精品解析：黑龙江省哈尔滨市南岗区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题-A4答案卷尾

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2021—2022学年度上学期九年级
数学试卷
考生须知：
1.本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2. 答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5.保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第I卷 选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．的倒数是（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．下列计算正确的是（       ）
A． B． C． D．
3．围成下列立体图形的各个面中，每个面都是平面的是（        ）
A． B．
C． D．
4．抛物线的对称轴是（       ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（       ）
A． B． C． D．
6．分式方程的解是（       ）
A． B． C． D．
7．如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（       ）

A． B． C． D．
8．若点A（－3，），B（－1，），C（2，）都在反比例函数的图象上，则、，的大小关系是（       ）
A． B． C． D．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转，使点B落在点的位置，连接B，过点D作DE⊥，交的延长线于点E，则的长为（     ）

A． B． C． D．
10．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）

A．5s时，两架无人机都上升了40m
B．10s时，两架无人机的高度差为20m
C．乙无人机上升的速度为8m/s
D．10s时，甲无人机距离地面的高度是60m
第II卷   非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累计投资110200000元资金．数据110200000用科学记数法可表示为___．
12．函数y= 中，自变量x的取值范围是________．
13．把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是_____．
14．计算的结果是___．
15．反比例函数的图象经过点（1，﹣2），则k的值为_____．
16．不等式组的解集是________．
17．在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同．摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中．不断重复这一过程，共摸球100次．其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是__________．
18．一个扇形的弧长是cm，面积是cm2，则这个扇形的圆心角是___度．
19．已知△ABC的三个顶点都是边长为6的同一个正方形的顶点，∠ABC的平分线与线段AC交于点D，则点D到直线AB的距离为___．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，BD＝AC，CD＝2，连接AD，若，则AC的长为___．


三、解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分）
21．先化简，再求代数式的值，其中．
22．如图，在的网格中，的三个顶点都在格点上．
（1）在图1中画出，使与全等，顶点D在格点上．
（2）在图2中过点B画出平分面积的直线l．

23．为降低处理成本，减少土地资源消耗，我国正在积极推进垃圾分类政策，引导居民根据“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”这四类标准将垃圾分类处理，调查小组就某小区居民对垃圾分类知识的了解程度进行了抽样调查，并根据调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图．

(1)本次调查的样本容量是多少？
(2)请通过计算补全条形统计图；
(3)已知该小区有居民1800人，请估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数．
24．已知：在ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E，F，连接BF，DE．

(1)如图1，求证：四边形DEBF是菱形；
(2)如图2，ADEF，且，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出图2中四个度数为的角．
25．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同，已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
(1)足球和篮球的单价各是多少元？
(2)根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15000元，学校需要最少购买多少个足球？
26．已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点E在上，连接AE，CE，，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，过点A作交CE的延长线于点F，若，，求AF的长．
27．如图，经过点C（－2，－3）的抛物线交x轴于A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AC，点D在线段OA上，过点D作x轴的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点F为BD的中点，连接BC，BE，CF，若，求S的值．

1．A
【分析】
根据倒数的概念求解即可．
【详解】
根据乘积等于1的两数互为倒数，可直接得到-的倒数为-2．
故选：A．

2．D
【分析】
根据同底数幂的乘法法则，积的乘方和幂的乘方运算法则，合并同类项运算法则计算各选项即可判断．
【详解】
解：A. ，故此选项计算错误，不符合题意；
B. ，故此选项计算错误，不符合题意；
C. 与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，本选项符合题意，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方运算，合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．A
【分析】
根据几何体的特点即可判断．
【详解】
立体图形的各个面中，每个面都是平面的是长方体
故选A．
【点睛】
此题主要考查立体图形的特点，解题的关键是熟知简单几何体的特点．
4．A
【分析】
根据二次函数的顶点式可直接进行求解．
【详解】
解：由抛物线可知对称轴是直线；
故选A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．B
【分析】
根据轴对称图形及中心对称图形的概念可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故符合题意；
C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形及中心对称图形的概念是解题的关键．
6．C
【分析】
先去分母，然后转化为一元一次方程进行求解即可．
【详解】
解：
，
解得：，
经检验：是原方程的解；
故选C．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
7．B
【分析】
根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【详解】
∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，
故答案为：B.
【点睛】
本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
8．C
【分析】
分别把、、各点坐标代入反比例函数求出、、的值，再比较大小即可．
【详解】
解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．
9．A
【分析】
利用已知条件求得,设，将都表示出含有的代数式，利用的函数值求得，继而求得的值
【详解】

设交于点,
由题意：
是等边三角形

四边形为正方形

∴∠CBF=90°-60°=30°，
DE⊥

又

设
则






解得：

故选A
【点睛】
本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，特殊角的锐角三角函数值，灵活运用锐角三角函数的定义及特殊三角函数值是解题的关键．
10．B
【分析】
根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y（米）和上升的时间x（分）之间的关系式，进而对各个选项作出判断即可．
【详解】
解：设甲的函数关系式为，把(5，40)代入得：，解得，
∴，
设乙的函数关系式为，把(0，20) ，(5，40)代入得：
，解得，
∴，
A、5s时，甲无人机上升了40m，乙无人机上升了20m，不符合题意；
B、10s时，甲无人机离地面80m，
乙无人机离地面60m，相差20m，符合题意；
C、乙无人机上升的速度为m/s，不符合题意；
D、10s时，甲无人机距离地面的高度是80m．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，读懂图形中的数据是解本题的关键．
11．
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】
解：把数据110200000用科学记数法可表示为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
12．x≠
【详解】
解：由题意得：2x﹣1≠0，解得x≠．故答案为x≠．
13．
【分析】
先提取公因式a，再根据完全平方公式分解即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，一般来说，将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
14．
【分析】
利用二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式的加减法实质上是合并同类项是解答此题的关键．
15．﹣2．
【分析】
将点（1，﹣2）代入，即可求解．
【详解】
∵反比例函数的图象经过点（1，﹣2），
∴，解得k=﹣2．
故答案为-2．
16．
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握不等式组的解法．
17．6
【分析】
估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为 ，然后根据概率公式构建方程求解即可．
【详解】
解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：
，
解得：x=6，
经检验：x=6是分式方程的解，
即估计袋中红球的个数是6个．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率用频率估计概率得到的是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确．
18．45
【分析】
根据扇形面积求出半径，然后问题可求解．
【详解】
解：由扇形面积公式可得：，
∵，
∴；
故答案为：45．
【点睛】
本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
19．3或
【分析】
分两种情况：①当为直角顶点时，过作于，由和是等腰直角三角形可得，则点到直线的距离为3；②当不是直角顶点时，过作于，由是等腰直角三角形，得，证明，有，即可求解．
【详解】
解：①当为直角顶点时，过作于，如图：

的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，
是等腰直角三角形，，，
和是等腰直角三角形，
，
，
点到直线的距离为3；
②当不是直角顶点时，过作于，如图：

的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点，
是等腰直角三角形，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即此时点到直线的距离为，
综上所述，点到直线的距离为3或，
故答案为：3或．
【点睛】
本题考查正方形的性质，等腰直角三角形性质及应用，角平分线，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确分类，画出图形．
20．4
【分析】
根据等腰三角形的“三线合一”性质，想到过点A作AE⊥BC，垂足为E，设AB=AC=BD=x，然后在Rt△AED和Rt△AEC中，分别利用勾股定理表示出AE2，建立等量关系即可解答．
【详解】
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵AB=AC，BD=AC，
∴设AB=AC=BD=x，
∵CD=2，
∴BC=BD+CD=x+2，
∵AB=AC，AE⊥BC，
∴BE=EC=1+x，
∴DE=BD-BE=x-1，
在Rt△AED中，AE2=AD2-DE2=（2）2-（x-1）2=−x2+x+7，
在Rt△AEC中，AE2=AC2-EC2=x2-（1+x）2=x2-x-1，
∴−x2+x+7=x2-x-1，
解得：x1=4，x2=-2（不符合题意，舍去），
∴AC=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两次利用勾股定理建立等量关系，列出方程是解题的关键．
21．
【分析】
根据分式的减法以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入化简后的式子即可求出答案．
【详解】




当时，
原式=
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22．（1）画图见解析；（2）画图见解析
【分析】
（1）结合题意，根据全等三角形的性质作图，即可得到答案；
（2）取格点D，则四边形ABCD为平行四边形，过点D和点B作直线l，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，画
             
∵
∴
∴就是所求作的三角形；
（2）如图，取格点D，

连接AD,CD，由（2）可知△ACD与 △ACB 全等，可以证明四边形ABCD是平行四边形,
过点D和点B作直线l交AC于点E，∴AE=AC，∴△ABE的面积等于△BEC的面积，则直线l即为所求．
【点睛】
本题考查了全等三角形、平行四边形的性质等知识；解题的关键是熟练掌握相关性质，从而完成求解．
23．(1)100
(2)见解析
(3)180人

【分析】
（1）用较多了解的人数÷对应百分比，即可求解；
（2）先算出完全了解人数，较少了解人数，再补全统计图，即可；
（3）用1800×样本中“较少了解”的百分比，即可求解．
（1）
解：55÷55％=100（人），
答：本次调查的样本容量是100；
（2）
解：完全了解人数：100×30％=30（人），
较少了解人数：100-30-55-5=10（人），
补全统计图如下：

（3）
解：人，
答：估计该小区对垃圾分类知识“较少了解”的居民人数有180人．
【点睛】
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体等等，解题的关键在于能够正确读懂统计图．
24．(1)见详解
(2)、、、．

【分析】
（1）证，得到DF//BE，，则四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形从而证得结论；
（2）证四边形是平行四边形，得，再证是等边三角形，得，然后由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得，同理．
（1）
证明：四边形为平行四边形，
∴AB//CD，
，
在和中，
，
，
，
∵BE//DF，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）
解：四边形是平行四边形，
∴AB//CD，
∵AD//EF，
四边形是平行四边形，
，
由（1）得：四边形是菱形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
同理：，
即图2中四个度数为的角为、、、．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
25．(1)足球的单价是60元，篮球的单价是90元 ；
(2)100

【分析】
（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，根据数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设学校可以购买m足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】
（1）解：设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，
依题意得： ，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）解：设学校可以购买m个足球，则可以购买（200﹣m）个篮球，
依题意得：60m+90（200﹣m）≤15000，
解得：m≥100，
答：学校最少可以购买100个足球．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．(1)见详解
(2)见详解
(3)

【分析】
（1）由垂径定理可得，由垂直平分线的性质可得；
（2）连接，设，则，由圆周角定理得出，可证出；
（3）过点作于点，在上截取，连接，证出，由勾股定理求出和的长，根据三角形的面积可求出答案．
(1)
证明：，过圆心，
，且，
，
；
(2)
证明：连接，

设，则，
，
，
，
；
(3)
解：过点作于点，在上截取，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
27．(1)
(2)
(3)

【分析】
（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，令，可求得，，再运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，即可求得答案；
（3）如图2，在线段上截取，连接，过点作于点，过点作于点，则，根据是的中点，可得，，由，可得，，进而得出，利用面积法求出，再运用三角函数定义求得，，由，可得，推出，建立方程求解即可．
(1)
解：抛物线经过，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
(2)
解：如图1，

在中，令，
则，
解得：，，
，，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
与的函数解析式为；
(3)
如图2，在线段上截取，连接，过点作于点，过点作于点，
则，
由（2）知：，，，，，
是的中点，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
整理得：，
或（舍去），
当时，
，

【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的解析式与几何图形结合的综合能力，全等三角形判定和性质，勾股定理，三角形面积，三角函数定义，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．