河北省保定市涿州市2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河北省保定市涿州市九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程的常数项是(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

2. 如图所示图形中是中心对称图形的是(    )

A. 正三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 圆

3. 如图，，则下列各式不能说明∽的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是(    )

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

5. 如图，在中，，分别与，相交于点，，若，，则：的值为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 太阳从西边升起
B. 中，与的和比大
C. 两个负数相乘，积为正
D. 两个数相加，和大于其中的一个加数

7. 如图，在一块宽为，长为的矩形空地上，修筑宽相等的两条小路，两条路分别与矩形的边平行，如图，若使剩余阴影部分的面积为，问小路的宽应是多少？设小路的宽为，根据题意得(    )

A.  B.
C.  D. 以上都不正确

8. 一个不透明的盒子中装有个红球，个白球和个黄球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是(    )

A. 摸到红球是必然事件 B. 摸到黄球是不可能事件
C. 摸到白球与摸到黄球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到黄球的可能性小

9. 如图，已知的半径为，则它的内接正方形的边长为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，点为函数图象上任意一点，过点作轴于点，则的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，，是的切线，，是切点，若，则(    )
     

A.  B.  C.  D.

12. 下列关于二次函数的说法正确的是(    )

A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是直线
C. 当时，随的增大而减小 D. 当时，有最大值为

13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高等于(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

14. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中大约共有白球(    )

A.  B.  C.  D. 都不对

15. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

16. 如图，和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与相似的阴影三角形为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）

17. 二次函数的开口方向______，最小值是______．
18. 如图，∽，和分别是和的高，若，，则与的周长之比为______与的面积之比为______．

19. 已知一次函数和二次函数部分自变量与对应的函数值如下表

当时，自变量的取值是______，当时，自变量的取值范围是______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 本小题分
    对于实数、定义运算“”如下：，例如，如果有方程，请你求出这个方程的解．
21. 本小题分
    如图点在等边三角形的边上，将绕点旋转，使得旋转后点的对应点为点，点的对应点为点，请完成下列问题：
    画出旋转后的图形；
    判断与的位置关系并说明理由．

22. 本小题分
    第届冬奥会于年的月号至号在中国北京和张家口举行，分为三个赛区，分别为北京赛区、延庆赛区和张家口赛区．为满足大家的游览需求，倾情打造了条各具特色的旅游路线，如表：

小明和小强都计划去冬奥会游玩，她们各自在这条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同．
求小明选择路线“张家口之约”的概率是多少？
用画树状图或列表的方法，求小明和小强恰好选择同一条路线的概率．

23. 本小题分
    已知二次函数．
    直接写出抛物线与轴交点坐标______、______；与轴交点坐标______；顶点坐标为______；
    在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；
    当时，的取值范围是______．

24. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，点是矩形对角线的交点已知反比例函数在第一象限的图象经过点，交于点，交于点．
    求点的坐标和的值；
    反比例函数图象在点到点之间的部分包含，两点记为图形，求图形上点的横坐标的取值范围．

25. 本小题分
    如图，点、、都在上，过点作交延长线于点，连接，且，．
    求证：是的切线．
    求的半径长．
    求由弦、与弧所围成的阴影部分的面积结果保留．

26. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交、轴于点、，抛物线经过点、，点为第四象限内抛物线上的一个动点．
    
    写出点、点的坐标；
    求此抛物线对应的函数表达式；
    如图，过点作轴，分别交直线、轴于点、，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的常数项是．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：为常数且，即可解答．
本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D能找到这样的一个点，使形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：和符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选：．
根据，可知，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
此题考查了相似三角形的判定：
有两个对应角相等的三角形相似；
有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】
解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，可得到抛物线．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，属于基础题．
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
【解答】

解：，
∽，
．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：太阳从西边升起，是不可能事件，因此选项A不符合题意；
B.中，与的和比大，是必然事件，因此选项B不符合题意；
C.两个负数相乘，积为正，是必然事件，因此选项C不符合题意；
D.两个数相加，和大于其中的一个加数，是随机事件，因此选项D符合题意；
故选：．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义逐项进行判断即可．
本题考查随机事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：设小路的宽为米，根据题意，可列方程：，
故选：．
把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：摸到红球是随机事件，
选项A不符合题意；
 摸到黄球是随机事件，
选项B不符合题意；
 白球和黄球的数量相同，
摸到白球与摸到黄球的可能性相等，
选项C符合题意；
 红球比黄球多，
摸到红球比摸到黄球的可能性大，
选项D不符合题意．
故选：．
根据可能性的大小，以及随机事件的判断方法，逐项判断即可．
此题主要考查了可能性的大小，以及随机事件的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示：
的半径为，四边形是正方形，
，，
．
故选：．
利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．
此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积，
即，
解得，，
由于函数图象位于第三象限，
故．
根据反比例函数比例系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在的象限即可求出的值
本题考查反比例函数比例系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
 

11.【答案】 

【解析】解：连接，

，是的切线，，是切点，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据四边形的内角和等于得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题主要考查的是切线的性质，解决本题的关键是由、是的切线，可得．
 

12.【答案】 

【解析】解：、当时，，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线，故此选项错误；
C、当时，随的增大而减小，故此选项正确；
D、当时，有最小值为，故此选项错误；
故选：．
根据二次函数的图象性质即可判断．
此题考查了二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
即，
解得：，
，
，
即树高．
故选：．
先判定和相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出的长，再加上即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出和相似是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设白球个数为个，
摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中摸到红色球的概率为，
，
解得：，
即袋中的白球大约有个；
故选：．
由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率的稳定值即概率是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】

【解答】
解：如图所示：位似中心的坐标为．

故选：．
【分析】
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．  

16.【答案】 

【解析】解：观察图象可知只有选项C含有角，且两边的比为：，
故选：．
根据：：：，，即可判断．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

17.【答案】向上   

【解析】解：在中，
，
二次函数的图象开口向上；
函数有最小值，
其顶点坐标为，
的最小值为．
故答案为：向上；．
由函数解析式可确定开口方向及对称轴；由开口方向及顶点坐标可确定出其最值．
本题主要考查二次函数的图象和最值问题，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
 

18.【答案】：  ： 

【解析】解：∽，和分别是和的高，，，
，
与的周长之比为：，与的面积的比，
故答案为：：，：．
根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
 

19.【答案】或  或 

【解析】解：当时，；当时，，
当时，自变量的取值是或，
直线与抛物线的交点为和，
而时，，
当时，自变量的取值范围是或．
故答案为：或；或．
利用表中数据得到时，自变量的取值以及直线与抛物线的交点为和，时，，从而得到当时，自变量的取值范围．
本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数、、是常数，与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．
 

20.【答案】解：根据题意由方程得：，
整理得：，
解得：，或． 

【解析】直接利用运算公式计算，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确运用新定义计算是解题关键．
 

21.【答案】解：如图，为所作；

．
理由如下：
为等边三角形，
，
绕点旋转得到，
，
，
，
． 

【解析】根据旋转的性质作，，从而得到点；
根据等边三角形的性质得到，再根据旋转的性质得到，然后根据平行线的判定方法可判断．
本题考查了作图旋转：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
 

22.【答案】解：依题意可知，共条路线，每条线路被选择的可能性相同，
小明选择路线“张家口之约”的概率是；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明和小强恰好选择同一条路线的结果有种，
小明和小强恰好选择同一条路线的概率为． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明和小强恰好选择同一条路线的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】         

【解析】解：令，则，
解得：或，
抛物线与轴交点坐标为，，
令，则，
抛物线与轴交点坐标为，
，
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：，；；；
在给出的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象如下：

由图象可知：当时，抛物线上最高点为，最低点为，
此时函数的最大值为，最小值为，
的取值范围是：，
故答案为：．
利用抛物线的解析式，令，解一元二次方程即可求得抛物线与轴的交点的横坐标，令可求得抛物线与轴的交点的纵坐标，利用配方法即可得出抛物线的顶点坐标；
利用描点法过中各点即可画出二次函数的图象；
结合图象，在时，找出对应图象上的最高点与最低点即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，配方法，抛物线与坐标轴的交点，利用数形结合法解得是解题的关键．
 

24.【答案】解：点是矩形的对角线交点，
点是矩形的对角线的中点，
又，，
点的坐标为．
反比例函数的图象经过点，
，
解得：；
由题意可得：点的纵坐标为，点的横坐标为．
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
即图形上点的横坐标的取值范围是． 

【解析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求得点、点的坐标是解题的关键．
先求得点的坐标，然后根据待定系数法即可求得；
根据的纵坐标，即可求得的横坐标，结合的横坐标，即可得到图形上点的横坐标的取值范围．
 

25.【答案】证明：连接．
，
．
，
．
．
为切线．

解：，，
．
．
在中，，
．
．
即的半径长为．

，
又，，
≌．
答：阴影部分的面积为． 

【解析】连接，由角的等量关系可以证得，即能证得切线存在，
由得到，在中解得，
首先证明≌，阴影部分面积等于．
本题考查了切线的判定，扇形面积的计算和解直角三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
 

26.【答案】解：令，得，则，
令，得，解得，则；

把，代入中，得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；

轴，
，
，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，存在两种情况：
当时，如图，过作轴于，

设，则，
，
，
，
∽，
，
，
解得：舍，，
．
当时，如图，则和是对称点，

当时，，
舍，，
．
综上，点的坐标是或； 

【解析】利用待定系数法求解即可；
把，两点的之比代入抛物线的解析式，解方程组可得结论；
分两种情形：当时，如图，过作轴于，当时，如图，则和是对称点，分别求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．