高中数学苏教版 (2019)必修 第一册6.3 对数函数当堂检测题

第6章幂函数、指数函数和对数函数

6.3　对数函数

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.函数y=的定义域是(　　)

A.(3,+∞) B.[3,+∞)

C.(4,+∞) D.[4,+∞)

答案D

解析由题意得解得x≥4.

2.(2021山东聊城调研)已知函数f(x)=log2(x+1),若f(α)=1,则α等于(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案B

解析α+1=2,故α=1.

3.设集合M=,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于(　　)

A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞)

C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1)

答案C

解析M=(0,1],N=(-∞,0],因此M∪N=(-∞,1].

4.(2021湖北宜宾高一调研)函数f(x)=|log3x|的图象是 (　　)

答案A

解析y=|log3x|的图象是保留y=log3x的图象位于x轴上半平面的部分(包括与x轴的交点),而把下半平面的部分沿x轴翻折到上半平面而得到的.

5.已知对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1),且过点(9,2),f(x)的反函数记为y=g(x),则g(x)的解析式是 (　　)

A.g(x)=4x B.g(x)=2x

C.g(x)=9x D.g(x)=3x

答案D

解析由题意得loga9=2,即a2=9,又∵a>0,∴a=3.因此f(x)=log3x,

∴f(x)的反函数为g(x)=3x.

6.(2021江苏苏州木渎中学月考)函数f(x)=ax-2+loga(x-1)+1(a>0,a≠1)的图象必经过点　. 

答案(2,2)

解析当x=2时,f(2)=a0+loga1+1=2,所以图象必经过点(2,2).

7.函数f(x)=的定义域是　　　　. 

答案

解析由解得<x≤1,∴f(x)的定义域是.

8.根据函数f(x)=log2x的图象和性质解决以下问题:

(1)若f(a)>f(2),求a的取值范围;

(2)求y=log2(2x-1)在[2,14]上的最大值和最小值.

解函数f(x)=log2x的图象如图.

(1)∵f(x)=log2x为增函数,又f(a)>f(2),

∴log2a>log22.

∴a>2,即a的取值范围是(2,+∞).

(2)∵2≤x≤14,

∴3≤2x-1≤27.

∴log23≤log2(2x-1)≤log227.

∴函数f(x)=log2(2x-1)在[2,14]上的最小值为log23,最大值为log227.

关键能力提升练

9.已知函数f(x)=那么f的值为 (　　)

A.27 B.

C.-27  D.-

答案B

解析f=log2=log22-3=-3,

f=f(-3)=3-3=.故选B.

10.(2020江苏南京十三中月考)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)

A.y=x B.y=lg x

C.y=2x D.y=

答案D

解析函数y=10lg x的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.

11.下图中有六个函数的图象,依据图象用“<”表示出以下五个量a,b,c,d,1的大小关系,正确的是(　　)

(注:图中y=bx与y=log2x关于y=x对称)

A.a<c<1<b<d 

B.a<1<d<c<b

C.a<1<c<b<d 

D.a<1<c<d<b

答案C

解析由指数函数与对数函数的图象可知,a<1,b=2,1<c<2,d>2,所以有a<1<c<b<d.故选C.

12.若函数y=loga(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(0,1)∪(1,2)

C.(1,2) D.[2,+∞)

答案C

解析当a>1时,y有最小值,则说明x2-ax+1有最小值,故x2-ax+1=0中Δ<0,即a2-4<0,所以1<a<2.当0<a<1时,y有最小值,则说明x2-ax+1有最大值,与二次函数性质相互矛盾,舍去.综上可知,故选C.

13.(2021江苏连云港赣榆调研)若=loga,且|logba|=-logba,则a,b满足的关系式是(　　)

A.a>1,且b>1 

B.a>1,且0<b<1

C.b>1,且0<a<1 

D.0<a<1,且0<b<1

答案C

解析由=loga,知loga>0,∴0<a<1;由|logba|=-logba,知logba<0,∴b>1,故选C.

14.(多选)函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a的值可以为(　　)

A. B. C.2 D.

答案CD

解析当a>1时,函数y=logax在[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,即loga=1,所以a=2.当0<a<1时,函数y=logax在[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga=1,所以a=.综上知a=2或a=.

15.(多选)(2021福建厦门调研)若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象不可能是(　　)

答案ABC

解析由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数f(x)=loga(x+b)在(-b,+∞)上是减函数,所以0<a<1且0<b<1,所以g(x)=ax+b在R上是减函数,故排除A,B;由g(x)的值域为(b,+∞),所以g(x)=ax+b的图象应在直线y=b的上方而0<b<1,故排除C.

16.(多选)(2021湖南长沙调研)函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D上具有单凋性;②存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域为,那么就称y=f(x)为“半保值函数”,若函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0,a≠1)是“半保值函数”,则t的取值可以为(　　)

A. B.0 C. D.-

答案AD

解析函数f(x)=loga(ax+t2)(a>0,a≠1)是“半保值函数”,且定义域为R.当a>1时,z=ax+t2在R上是增函数,y=logaz在(0,+∞)上是增函数,可得f(x)为R上的增函数;当0<a<1时,f(x)仍为R上的增函数,

∴f(x)在定义域R上为增函数,f(x)=loga(ax+t2)=x,

∴ax+t2=,则ax-+t2=0.

令u=,u>0,则u2-u+t2=0有两个不相等的正实根.

得Δ=1-4t2>0,且t2>0,

∴0<t2<,解得t∈.

17.函数f(x)=的定义域为　. 

答案{x|0<x≤2,且x≠1}

解析由得0<x≤2且x≠1.

∴函数f(x)=的定义域为{x|0<x≤2且x≠1}.

18.函数f(x)=的图象如图所示,则a+b+c=　　　　. 

答案

解析由图象可求得直线的方程为y=2x+2,即a=2,b=2,又函数y=logc的图象过点(0,2),

将其坐标代入可得c=,

所以a+b+c=2+2+.

19.(2020湖北武汉外国语学校高一月考)已知函数f(x)=lg(x2-2ax+1).

(1)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围;

(2)若函数f(x)的值域为R,求a的取值范围.

解(1)∵函数f(x)的定义域为R,∴x2-2ax+1>0,对任意的x∈R都成立,

则Δ=4a2-4<0,解得-1<a<1,

∴a的取值范围是(-1,1).

(2)若函数f(x)的值域为R,则函数y=x2-2ax+1的值域包含(0,+∞),

则Δ=4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1.∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

20.已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0,a≠1).

(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最大值和最小值.

(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.

解(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,

故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,

f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.

(2)f(x)-g(x)>0,即loga(1+x)>loga(1-x),

①当a>1时,1+x>1-x>0,得0<x<1.

②当0<a<1时,0<1+x<1-x,得-1<x<0.

综上,当a>1时,x的取值范围是(0,1);当0<a<1时,x的取值范围是(-1,0).

学科素养创新练

21.(2021江苏如东中学月考)已知函数f(x)=log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值;

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值范围;

(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a的取值范围.

解(1)若函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,

∴log2(1+a)=0,

∴a=0.

当a=0时,f(x)=-x是R上的奇函数.

故a=0.

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0对任意x恒成立,

即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),

故只需a≥0,则a的取值范围是[0,+∞).

(3)由已知得函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.

由题设得log2(1+a)-log2≥2,

则log2(1+a)≥log2(4a+2).

∴解得-<a≤-.

故实数a的取值范围是.