高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 指数幂的拓展多媒体教学ppt课件

指数幂的拓展

【学习目标】

掌握有理数指数幂的含义和运算；掌握根式运算与指数运算的内在联系；正确进行有理数指数幂的运算；理解实数指数幂的含义。

【学习重难点】

（1）正分数指数幂的含义和运算；

（2）有理数指数幂的运算；

（3）根式与分数指数幂的相互转化。

【学习过程】

一、知识引入

在初中，学习了整数指数幂的运算及性质

， ，

。

思考讨论：

（1）薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位hm2)与年数（年）的关系式为：

。

其中为侵害面积的初始值

如果求10年后侵害的面积，则；如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？

（2）对于分数指数幂的运算，该如何运算呢？如？。

二、新知探究

1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。

记作         ，这就是正分数指数幂。

例如：，则；，则       。

注意：

①当是正整数时，分数指数幂满足：

②与类似，当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算。

例如：，；

③根据分数指数幂的定义，分数指数幂的条件是：底数

虽然，但不能写成

例1．把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：

（1）；     （2）；

（3）； （4）。

2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义

。

指数运算的指数已经扩充到有理数了。

那么，指数是无理数的情况呢？以为例说明如下

因为，所以

上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值

借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即

一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数。

同理

这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了。

注意：

①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；

②0的任意正实数幂都等于0；

③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义。

例2．计算：

（1）；     （2）；  （3）。

思考讨论（综合练习）

（1）计算下列各式：

①； ②。

（2）用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）。

① ②

【学习小结】

1、给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂。

记作，这就是正分数指数幂。

2、类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义

。

【精炼反馈】

1．思考辨析

（1）2表示个2相乘。(    )

（2）a＝(a>0，m，n∈N＋，且n>1)。(    )

（3）＝()n。(    )

[答案]  （1）×  （2）×  （3）×

[答案]