高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.2 指数函数测试题

第6章幂函数、指数函数和对数函数

6.2　指数函数

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.下列函数中,指数函数的个数为(　　)

①y=;②y=ax(a>0,且a≠1);③y=1x;④y=-1.

A.0 B.1 

C.3 D.4

答案B

解析由指数函数的定义可判定,只有②正确.

2.函数y=a|x|(a>1)的图象是(　　)

答案B

解析该函数是偶函数.可先画出x≥0时,y=ax的图象,然后沿y轴翻折过去,便得到x<0时的函数图象.

3.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过定点(2,1),则f(x)的值域为(　　)

A.[9,81] B.[3,9]

C.[1,9] D.[1,+∞)

答案C

解析由f(x)过定点(2,1)可知b=2,所以f(x)=3x-2且在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.

4.已知函数y=kx+a的图象如图所示,则函数y=的图象可能是(　　)

答案B

解析由函数y=kx+a的图象可得k<0,0<a<1.因为函数y=kx+a的图象与x轴交点的横坐标大于1,所以k>-1,所以-1<k<0.函数y=的图象可以看成把y=ax的图象向右平移-k个单位长度得到的,且函数y=是减函数,故此函数与y轴交点的纵坐标大于1,结合所给的选项,选B.

5.函数y=的定义域为　　　　　　　. 

答案[3,+∞)

解析由2x-8≥0得x≥3.

6.某种细菌在培养的过程中,每20 min分裂一次(一个分裂为两个),经过3 h,这样的细菌由一个分裂为　　　个. 

答案512

解析由题意可知,经过3 h,细菌共分裂了9次,这时这样的细菌由一个分裂为29=512(个).

7.函数y=的值域是　　　　　. 

答案

解析令u=2x-x2=-(x-1)2+1,则u≤1,又y=为减函数,∴y≥,即y∈.

8.设f(x)=3x,g(x)=.

(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x)的图象;

(2)计算f(1)与g(-1),f(π)与g(-π),f(m)与g(-m)的值,从中你能得到什么结论?

解(1)函数f(x)与g(x)的图象如图所示:

(2)f(1)=31=3,g(-1)==3;

f(π)=3π,g(-π)==3π;

f(m)=3m,g(-m)==3m.

从计算的结果看,两个函数当自变量取值互为相反数时,其函数值相等,即当指数函数的底数互为倒数时,它们的图象关于y轴对称.

关键能力提升练

9.若(1-2x有意义,则x的取值范围是(　　)

A.R 

B.

C. 

D.

答案D

解析因为(1-2x有意义,所以1-2x>0,即x<,故选D.

10.当x>0时,函数f(x)=(a2-1)x的值总大于1,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-,-1)∪(1,) 

B.(-1,1)

C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 

D.(-∞,-)∪(,+∞)

答案D

解析依题意得a2-1>1,即a2>2,∴|a|>,∴a的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞),故选D.

11.(2021山东枣庄调研)函数y=ax(0<a<1)的图象的大致形状是(　　)

答案D

解析因为y=且0<a<1,所以根据指数函数的图象和性质,当x∈(0,+∞)时,函数为减函数,图象下降;当x∈(-∞,0)时,函数是增函数,图象上升,故选D.

12.函数f(x)=x-1在区间[-2,-1]上的最大值是 (　　)

A.1 B.3

C.9 D.27

答案D

解析f(x)=在区间[-2,-1]上为减函数,当x=-2时取得最大值为27.

13.函数f(x)=2ax-1-1(a>0,且a≠1)恒过定点(　　)

A.(1,-1) B.(1,1)

C.(0,1) D.(0,-1)

答案B

解析由题意知x-1=0,即x=1,此时y=2a0-1=1,所以函数恒过定点(1,1),故选B.

14.(多选)函数y=ax-a(a>0,且a≠1)的大致图象不可能是(　　)

答案ABD

解析如果函数的图象是A,那么由1-a=1,得a=0,这与a>0且a≠1相矛盾,故A不可能;如果函数的图象是B,那么由a1-a<0,得0<0,这是不可能的,故B不可能;如果函数的图象是C,那么由0<1-a<1,得0<a<1,且a1-a=0,故C可能;如果函数的图象是D,那么由a1-a<0,得0<0,这是不可能的,故D不可能.

15.(多选)设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则下列等式中正确的是(　　)

A.f(x+y)=f(x)f(y)

B.f(x-y)=

C.f(nx)=[f(x)]n(n∈Q)

D.[f(xy)]n=[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)

答案ABC

解析f(x+y)=ax+y=axay=f(x)f(y),A对;f(x-y)=ax-y=axa-y=,B对;f(nx)=anx=(ax)n=[f(x)]n,C对;[f(xy)]n=(axy)n,[f(x)]n[f(y)]n=(ax)n(ay)n≠(axy)n,D错.

16.(2020宁夏银川一中月考)已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=　　　　. 

答案-

解析若a>1,则f(x)在[-1,0]上为增函数,所以此方程组无解;若0<a<1,则f(x)在[-1,0]上为减函数,所以解得所以a+b=-.

17.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是　　　　. 

答案

解析当0<a<1时,y=|ax-1|的图象如图1.因为y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,所以0<2a<1,即0<a<.

当a>1时,y=|ax-1|的图象如图2,而y=2a>1不可能与y=|ax-1|有两个交点.综上,0<a<.

18.求下列函数的定义域和值域.

(1)y=;

(2)y=5-x-1.

解(1)令1-x≥0,得x≤1.

∴定义域为(-∞,1].设t=≥0,则3t≥30=1,∴值域为[1,+∞).

(2)定义域为R,

∵5-x>0,∴5-x-1>-1,∴值域为(-1,+∞).

19.已知函数f(x)=ax+b(a>0,a≠1).

(1)若f(x)的图象如图1所示,求a,b的值;

(2)若f(x)的图象如图2所示,求a,b的取值范围;

(3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的取值范围.

解(1)因为f(x)的图象过点(2,0),(0,-2),所以

解得a=,b=-3.

(2)由图象知f(x)在R上是减函数,

所以0<a<1.又f(0)<0,

即a0+b<0,所以b<-1,所以a的取值范围是(0,1),b的取值范围是(-∞,-1).

(3)画出|f(x)|=|()x-3|的图象如图所示,要使|f(x)|=m有且仅有一个实数解,则m=0或m≥3,即m的取值范围是{m|m=0,或m≥3}.

学科素养创新练

20.(2020海南调研)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+2ax.

(1)当a=-1时,求函数y=f(g(x))(-2≤x≤3)的值域;

(2)设函数h(x)=若ab>0,且h(x)的最小值为,求实数a的取值范围.

解(1)当a=-1时,f(g(x))=(-2≤x≤3),

令μ=x2-2x,则y=2μ,∵x∈[-2,3],

∴μ∈[-1,8],

而y=2μ是增函数,∴≤y≤256,

∴函数y=f(g(x))的值域是.

(2)易知a≠0,当a>0时,则b>0,g(x)在(-∞,-a)上是减函数,在(-a,b)上是增函数,∴g(x)的最小值为g(-a)=-a2<0,f(x)在[b,+∞)上是增函数,最小值为2b>20=1,

而h(x)的最小值为,∴这种情况不可能.

当a<0时,则b<0,g(x)在(-∞,b)上是减函数且没有最小值,f(x)在[b,+∞)上是增函数,最小值为2b,

∴h(x)的最小值为2b=,解得b=-,满足题意,

∴g(b)=g-a≥f,解得a≤.

∴实数a的取值范围是.