河南省商丘市梁园区2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河南省商丘市梁园区八年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列图案中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知一粒大米的质量约为千克，这个数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 一个多边形的内角和为，则它是(    )

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形

4. 下列分式是最简分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，中，，，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使再作出的垂线，使，，三点在一条直线上，通过证明≌，得到的长就等于的长，这里证明三角形全等的依据是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，张边长分别为、的长方形纸片围成一个正方形，从中可以得到的等式是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 在平面直角坐标系中，点，，若以，，为顶点的三角形与全等，则点的坐标不能为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，，，，，平分，与相交于点，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 如果是一个完全平方式，那么的值是______ ．
13. 如图，在中，，分别在边和的延长线上，，，若，则 ______ ．

14. 若关于的方程无解，则的值是______．
15. 如图，直角中，斜边，，为直线上的动点，将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    计算：；
    计算：．
    分解因式：；
    分解因式：．
17. 本小题分
    解分式方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知，求的值；
    先化简：，然后在，，，四个数中给选择一个你喜欢的数代入求值．
19. 本小题分
    如图，中，，点，在边上，，点在的延长线上，．
    求证：≌；
    若，求的度数．

20. 本小题分
    作图题：
    如图，已知：求作：射线，使平分要求：尺规作图，不写作法，但需保留作图痕迹
    题中作图的依据是全等三角形判定方法中的______．
    在图中作出，使它与关于轴对称．
    在图中的轴上找到一点，使的周长最小．
     
21. 本小题分
    在近期“抗疫”期间，某学校购买了、两种不同型号的口罩，已知型口罩的单价比型口罩的单价多元，且用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同．
    求、两种型号口罩的单价各是多少元？
    根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买型口罩数量是型口罩数量的倍，若总费用不超过元，求增加购买型口罩的数量最多是多少个？
22. 本小题分
    如图，大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即同一图形大正方形的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．
    把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”．
    
    用上述“面积法”，通过如图中图形的面积关系，直接写出一个等式：______ ．
    如图，直角中，，，，，是斜边边上的高用上述“面积法”求的长；
    如图，等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”求证：．
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，、两点的坐标分别为、，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒．
    ______ ， ______ ．
    连接，若的面积为，求的值；
    过作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，在点运动的过程中，是否存在这样点，使≌，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念判断．
本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】此题考查用科学记数法表示绝对值较小的数．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
解：．
故选：．
 

3.【答案】 

【解析】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
解：设它是边形，
根据题意得，，
解得．
故选：．
 

4.【答案】 

【解析】解：．，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B.，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C.，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D.是最简分式，故本选项符合题意；
故选：．
根据最简分式的定义分式的分子和分母除以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式逐个判断即可．
本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了积的乘方，同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
根据积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．
【解答】
解：、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】此题能够根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，用同一个未知数表示各角，进一步根据三角形的内角和定理列方程求解．
先根据三角形外角性质，用表示出，再根据等边对等角和三角形内角和定理，列出等式即可求出的度数，再求也就不难了．
解：设，
，
，
．
，
．
在中，，
解得，则．
故选：．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为证明在≌用到的条件是：，，，
所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即这一方法．
故选：．
根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，做题时注意选择．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

8.【答案】 

【解析】解：设大正方形的面积，小正方形的面积，
大正方形的边长为，则大正方形面积，
小正方形的边长为，则小正方形面积，
四个长方形的面积为，
，
，
故选：．
假设大正方形的面积，小正方形的面积，则个长方形面积．
本题主要考查通过正方形面积的计算，列出代数式，得出两个完全平方公式相减等于的正确性．难点在于小正方形边长的求解：用一个长方形的长，减去另一个长方形的宽，即．
 

9.【答案】 

【解析】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点的位置分情况讨论．
根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形，即可得出答案．
解：如图所示：

点，，
，．
与全等，
．
当时，
；
当时，
，．
综上可知，点的坐为或或．
故选：．
 

10.【答案】 

【解析】
解：延长交于，延长交于，
，
，
是等边三角形，
，，
，平分，
，即，，
设，
在中，，，
，
由得，
，
，
故选：．
由，延长交于，作出等边三角形，由，平分，结合等腰三角形“三线合一”，延长交于，然后解直角三角形．
本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和解直角三角形，解决问题的关键是作辅助线，补出等边三角形和等腰三角形的“三线合一”．
 

11.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
解得．
故答案是：．
本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零；分式无意义的条件是分母等于零．
分式有意义时，分母，据此求得的取值范围．
 

12.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得．
故答案是：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查等腰三角形的性质，内角和定理，外角性质等知识．多次利用外角的性质得到角之间的关系式是正确解答本题的关键．
由，，可得，，设，，由三角形的内角和定理可求出，则可得出答案．
【解答】
解：，，
，，
设，，
，，
，
，
，
．
故答案为：．  

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查分式方程的解法把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根代入即可求得的值．
先根据题意写出的新方程，然后解出的值．
【解答】
解：关于的方程无解，
当分母时，方程无解，
解得：．
方程去分母，得：，即，
当时，把代入方程得：，
解得：；
当，即时，原方程无解．
故答案为：或．  

15.【答案】 

【解析】解：取中点，连接，，，

，，点是中点，
，，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
当取最小值时，有最小值，
当时，有最小值，
此时，，
的最小值为，
故答案为：．
取中点，连接，，，由“”可证≌，可得，当取最小值时，有最小值，由垂线段最短可得当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

16.【答案】解：原式

．
原式

．
原式


．
原式
． 

【解析】根据整式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案．
根据平方差公式即可求出答案．
根据提取公因式法以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查整式的加减运算、乘除运算、平方差公式以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是原方程的增根，
所以原分式方程无解 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：因为：，
所以：，
所以：，
所以：，
解得．
原式



，
要使分式有意义，故且，
且，
当时，原式． 

【解析】根据同底数的幂的乘法运算法则进行计算即可．
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出的值，将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的运算，熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
即，
在与中，
，
≌；
解：≌，
，
，
． 

【解析】根据等边对等角和等式的性质以及证明≌即可．
由≌，推出，进而利用等腰三角形的角解答．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，三角形内角和定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于基础题，中考常考题型．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，就是所求的射线；


如图，连接，，

由作图知，，，
在和中，
，
≌，
故答案为；

如图所示，


如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
即点就是所求作的点．
根据作角平分线的方法，即可作出图形；
连接，，利用判断出≌，即可得出结论；
作出点，关于轴的对称点，顺次连接，，，即可得出图形；
作出点关于轴的对称点，连接，即可得出点的位置．
此题主要考查了作一个角的平分线的方法，轴对称图形的作法，对称点的性质，掌握作一个点关于一条直线的对称点的方法是解本题的关键．
 

21.【答案】解：设型口罩的单价是元，则型口罩的单价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：型口罩的单价是元，型口罩的单价是元．
设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是个，
依题意得：，
解得：．
答：增加购买型口罩的数量最多是个． 

【解析】设型口罩的单价是元，则型口罩的单价是元，根据数量总价单价，结合“用元购买型口罩的数量与用元购买型口罩的数量相同”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设增加购买型口罩的数量是个，则增加购买型口罩数量是个，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】
如图，直角中，，，，，
，
；
答：的长为；
证明：如图，
，，，垂足分别为点，，，
，
，
，
．
即．
大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；
根据，代入数值解之即可；
由和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算． 

【解析】解：如图，大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，
即，
同时大长方形的面积也可以为，
所以；
故答案为：；
如图，中，，，，，
，
；
答：的长为；
证明：如图，
，，，垂足分别为点，，，
，
，
，
．
即．
大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；
根据，代入数值解之即可；
由和三角形面积公式即可得证．
本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等分析、推理和计算．
 

23.【答案】   

【解析】解：，，，
，，
，，
解得，，，
，，
故答案为：；；
当点在线段上时，，
则，
解得，，
当点在线段的延长线上时，，
则，
解得，，
当或时，的面积等于；
如图，当点在线段上时，
≌，
，即，
解得，，
如图，当点在线段的延长线上时，
≌，
，即，
解得，，
当或时，与全等．
根据非负数的性质列出方程，解方程分别求出、；
分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据三角形面积公式计算；
分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是非负数的性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．