(4分)关于二次函数y=(x﹣1)2﹣2,下列说法正确的是(  )
    A.有最大值1 B.有最小值﹣1 C.有最大值2 D.有最小值﹣2
    【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式,可得顶点坐标,进而根据二次函数的性质得出答案.
    【解答】解:∵二次函数y=(x﹣1)2﹣2,
    ∴其图象开口向上,其顶点为(1,﹣2).
    ∴函数的最小值为﹣2.
    故选:D.
    【点评】本题考查了二次函数的最值,明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键.
    7.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是(  )
    A.8 B.9 C.10 D.11
    【分析】根据判别式的意义得到Δ=(﹣6)2﹣4m>0,然后解关于m的不等式,最后对各选项进行判断.
    【解答】解:根据题意得Δ=(﹣6)2﹣4m>0,
    解得m<9.
    故选:A.
    【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
    8.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心是点P,其位似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比是(  )

    A.1:2 B.1:4 C.1: D.1:8
    【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.
    【解答】解:∵△ABC与△DEF是位似图形,其位似比为1:2,
    ∴其位似比为1:4.
    故选:B.
    【点评】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方.
    9.(4分)已知点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )
    A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
    【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1,y2,y3的大小,从而可以解答本题.
    【解答】解:∵点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,
    ∴该函数在每个象限内,y随x的增大而减小,函数图象在第一、三象限,
    ∵﹣7<﹣4,0<5,
    ∴y2<y1<0<y3,
    即y2<y1<y3,
    故选:D.
    【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.
    10.(4分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表示,则下列判断正确的是(  )

    A.S1=4S2 B.S4=3S2 C.S1=S3 D.S3=S4
    【分析】设AB=a.求出△ADE,△ABC的面积(用a表示),可得结论.
    【解答】解:设AB=a.
    ∵E是AB的黄金分割点,AE>EB,
    ∴AD=AE=a,BE=BC=a(1﹣)=a,
    ∴S△ADE=•(a)2=a2,S△ABC=×a×a=a2,
    ∴S△ADE=S△ABC,
    即S1+S2=S2+S3,
    ∴S1=S3,
    故选:C.
    【点评】本题考查黄金分割,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
    11.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA=  .
    【分析】根据正弦的定义解答.
    【解答】解:在Rt△ABC中,sinA==,
    故答案为:.
    【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
    12.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是 x1=0,x2=2 .
    【分析】本题应对方程左边进行变形,提取公因式x,可得x(x﹣2)=0,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0.”,即可求得方程的解.
    【解答】解:原方程变形为:x(x﹣2)=0,
    x1=0,x2=2.
    故答案为:x1=0,x2=2.
    【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.
    13.(4分)若抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),则k的值是  0 .
    【分析】由抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出2=1﹣k+1,解之即可得出k值.
    【解答】解:∵抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),
    ∴2=1﹣k+1,
    ∴k=0.
    故答案为:0.
    【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,牢记图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键.
    14.(4分)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点C的坐标是(3,2),则点A的坐标是  (﹣2,3) .

    【分析】作AD⊥y轴于点D,CE⊥x轴于点E,先证明△AOD≌△COE,因为C(3,2),所以OD=OE=3,AD=CE=2,再根据点A在第二象限求出点A的坐标.
    【解答】解:如图,作AD⊥y轴于点D,CE⊥x轴于点E,则∠ADO=∠CEO=90°,
    ∵四边形OABC是正方形,
    ∴∠AOC=∠DOE=90°,OA=OC,
    ∴∠AOD=∠COE=90°﹣∠COD,
    在△AOD和△COE中,

    △AOD≌△COE(AAS),
    ∵C(3,2),
    ∴OD=OE=3,AD=CE=2,
    ∵点A在第二象限,
    ∴A(﹣2,3),
    故答案为:(﹣2,3).

    【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
    15.(4分)如图,已知在电线杆AB上有一个光源,身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处,其影长CE=1m,若他沿AC方向走3m到达点F处,此时他的影长是  2 m.(图中CD,FG均表示小明身高)

    【分析】根据题意得到AB⊥AM.DC⊥AM,GF⊥AM,得到CD∥AB,GF∥AB,根据相似三角形的性质即可得到结论.
    【解答】解:如图,∵AB⊥AM.DC⊥AM,GF⊥AM,
    ∴CD∥AB,GF∥AB,
    ∴△EDC∽△EBA,△MGF∽△MBA,
    ∴=,=,
    ∴=,=,
    解得:FM=2,
    答:此时他的影长是2m,
    故答案为:2.

    【点评】本题看了相似三角形的应用:利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边,利用视点和盲区的知识构建相似三角形,用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
    16.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣2,y1),(m﹣3,n),(﹣1,0),(3,y2),(7﹣m,n).则下列四个结论①y1>y2;②5a+c=0;③方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5;④对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣3a中,正确结论是  ①②③ (填写序号).
    【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴,利用对称轴方程可得a,b的关系,用待定系数法将(﹣1,0)代入,可得c与a的关系,利用配方法可求得抛物线的顶点坐标,由此可画出函数的大致图象,利用图象可判定①正确;将a,b关系式代入a﹣b+c=0可得②正确;令y=0解方程即可判定③正确;利用函数的最小值可判定④不正确.
    【解答】解:∵a>0,
    ∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上.
    ∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(m﹣3,n),(7﹣m,n),
    ∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==2.
    ∴﹣=2.
    ∴b=﹣4a.
    ∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣1,0),
    ∴a﹣b+c=0.
    ∴a﹣(﹣4a)+c=0.
    ∴5a+c=0.
    ∴c=﹣5a.
    ∴二次函数的解析式为:y=ax2﹣4ax﹣5a.
    ∵y=ax2﹣4ax﹣5a=a(x﹣2)2﹣9a,
    ∴它的大致图象如下图:

    由图象可知:y1>y2,
    ∴①的说法正确;
    ∵a﹣b+c=0,b=﹣4a,
    ∴5a+c=0.
    ∴②的说法正确;
    令y=0,则ax2+bx+c=0.
    ∵b=﹣4a,c=﹣5a,
    ∴ax2﹣4ax﹣5a=0.
    ∵a>0,
    即x2﹣4x﹣5=0.
    解得:x1=﹣1,x2=5,
    ∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5.
    ∴③的说法正确;
    ∵y=ax2﹣4ax﹣5a=a(x﹣2)2﹣9a,a>0,
    ∴当x=2时,y有最小值为﹣9a,
    ∴对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣9a.
    ∴④的说法不正确.
    综上,正确结论是:①②③,
    故答案为:①②③.
    【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质,待定系数法,数形结合法,配方法,二次函数图象上点的坐标的特征,利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
    三、解答题:本题共9小题,共86分。
    17.(8分)解方程:x2+4x﹣2=0.
    【分析】先移项,得x2+4x=2,再在两边同时加上22,再利用平方法即可解出原方程.
    【解答】解:移项,得x2+4x=2,
    两边同加上22,得x2+4x+22=2+22,
    即(x+2)2=6,
    利用开平方法,得或,
    ∴原方程的根是,.
    【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,难度适中.
    18.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.求证:AE=AF.

    【分析】根据菱形的性质得到OB=OD,AC⊥BD,得到OF=OE,根据线段垂直平分线的性质即可得到AE=AF.
    【解答】证明:四边形ABCD是菱形,
    ∴OB=OD,AC⊥BD,
    ∵BE=DF,
    ∴OB﹣BE=OD﹣DF,
    即OF=OE,
    ∴AE=AF.
    【点评】本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
    19.(8分)已知变量y与x成反比例函数关系,其部分对应数值如表格所示:
    x

    1
    2
    3
    4
    6

    y

    6
    a
    2
    1.5
    1

    (1)求y与x的函数关系式,及表中a的值;
    (2)根据表格中对应数值,在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象.

    【分析】(1)设y与x成反比例函数关系式为y=(k≠0),再将(1,6)代入即可求出k,把x=2代入关系式可求出a;
    (2)描点,连线即可.
    【解答】解:(1)设y与x成反比例函数关系式为y=(k≠0),
    由表格中的数据可知,当x=1时,y=6,
    ∴6=,解得k=6,
    ∴y与x成反比例函数关系式为y=,
    当x=2时,y==3,即a的值为3.
    (2)根据表格中的数据在坐标系上画出函数图象(x>0),如下图所示:

    【点评】本题考查的是反比例函数的定义,即形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.
    20.(8分)为杜绝家禽散养,美化环境,乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地,围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所,并用隔栏隔成两个等宽的矩形,圈养场一边利用长为8m的墙,另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成.已知该场所的总面积为18m2,求与墙平行的边BC的长.

    【分析】设与墙垂直的一边长AB=xm,则与墙平行的一边长为BC=(15﹣3x)m,根据花圃面积为18m2即可列出关于x的一元二次方程,此题得解.
    【解答】解:设与墙垂直的一边长AB=xm,则与墙平行的一边长为BC=(15﹣3x)m,
    根据题意得:AB•BC=18,
    即x(15﹣3x)=18.
    解得:x1=2,x2=3,
    当x=2时,15﹣3x=9>8(舍去),
    当x=3时,15﹣3x=6<8,
    则15﹣3x=6m.
    答:与墙平行的边BC的长6m.
    【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用,根据场所的面积列出关于x的一元二次方程是解决问题的关键.
    21.(8分)自卸式货车可以实现自动卸货,其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度,如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图,其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO=2.4m,伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO=2m,当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB=37°时,求液压臂AB的长.(结果保留根号,参考数据sin37°=,cos37°=,tan37°=)

    【分析】过点B作BC⊥OA于C,先在Rt△OBC中求出BC,OC,再求出AC,然后在Rt△ABC中求出AB即可解决问题.
    【解答】解:过点B作BC⊥OA于C,如图.
    在Rt△OBC中,∠OCB=90°,∠BOC=37°,BO=2,
    ∴BC=OB•sin∠BOC=2×=,
    OC=OB•cos∠BOC=2×=,
    ∴AC=OA﹣OC=2.4﹣=,
    在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,
    ∴AB===.
    故液压臂AB的长为m.

    【点评】本题考查了解直角三角形,解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
    22.(10分)某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩,吸引了大量学生参与.规则是:付3元钱摸彩一次,每次从奖箱中摸出两个球,若两个球中一个是红球,则奖励3元;若两个球都是红球则奖励10元;若摸到的两个球都是白球则无奖金.为了揭示摸彩的危害性,经打探得知奖箱中共有6个球,其中4个是白球,2个是红球.
    (1)若花3元钱摸一次彩,求能获奖的概率;
    (2)从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算.
    【分析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可,找出符合条件的情况数,再根据概率公式即可得出答案;
    (2)求出奖金平均数,再与3进行比较,即可得出答案.
    【解答】解:(1)根据题意列表如下:









    (白,白)
    (白,白)
    (白,白)
    (白,红)
    (白,红)

    (白,白)

    (白,白)
    (白,白)
    (白,红)
    (白,红)

    (白,白)
    (白,白)

    (白,白)
    (白,红)
    (白,红)

    (白,白)
    (白,白)
    (白,白)

    (白,红)
    (白,红)

    (红,白)
    (红,白)
    (红,白)
    (红,白)

    (红,红)

    (红,白)
    (红,白)
    (红,白)
    (红,白)
    (红,红)

    共有30种等可能的情况数,其中能获奖的有18种,
    则能获奖的概率是=;

    (2)摸彩对参与的学生不合算,
    奖金平均数是:×3+×10=<3,
    则摸彩对参与的学生不合算.
    【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    23.(10分)如图,已知▱ABCD,点F在AB延长线上,CF⊥AB.
    (1)尺规作图:在BC边上找一点E,使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹,不写作法,不必证明);
    (2)在(1)条件下,若点E为BC中点,AD=8,BF=3,求AB的长.

    【分析】(1)过点D作DE⊥BC于点E即可;
    (2)根据勾股定理求出CB的长,再根据△DCE∽△CBF,对应边成比例即可求解.
    【解答】(1)解:如图,点E即为所求;

    (2)在▱ABCD中,BC=AD=8,AB=CD,
    ∵CF⊥AB,BF=3,
    ∴CB===,
    ∵点E为BC中点,
    ∴CE=BE=BC=4,
    ∵△DCE∽△CBF,
    ∴=,
    ∴=,
    ∴DC=,
    ∴AB=DC=.
    【点评】本题考查了作图﹣复杂作图,相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握基本作图方法.
    24.(13分)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,点E是AD边上的动点,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在点F处,连接FC,FD.
    (1)当点E是AD中点时,求证:∠AEB=∠EDF;
    (2)当AB=6,BC=10时,求sin∠FCB的最大值;
    (3)当AB2=AE•BC时,求证:点F在线段AC上.

    【分析】(1)利用中点、折叠的性质和等腰三角形性质即可证得结论;
    (2)如图2,过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G,则∠BGC=90°,以点B为圆心、AB长为半径作⊙B,则点F在⊙B上运动,根据sin∠FCB==,可知:sin∠FCB的值随BG的增大而增大,BG越大则sin∠FCB的值越大,当点G与点F重合时,BG=FB=6,此时BG最大,sin∠FCB的值也最大,再根据三角函数定义即可求得答案;
    (3)由AB2=AE•BC,可得=,再由矩形性质可得∠ABC=∠EAB=90°,可证得△ABC∽△EAB,BE⊥AC,再根据折叠可得AF⊥BE,根据过一点有且只有一条直线与已知垂直,即可证得结论.
    【解答】(1)证明:由折叠性质得,AE=EF,∠AEB=∠BEF,
    ∵E是AD的中点,
    ∴AE=ED,
    ∴ED=EF,
    ∴∠EDF=∠EFD,
    ∵∠FED+∠EDF+∠EFD=180°,∠AEB+∠BEF+∠FED=180°,
    ∴∠AEB=∠EDF;
    (2)解:如图2,过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G,则∠BGC=90°,
    以点B为圆心、AB长为半径作⊙B,则点F在⊙B上运动,
    ∵sin∠FCB==,
    ∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大,
    ∴BG越大则sin∠FCB的值越大,
    ∵BG≤FB,
    ∴当点G与点F重合时,BG=FB=6,此时BG最大,sin∠FCB的值也最大,
    如图3,当点G与点F重合时,则∠BFC=90°,
    此时sin∠FCB===,
    ∴sin∠FCB的最大值为;
    (3)证明:如图3,
    ∵AB2=AE•BC,
    ∴=,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴∠ABC=∠EAB=90°,
    ∴△ABC∽△EAB,
    ∴∠ACB=∠EBA,
    ∵∠EBA+∠CBT=∠ABC=90°,
    ∴∠BTC=90°,
    ∴BE⊥AC,
    ∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF,
    ∴A、F关于BE对称,
    ∴AF⊥BE,
    ∴点F在线段AC上.



    【点评】本题是相似三角形综合题,考查了矩形的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线,此题难度较大,属于考试压轴题.
    25.(13分)已知抛物线G1:y=﹣x2+2mx+m和G2:y=﹣x2+2nx+n(n>m)相交于点A,过点A的直线l:y=kx+b与抛物线G1交于另一点B,与抛物线G2交于另一点C,抛物线G1的顶点为点M,抛物线G2的顶点为点N.
    (1)直接写出顶点M的坐标;(用含m的式子表示)
    (2)当m=﹣3,n=2,且直线l∥x轴时,求证:MB=NA;
    (3)当k≠0时,若AB=AC,求直线l的表达式.(用含m,n的式子表示)

    【分析】(1)先将二次函数的解析式化为顶点式,然后得到点M的坐标;
    (2)先将m=﹣3,n=2代入函数解析式得到抛物线G1和G2的解析式,然后得到点M和点N的坐标,再求得点A的坐标,进而得到直线l的解析式,然后求得点B的坐标,最后求MB和NA的长度,即可得证;
    (3)先求得点A的坐标,然后代入直线l的解析式得到k和b的关系,然后分别求得点B和点C的横坐标,再结合AB=AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系,即可得到m与k、m与b之间的关系,最后得到直线l的表达式.
    【解答】(1)解:∵y=﹣x2+2mx+m=﹣(x﹣m)2+m2+m,
    ∴点M的坐标为(m,m2+m).
    (2)证明:∵m=﹣3,n=2,
    ∴G1:y=﹣x2﹣6x﹣3,G2:y=﹣x2+4x+2,

    ∴M(﹣3,6),N(2,6),
    由,得,
    ∴点A的坐标为(﹣,﹣),
    ∵直线l∥x轴,
    ∴l:y=﹣,
    令y=﹣,则﹣x2﹣6x﹣3=﹣,
    解得:x=﹣或x=﹣,
    ∴B(﹣,﹣),
    ∴BM==,AN==,
    ∴BM=AN.
    (3)解:由,得,
    ∴点A的坐标为(﹣,﹣),
    ∵点A在直线y=kx+b上,
    ∴﹣k+b=﹣,
    ∴b=k﹣,
    ∴直线l的表达式为y=kx+k﹣,
    由,得,
    解得:x=﹣或x=﹣k+2m+,
    ∴点B的横坐标为﹣k+2m+,
    同理可得,点C的横坐标为﹣k+2n+,
    ∵AB=AC,
    ∴点A是BC的中点,
    ∴﹣k+2m++(﹣k+2n+)=2×(﹣),
    ∴k=m+n+1,
    ∴b=(m+n+1)﹣=+,
    ∴直线l的表达式为y=(m+n+1)x++.
    【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的交点,解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征.

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