湖南省衡阳市衡山县湘教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份湖南省衡阳市衡山县湘教版2021-2022学年八年级（上）期末数学试卷(解析版)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年湖南省衡阳市衡山县八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在题号的表格中。）
1．2的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）3＝a9 C．（2a2）2＝2a4 D．a9÷a2＝a4
3．如图，∠1＝∠2，AB＝AD，则△ABC≌△ADC，采用的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF
5．下列各式中，能运用两数和（差）的平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+4x B．a2﹣4b2 C．x2+4x+1 D．x2﹣2x+1
6．为配合学校文学艺术节活动，校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理，要反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（　　）
A．扇形统计图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
7．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或
9．如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
10．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
11．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．18 D．21
12．如图，直线上有三个正方形a，c，b，若a，b的面积分别为1和16，则c的面积为（　　）

A．5 B．15 C．17 D．16
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
13．计算：（﹣3a2b）3＝　 　．
14．若ab＝3，a﹣b＝5，则2a2b﹣2ab2＝　 　．
15．如果多项式y2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值为 　 　．
16．已知数据：，，，π，﹣2，其中无理数出现的频率是　 　．
17．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝25°，则∠BAD＝　 　°．

18．如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　 　．

三、解答题（本大题共7个小题，第19题12分，第20题、21题、22题、23题每题8分，第24题10分，第25题12分，满分66分）
19．因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4．
20．化简求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝﹣2．
21．某校开展以“防疫有我，爱卫同行”为主题的线上活动，举办了A自制口罩，B防疫诗歌，C防疫故事，D防疫画报共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加防疫故事和防疫画报比赛的学生共有多少人？
22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

23．若a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
24．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

25．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．

（1）出发3s后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．


参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确的选项填在题号的表格中。）
1．2的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．±
【分析】根据a（a≥0）的平方根是±求出即可．
解：2的平方根是±，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
2．下列运算中，正确的是（　　）
A．a2•a3＝a6 B．（a3）3＝a9 C．（2a2）2＝2a4 D．a9÷a2＝a4
【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据幂的乘方，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、因数2没乘方，故C错误；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方底数不变指数相乘，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
3．如图，∠1＝∠2，AB＝AD，则△ABC≌△ADC，采用的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
解：在△ABC和△ADC中
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，已知BF＝CE，∠B＝∠E，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AB＝DE B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．
解：A、根据SAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意；
B、根据ASA即可证明三角形全等，故此选项不符合题意；
C、根据AAS即可证明三角形全等，故此选项不符合题意；
D、SSA无法判断三角形全等，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法的运用．
5．下列各式中，能运用两数和（差）的平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2+4x B．a2﹣4b2 C．x2+4x+1 D．x2﹣2x+1
【分析】分别利用提公因式法、平方差和完全平方公式进行分解，选择能利用完全平方公式进行分解的选项即可．
解：A、x2+4x＝x（x+4），故此选项错误；
B、a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），故此选项错误；
C、x2+4x+1不能分解，故此选项错误；
D、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
6．为配合学校文学艺术节活动，校团委对全校学生阅读兴趣调查的数据进行整理，要反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是（　　）
A．扇形统计图 B．条形统计图
C．折线统计图 D．频数分布直方图
【分析】根据题意，需要反映部分与总体的关系，故最适合的统计图是扇形统计图．
解：欲反映学生感兴趣的各类图书所占百分比，最适合的统计图是扇形统计图．
故选：A．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，熟练掌握各种统计图的特点是解答本题的关键．
7．用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时应假设（　　）
A．三角形中有一个内角小于或等于60°
B．三角形中有两个内角小于或等于60°
C．三角形中有三个内角小于或等于60°
D．三角形中没有一个内角小于或等于60°
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进行解答即可．
解：用反证法证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”时，
第一步应先假设三角形中没有一个内角小于或等于60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
8．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，若△ABC是直角形，则AC的长应是（　　）
A．5 B． C．5或 D．5或
【分析】由于直角三角形的斜边不确定，故应分BC是直角边与斜边两种情况进行讨论．
解：当BC为直角边时，AC＝＝＝5；
当BC为斜边时，AC＝＝＝．
综上所述，AC的长为5或．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．如图，在△ABC中已知∠B、∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC点E，若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【分析】先根据角平分线的定义及平行线的性质证明△BDF和△CEF是等腰三角形，再由等腰三角形的性质得BD＝DF，CE＝EF，则△ADE的周长＝AB+AC，从而得出答案．
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠DBF＝∠CBF，
∵DE∥BC，
∴∠CBF＝∠DFB，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴BD＝DF，
同理FE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝9+7＝16，
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质及角平分线的性质．有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
10．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．

【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
11．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）

A．13 B．14 C．18 D．21
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，直线上有三个正方形a，c，b，若a，b的面积分别为1和16，则c的面积为（　　）

A．5 B．15 C．17 D．16
【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
解：由于a、b、c都是正方形，所以AC＝CD，∠ACD＝90°，

∵∠ACB+∠DCE＝∠ACB+∠BAC＝90°，
即∠BAC＝∠DCE，
在△ACB和△DCE中，
，
∴△ACB≌△DCE（AAS），
∴AB＝CE，BC＝DE；
在Rt△ABC中，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝AB2+DE2，
即Sc＝Sa+Sb＝1+16＝17，
故选：C．
【点评】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
13．计算：（﹣3a2b）3＝　﹣27a6b3　．
【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算．
解：原式＝（﹣3）3•（a2）3•b3
＝﹣27a6b3，
故答案为：﹣27a6b3．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
14．若ab＝3，a﹣b＝5，则2a2b﹣2ab2＝　30　．
【分析】首先提公因式分解因式，然后再代入计算即可．
解：原式＝2ab（a﹣b）＝2×3×5＝30，
故答案为：30．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
15．如果多项式y2﹣4y+m是完全平方式，那么m的值为 　4　．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
解：∵多项式y2﹣4y+m是完全平方式，
∴m＝4，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．已知数据：，，，π，﹣2，其中无理数出现的频率是　0.6　．
【分析】直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案．
解：∵数据：，，，π，﹣2，其中无理数有：，，π，
∴无理数出现的频率是：＝0.6．
故答案为：0.6．
【点评】此题主要考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．
17．如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝25°，则∠BAD＝　25　°．

【分析】根据全等三角形对应角相等可以得到∠CAB＝∠EAD，然后两个相等的角减去同一个∠EAB即可得到∠CAE＝∠BAD，从而得到结论．
解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠CAB﹣∠EAB＝∠EAD﹣∠BAD，
即：∠BAD＝∠EAC＝25°，
故答案为25．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，属于基础题，相对比较简单，解题的关键是发现∠BAD和∠EAC之间的关系．
18．如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是　64　．

【分析】根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，以及长方形的长为24，宽为16，得出a+b＝24，a﹣b＝16，进而得出a，b的长，即可得出答案．
解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
根据题意得出：，
解得：，
故图2中S2部分的面积是：4×（20﹣4）＝64，
故答案为：64．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及二元一次方程组的应用，根据已知得出a+b＝24，a﹣b＝16是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题，第19题12分，第20题、21题、22题、23题每题8分，第24题10分，第25题12分，满分66分）
19．因式分解：
（1）x3y﹣xy3；
（2）（x+2）（x+4）+x2﹣4．
【分析】（1）首先提公因式xy，再利用平方差进行二次分解即可；
（2）首先把后两项利用平方差进行分解，再提公因式x+2，然后化简即可．
解：（1）原式＝x3y﹣xy3，
＝xy（x2﹣y2），
＝xy（x+y）（x﹣y）；

（2）原式＝（x+2）（x+4）+（x+2）（x﹣2），
＝（x+2）（x+4+x﹣2），
＝（x+2）（2x+2），
＝2（x+2）（x+1）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
20．化简求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（x+4y）2]÷4y，其中x＝5，y＝﹣2．
【分析】先运用乘法公式计算化简，最后求值即可解决问题．
解：原式＝（x2﹣4y2﹣x2﹣8xy﹣16y2）÷4y
＝（﹣20y2﹣8xy）÷4y
＝﹣5y﹣2x，
∵x＝5，y＝﹣2，
∴原式＝10﹣10＝0．
【点评】该题主要考查了整式的化简、求值问题；解题的关键是灵活变形、正确化简、准确计算；对求解运算能力提出了一定的要求．
21．某校开展以“防疫有我，爱卫同行”为主题的线上活动，举办了A自制口罩，B防疫诗歌，C防疫故事，D防疫画报共四个项目的比赛，要求每位学生必须参加且仅参加一项，小丽随机调查了部分学生的报名情况，并绘制了下列两幅不完整的统计图，请根据统计图中信息解答下列问题：

（1）本次调查的学生总人数是多少？扇形统计图中“D”部分的圆心角度数是多少？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若全校共有1800名学生，请估计该校报名参加防疫故事和防疫画报比赛的学生共有多少人？
【分析】（1）利用A自制口罩人数除以所占百分比可得抽查总人数，再求出扇形统计图中D所占比例乘以360°可得“D”部分的圆心角度数；
（2）求出C的人数，再补图即可；
（3）利用样本估计总体的方法进行计算即可．
解：（1）调查的学生总人数：120÷60%＝200（人）；
“D”部分的圆心角度数为；

（2）200﹣120﹣52﹣8＝20（人）．
补全统计图：

（3）1800×＝252（人）．
答：该校报名参加防疫故事和防疫画报比赛的学生共有252人．

【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，关键是正确从图中获取信息．
22．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

【分析】根据ASA证明△ADE≌△ABC；
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC
∴∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ADE≌△ABC（ASA）
∴BC＝DE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等
23．若a+b＝5，ab＝3，
（1）求a2+b2的值；
（2）求a﹣b的值．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
解：（1）∵a+b＝5，ab＝3，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∴a2+b2＝25﹣2ab＝25﹣6＝19；

（2）∵a2+b2＝19，ab＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝13，
∴（a﹣b）2＝13，
∴a﹣b＝±．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
24．《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？

【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．
解：∵∠ACB＝90°
∴由勾股定理可得：BC＝＝40，
40米＝0.04千米，
2秒＝小时．
0.04÷＝72＞70．
所以超速了．
【点评】本题考查勾股定理的应用，构造直角三角形，确定直角边，斜边求解．
25．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．

（1）出发3s后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【分析】（1）可求得AP和BQ，则可求得BP，由勾股定理即可得出结论；
（2）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t；
（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ＝BC、CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
解：（1）当t＝3时，则AP＝3，BQ＝2t＝6，
∵AB＝16cm，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣3＝13（cm），
在Rt△BPQ中，PQ＝＝＝（cm）．

（2）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；

（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，

则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10，
∴BC+CQ＝22，
∴t＝22÷2＝11秒．
②当CQ＝BC时，如图2所示，

则BC+CQ＝24，
∴t＝24÷2＝12秒．
③当BC＝BQ时，如图3所示，

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE＝，
∴CE＝＝＝，
∴CQ＝2CE＝14.4，
∴BC+CQ＝26.4，
∴t＝26.4÷2＝13.2秒．
综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．