福建省宁德市2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(含答案)
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这是一份福建省宁德市2021-2022学年九年级(上)期末数学试卷(含答案),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省宁德市九年级(上)期末数学试卷
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(4分)若=,则的值为( )
A.1 B. C. D.
2.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,若AB=12,则CD的长是( )
A.12 B.6 C.4 D.3
3.(4分)已知一个几何体如图所示,则该几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
5.(4分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
6.(4分)关于二次函数y=(x﹣1)2﹣2,下列说法正确的是( )
A.有最大值1 B.有最小值﹣1 C.有最大值2 D.有最小值﹣2
7.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
8.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心是点P,其位似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比是( )
A.1:2 B.1:4 C.1: D.1:8
9.(4分)已知点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
10.(4分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表示,则下列判断正确的是( )
A.S1=4S2 B.S4=3S2 C.S1=S3 D.S3=S4
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分
11.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA= .
12.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是 .
13.(4分)若抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),则k的值是 .
14.(4分)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点C的坐标是(3,2),则点A的坐标是 .
15.(4分)如图,已知在电线杆AB上有一个光源,身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处,其影长CE=1m,若他沿AC方向走3m到达点F处,此时他的影长是 m.(图中CD,FG均表示小明身高)
16.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣2,y1),(m﹣3,n),(﹣1,0),(3,y2),(7﹣m,n).则下列四个结论①y1>y2;②5a+c=0;③方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5;④对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣3a中,正确结论是 (填写序号).
三、解答题:本题共9小题,共86分。
17.(8分)解方程:x2+4x﹣2=0.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.求证:AE=AF.
19.(8分)已知变量y与x成反比例函数关系,其部分对应数值如表格所示:
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
a
2
1.5
1
…
(1)求y与x的函数关系式,及表中a的值;
(2)根据表格中对应数值,在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象.
20.(8分)为杜绝家禽散养,美化环境,乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地,围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所,并用隔栏隔成两个等宽的矩形,圈养场一边利用长为8m的墙,另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成.已知该场所的总面积为18m2,求与墙平行的边BC的长.
21.(8分)自卸式货车可以实现自动卸货,其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度,如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图,其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO=2.4m,伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO=2m,当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB=37°时,求液压臂AB的长.(结果保留根号,参考数据sin37°=,cos37°=,tan37°=)
22.(10分)某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩,吸引了大量学生参与.规则是:付3元钱摸彩一次,每次从奖箱中摸出两个球,若两个球中一个是红球,则奖励3元;若两个球都是红球则奖励10元;若摸到的两个球都是白球则无奖金.为了揭示摸彩的危害性,经打探得知奖箱中共有6个球,其中4个是白球,2个是红球.
(1)若花3元钱摸一次彩,求能获奖的概率;
(2)从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算.
23.(10分)如图,已知▱ABCD,点F在AB延长线上,CF⊥AB.
(1)尺规作图:在BC边上找一点E,使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹,不写作法,不必证明);
(2)在(1)条件下,若点E为BC中点,AD=8,BF=3,求AB的长.
24.(13分)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,点E是AD边上的动点,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在点F处,连接FC,FD.
(1)当点E是AD中点时,求证:∠AEB=∠EDF;
(2)当AB=6,BC=10时,求sin∠FCB的最大值;
(3)当AB2=AE•BC时,求证:点F在线段AC上.
25.(13分)已知抛物线G1:y=﹣x2+2mx+m和G2:y=﹣x2+2nx+n(n>m)相交于点A,过点A的直线l:y=kx+b与抛物线G1交于另一点B,与抛物线G2交于另一点C,抛物线G1的顶点为点M,抛物线G2的顶点为点N.
(1)直接写出顶点M的坐标;(用含m的式子表示)
(2)当m=﹣3,n=2,且直线l∥x轴时,求证:MB=NA;
(3)当k≠0时,若AB=AC,求直线l的表达式.(用含m,n的式子表示)
2021-2022学年福建省宁德市九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(4分)若=,则的值为( )
A.1 B. C. D.
【分析】根据合分比性质求解.
【解答】解:∵=,
∴==.
故选:D.
【点评】考查了比例性质:常见比例的性质有内项之积等于外项之积;合比性质;分比性质;合分比性质;等比性质.
2.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,若AB=12,则CD的长是( )
A.12 B.6 C.4 D.3
【分析】根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
【解答】解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,AB=12,
则CD=AB=×12=6,
故选:B.
【点评】本题考查的是直角三角形的性质,掌握在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
3.(4分)已知一个几何体如图所示,则该几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可.
【解答】解:从上面可看,是一个矩形,矩形的中间有一条纵向的实线,实线的两侧分别有一条纵向的虚线.
故选:A.
【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.
4.(4分)已知∠α为锐角,且sinα=,则∠α=( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答.
【解答】解:∵∠α为锐角,且sinα=,
∴∠α=30°.
故选:A.
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值,属较简单题目.
5.(4分)如图,在△ABC中,DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,则AE的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【分析】根据平行线分线段成比例定理,列出比例式求解即可得到答案.
【解答】解:∵DE∥BC,AD=9,DB=3,CE=2,
∴,
∴,
解得:AE=6,
故选:C.
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用,熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键.
6.(4分)关于二次函数y=(x﹣1)2﹣2,下列说法正确的是( )
A.有最大值1 B.有最小值﹣1 C.有最大值2 D.有最小值﹣2
【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式,可得顶点坐标,进而根据二次函数的性质得出答案.
【解答】解:∵二次函数y=(x﹣1)2﹣2,
∴其图象开口向上,其顶点为(1,﹣2).
∴函数的最小值为﹣2.
故选:D.
【点评】本题考查了二次函数的最值,明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键.
7.(4分)关于x的一元二次方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【分析】根据判别式的意义得到Δ=(﹣6)2﹣4m>0,然后解关于m的不等式,最后对各选项进行判断.
【解答】解:根据题意得Δ=(﹣6)2﹣4m>0,
解得m<9.
故选:A.
【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2﹣4ac有如下关系:当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;当Δ<0时,方程无实数根.
8.(4分)如图,△ABC与△DEF位似,位似中心是点P,其位似比为1:2,则△ABC与△DEF的面积比是( )
A.1:2 B.1:4 C.1: D.1:8
【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答.
【解答】解:∵△ABC与△DEF是位似图形,其位似比为1:2,
∴其位似比为1:4.
故选:B.
【点评】本题考查了位似的相关知识,位似是相似的特殊形式,位似比等于相似比,其对应的面积比等于相似比的平方.
9.(4分)已知点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y3<y2 B.y1<y2<y3 C.y3<y2<y1 D.y2<y1<y3
【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1,y2,y3的大小,从而可以解答本题.
【解答】解:∵点A(﹣7,y1),B(﹣4,y2),C(5,y3)在反比例函数y=(k>0)的图象上,
∴该函数在每个象限内,y随x的增大而减小,函数图象在第一、三象限,
∵﹣7<﹣4,0<5,
∴y2<y1<0<y3,
即y2<y1<y3,
故选:D.
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.
10.(4分)如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,E为边AB的黄金分割点(AE>BE),AD=AE,BC=BE.AC,DE将四边形分为四个部分,它们的面积分别用S1,S2,S3,S4表示,则下列判断正确的是( )
A.S1=4S2 B.S4=3S2 C.S1=S3 D.S3=S4
【分析】设AB=a.求出△ADE,△ABC的面积(用a表示),可得结论.
【解答】解:设AB=a.
∵E是AB的黄金分割点,AE>EB,
∴AD=AE=a,BE=BC=a(1﹣)=a,
∴S△ADE=•(a)2=a2,S△ABC=×a×a=a2,
∴S△ADE=S△ABC,
即S1+S2=S2+S3,
∴S1=S3,
故选:C.
【点评】本题考查黄金分割,三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,属于中考常考题型.
二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分。
11.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,则sinA= .
【分析】根据正弦的定义解答.
【解答】解:在Rt△ABC中,sinA==,
故答案为:.
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义,锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA.
12.(4分)一元二次方程x2﹣2x=0的解是 x1=0,x2=2 .
【分析】本题应对方程左边进行变形,提取公因式x,可得x(x﹣2)=0,将原式化为两式相乘的形式,再根据“两式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0.”,即可求得方程的解.
【解答】解:原方程变形为:x(x﹣2)=0,
x1=0,x2=2.
故答案为:x1=0,x2=2.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的特点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.
13.(4分)若抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),则k的值是 0 .
【分析】由抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),利用二次函数图象上点的坐标特征可得出2=1﹣k+1,解之即可得出k值.
【解答】解:∵抛物线y=x2﹣kx+1的图象经过点(1,2),
∴2=1﹣k+1,
∴k=0.
故答案为:0.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,牢记图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键.
14.(4分)如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点C的坐标是(3,2),则点A的坐标是 (﹣2,3) .
【分析】作AD⊥y轴于点D,CE⊥x轴于点E,先证明△AOD≌△COE,因为C(3,2),所以OD=OE=3,AD=CE=2,再根据点A在第二象限求出点A的坐标.
【解答】解:如图,作AD⊥y轴于点D,CE⊥x轴于点E,则∠ADO=∠CEO=90°,
∵四边形OABC是正方形,
∴∠AOC=∠DOE=90°,OA=OC,
∴∠AOD=∠COE=90°﹣∠COD,
在△AOD和△COE中,
,
△AOD≌△COE(AAS),
∵C(3,2),
∴OD=OE=3,AD=CE=2,
∵点A在第二象限,
∴A(﹣2,3),
故答案为:(﹣2,3).
【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
15.(4分)如图,已知在电线杆AB上有一个光源,身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处,其影长CE=1m,若他沿AC方向走3m到达点F处,此时他的影长是 2 m.(图中CD,FG均表示小明身高)
【分析】根据题意得到AB⊥AM.DC⊥AM,GF⊥AM,得到CD∥AB,GF∥AB,根据相似三角形的性质即可得到结论.
【解答】解:如图,∵AB⊥AM.DC⊥AM,GF⊥AM,
∴CD∥AB,GF∥AB,
∴△EDC∽△EBA,△MGF∽△MBA,
∴=,=,
∴=,=,
解得:FM=2,
答:此时他的影长是2m,
故答案为:2.
【点评】本题看了相似三角形的应用:利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边,利用视点和盲区的知识构建相似三角形,用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
16.(4分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣2,y1),(m﹣3,n),(﹣1,0),(3,y2),(7﹣m,n).则下列四个结论①y1>y2;②5a+c=0;③方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5;④对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣3a中,正确结论是 ①②③ (填写序号).
【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴,利用对称轴方程可得a,b的关系,用待定系数法将(﹣1,0)代入,可得c与a的关系,利用配方法可求得抛物线的顶点坐标,由此可画出函数的大致图象,利用图象可判定①正确;将a,b关系式代入a﹣b+c=0可得②正确;令y=0解方程即可判定③正确;利用函数的最小值可判定④不正确.
【解答】解:∵a>0,
∴抛物线y=ax2+bx+c开口向上.
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(m﹣3,n),(7﹣m,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==2.
∴﹣=2.
∴b=﹣4a.
∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点(﹣1,0),
∴a﹣b+c=0.
∴a﹣(﹣4a)+c=0.
∴5a+c=0.
∴c=﹣5a.
∴二次函数的解析式为:y=ax2﹣4ax﹣5a.
∵y=ax2﹣4ax﹣5a=a(x﹣2)2﹣9a,
∴它的大致图象如下图:
由图象可知:y1>y2,
∴①的说法正确;
∵a﹣b+c=0,b=﹣4a,
∴5a+c=0.
∴②的说法正确;
令y=0,则ax2+bx+c=0.
∵b=﹣4a,c=﹣5a,
∴ax2﹣4ax﹣5a=0.
∵a>0,
即x2﹣4x﹣5=0.
解得:x1=﹣1,x2=5,
∴方程ax2+bx+c=0的解为x1=﹣1,x2=5.
∴③的说法正确;
∵y=ax2﹣4ax﹣5a=a(x﹣2)2﹣9a,a>0,
∴当x=2时,y有最小值为﹣9a,
∴对于任意实数t,总有at2+bt+c≥﹣9a.
∴④的说法不正确.
综上,正确结论是:①②③,
故答案为:①②③.
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质,待定系数法,数形结合法,配方法,二次函数图象上点的坐标的特征,利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键
三、解答题:本题共9小题,共86分。
17.(8分)解方程:x2+4x﹣2=0.
【分析】先移项,得x2+4x=2,再在两边同时加上22,再利用平方法即可解出原方程.
【解答】解:移项,得x2+4x=2,
两边同加上22,得x2+4x+22=2+22,
即(x+2)2=6,
利用开平方法,得或,
∴原方程的根是,.
【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用,难度适中.
18.(8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.求证:AE=AF.
【分析】根据菱形的性质得到OB=OD,AC⊥BD,得到OF=OE,根据线段垂直平分线的性质即可得到AE=AF.
【解答】证明:四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,AC⊥BD,
∵BE=DF,
∴OB﹣BE=OD﹣DF,
即OF=OE,
∴AE=AF.
【点评】本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线的性质,熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
19.(8分)已知变量y与x成反比例函数关系,其部分对应数值如表格所示:
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
a
2
1.5
1
…
(1)求y与x的函数关系式,及表中a的值;
(2)根据表格中对应数值,在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象.
【分析】(1)设y与x成反比例函数关系式为y=(k≠0),再将(1,6)代入即可求出k,把x=2代入关系式可求出a;
(2)描点,连线即可.
【解答】解:(1)设y与x成反比例函数关系式为y=(k≠0),
由表格中的数据可知,当x=1时,y=6,
∴6=,解得k=6,
∴y与x成反比例函数关系式为y=,
当x=2时,y==3,即a的值为3.
(2)根据表格中的数据在坐标系上画出函数图象(x>0),如下图所示:
【点评】本题考查的是反比例函数的定义,即形如y=(k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数.
20.(8分)为杜绝家禽散养,美化环境,乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地,围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所,并用隔栏隔成两个等宽的矩形,圈养场一边利用长为8m的墙,另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成.已知该场所的总面积为18m2,求与墙平行的边BC的长.
【分析】设与墙垂直的一边长AB=xm,则与墙平行的一边长为BC=(15﹣3x)m,根据花圃面积为18m2即可列出关于x的一元二次方程,此题得解.
【解答】解:设与墙垂直的一边长AB=xm,则与墙平行的一边长为BC=(15﹣3x)m,
根据题意得:AB•BC=18,
即x(15﹣3x)=18.
解得:x1=2,x2=3,
当x=2时,15﹣3x=9>8(舍去),
当x=3时,15﹣3x=6<8,
则15﹣3x=6m.
答:与墙平行的边BC的长6m.
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用,根据场所的面积列出关于x的一元二次方程是解决问题的关键.
21.(8分)自卸式货车可以实现自动卸货,其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度,如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图,其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO=2.4m,伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO=2m,当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB=37°时,求液压臂AB的长.(结果保留根号,参考数据sin37°=,cos37°=,tan37°=)
【分析】过点B作BC⊥OA于C,先在Rt△OBC中求出BC,OC,再求出AC,然后在Rt△ABC中求出AB即可解决问题.
【解答】解:过点B作BC⊥OA于C,如图.
在Rt△OBC中,∠OCB=90°,∠BOC=37°,BO=2,
∴BC=OB•sin∠BOC=2×=,
OC=OB•cos∠BOC=2×=,
∴AC=OA﹣OC=2.4﹣=,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,
∴AB===.
故液压臂AB的长为m.
【点评】本题考查了解直角三角形,解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.
22.(10分)某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩,吸引了大量学生参与.规则是:付3元钱摸彩一次,每次从奖箱中摸出两个球,若两个球中一个是红球,则奖励3元;若两个球都是红球则奖励10元;若摸到的两个球都是白球则无奖金.为了揭示摸彩的危害性,经打探得知奖箱中共有6个球,其中4个是白球,2个是红球.
(1)若花3元钱摸一次彩,求能获奖的概率;
(2)从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算.
【分析】(1)根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可,找出符合条件的情况数,再根据概率公式即可得出答案;
(2)求出奖金平均数,再与3进行比较,即可得出答案.
【解答】解:(1)根据题意列表如下:
白
白
白
白
红
红
白
(白,白)
(白,白)
(白,白)
(白,红)
(白,红)
白
(白,白)
(白,白)
(白,白)
(白,红)
(白,红)
白
(白,白)
(白,白)
(白,白)
(白,红)
(白,红)
白
(白,白)
(白,白)
(白,白)
(白,红)
(白,红)
红
(红,白)
(红,白)
(红,白)
(红,白)
(红,红)
红
(红,白)
(红,白)
(红,白)
(红,白)
(红,红)
共有30种等可能的情况数,其中能获奖的有18种,
则能获奖的概率是=;
(2)摸彩对参与的学生不合算,
奖金平均数是:×3+×10=<3,
则摸彩对参与的学生不合算.
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
23.(10分)如图,已知▱ABCD,点F在AB延长线上,CF⊥AB.
(1)尺规作图:在BC边上找一点E,使得△DCE∽△CBF(保留作图痕迹,不写作法,不必证明);
(2)在(1)条件下,若点E为BC中点,AD=8,BF=3,求AB的长.
【分析】(1)过点D作DE⊥BC于点E即可;
(2)根据勾股定理求出CB的长,再根据△DCE∽△CBF,对应边成比例即可求解.
【解答】(1)解:如图,点E即为所求;
(2)在▱ABCD中,BC=AD=8,AB=CD,
∵CF⊥AB,BF=3,
∴CB===,
∵点E为BC中点,
∴CE=BE=BC=4,
∵△DCE∽△CBF,
∴=,
∴=,
∴DC=,
∴AB=DC=.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图,相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握基本作图方法.
24.(13分)如图,在矩形ABCD中,AB<BC,点E是AD边上的动点,将矩形ABCD沿BE折叠,点A落在点F处,连接FC,FD.
(1)当点E是AD中点时,求证:∠AEB=∠EDF;
(2)当AB=6,BC=10时,求sin∠FCB的最大值;
(3)当AB2=AE•BC时,求证:点F在线段AC上.
【分析】(1)利用中点、折叠的性质和等腰三角形性质即可证得结论;
(2)如图2,过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G,则∠BGC=90°,以点B为圆心、AB长为半径作⊙B,则点F在⊙B上运动,根据sin∠FCB==,可知:sin∠FCB的值随BG的增大而增大,BG越大则sin∠FCB的值越大,当点G与点F重合时,BG=FB=6,此时BG最大,sin∠FCB的值也最大,再根据三角函数定义即可求得答案;
(3)由AB2=AE•BC,可得=,再由矩形性质可得∠ABC=∠EAB=90°,可证得△ABC∽△EAB,BE⊥AC,再根据折叠可得AF⊥BE,根据过一点有且只有一条直线与已知垂直,即可证得结论.
【解答】(1)证明:由折叠性质得,AE=EF,∠AEB=∠BEF,
∵E是AD的中点,
∴AE=ED,
∴ED=EF,
∴∠EDF=∠EFD,
∵∠FED+∠EDF+∠EFD=180°,∠AEB+∠BEF+∠FED=180°,
∴∠AEB=∠EDF;
(2)解:如图2,过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G,则∠BGC=90°,
以点B为圆心、AB长为半径作⊙B,则点F在⊙B上运动,
∵sin∠FCB==,
∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大,
∴BG越大则sin∠FCB的值越大,
∵BG≤FB,
∴当点G与点F重合时,BG=FB=6,此时BG最大,sin∠FCB的值也最大,
如图3,当点G与点F重合时,则∠BFC=90°,
此时sin∠FCB===,
∴sin∠FCB的最大值为;
(3)证明:如图3,
∵AB2=AE•BC,
∴=,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠EAB=90°,
∴△ABC∽△EAB,
∴∠ACB=∠EBA,
∵∠EBA+∠CBT=∠ABC=90°,
∴∠BTC=90°,
∴BE⊥AC,
∵△BEA沿着BE折叠得到△BEF,
∴A、F关于BE对称,
∴AF⊥BE,
∴点F在线段AC上.
【点评】本题是相似三角形综合题,考查了矩形的性质,轴对称的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,锐角三角函数及动点问题中的最值问题等知识与方法,解题的关键是正确地作出所需要的辅助线,此题难度较大,属于考试压轴题.
25.(13分)已知抛物线G1:y=﹣x2+2mx+m和G2:y=﹣x2+2nx+n(n>m)相交于点A,过点A的直线l:y=kx+b与抛物线G1交于另一点B,与抛物线G2交于另一点C,抛物线G1的顶点为点M,抛物线G2的顶点为点N.
(1)直接写出顶点M的坐标;(用含m的式子表示)
(2)当m=﹣3,n=2,且直线l∥x轴时,求证:MB=NA;
(3)当k≠0时,若AB=AC,求直线l的表达式.(用含m,n的式子表示)
【分析】(1)先将二次函数的解析式化为顶点式,然后得到点M的坐标;
(2)先将m=﹣3,n=2代入函数解析式得到抛物线G1和G2的解析式,然后得到点M和点N的坐标,再求得点A的坐标,进而得到直线l的解析式,然后求得点B的坐标,最后求MB和NA的长度,即可得证;
(3)先求得点A的坐标,然后代入直线l的解析式得到k和b的关系,然后分别求得点B和点C的横坐标,再结合AB=AC得到A、B、C三点间的横坐标之间的关系,即可得到m与k、m与b之间的关系,最后得到直线l的表达式.
【解答】(1)解:∵y=﹣x2+2mx+m=﹣(x﹣m)2+m2+m,
∴点M的坐标为(m,m2+m).
(2)证明:∵m=﹣3,n=2,
∴G1:y=﹣x2﹣6x﹣3,G2:y=﹣x2+4x+2,
∴M(﹣3,6),N(2,6),
由,得,
∴点A的坐标为(﹣,﹣),
∵直线l∥x轴,
∴l:y=﹣,
令y=﹣,则﹣x2﹣6x﹣3=﹣,
解得:x=﹣或x=﹣,
∴B(﹣,﹣),
∴BM==,AN==,
∴BM=AN.
(3)解:由,得,
∴点A的坐标为(﹣,﹣),
∵点A在直线y=kx+b上,
∴﹣k+b=﹣,
∴b=k﹣,
∴直线l的表达式为y=kx+k﹣,
由,得,
解得:x=﹣或x=﹣k+2m+,
∴点B的横坐标为﹣k+2m+,
同理可得,点C的横坐标为﹣k+2n+,
∵AB=AC,
∴点A是BC的中点,
∴﹣k+2m++(﹣k+2n+)=2×(﹣),
∴k=m+n+1,
∴b=(m+n+1)﹣=+,
∴直线l的表达式为y=(m+n+1)x++.
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的交点,解题的关键是熟知二次函数图象上点的坐标特征.
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